I. MOUVEMENT RECTILIGNE, EN MOUVEMENT RECTILIGNE

682. Plans inclinée, — Noos avons vu (art. 359) comment à *aide de deux plans inclinés on pouvait transmettre le mouvenent rectilîgne de la barre AB à la barre CD. Pour cela le plan ncliné P étant fixé à la barre AB (flg. 468), le plan incliné F,

Fig. 463.

ifiii repose sur le premier, est assujetti à ne pouvoir que s'élever dans la direction de CD, et n'est qu'un moyen d'agir convenablement sur l'extrémité de la barre CD. Mais si on lui donne la hcnlté de se mouvoir aussi en même temps dans la direction AB, le mouvement de CD sera la somme ou la différence des deux mouvements reetilignes produits dans sa direction par les deux plans inclinés, suivant qu'ils s'avanceront l'un vers Tautrc ou s'éloigneront l'un de l'autre. Si v est la vitesse du premier dans la direction AB, v tang. a sera la vitesse qu'il produira suivant CD en avançant suivant AB, a étant l'angle du plan incliné avec AB; de même a! étant l'angle du second plan incliné, vf sa vitesse, on aura pour sa vitesse v' tang. a' et pour résultante totale:

V=v tang. a±:v' tang. a'.

• 583. Poulies mobiles, — La poulie mobile, dont le mouvement Jouit de propriétés si évidentes à priori, qu'on peut faire reposer sur elles, à l'exemple de Lagrange, tout l'édifice de la théorie de la mécanique analytique, est essentiellement un organe différentiel. Le mouvement rectiligne de l'axe de rotation de la poulie vient s'y ajouter au mouvement semblable de la corde qui porte ht poulie. En effet, dans la poulie mobile, l'une des extrémités

Fig. 464.

de la corde est fixée en un point A ifig. 464), la poulie repose sur la corde , et à sa chape est suspendu d* ordinaire un poids qu'il s'agit d'élever, et attachée la résistance qu'il s'agit de surmonter. Bans le cas de la figure 464 , où les cordons aA, ^B sont parallèles, et c'est le plus fréquent, on voit que si l'extrémité B s'élève de la quantité BB\ le point C, où le poids est suspendu, s'élèvera aussi verticalement d'une certaine quantité CC.

Or, quand le point B sera parvenu en B' , la portion de la corde soutenant la poulie, comprise entre le point A et le point B fixe dans l'espace, se sera raccourcie de la quantité BB', mais ce ^l^ courcissemcnt se répartissant également sur les deux cordons parallèles a A et ^B, chacun d'eux ne se sera raccourci que de la moitié de BB', et la poulie, par suite le point G, se seroit élevés verticalement d'une quantité égale à cette moitié. Ainri CG'=iBB', et la vitesse de l'axe de rotation sera moitié de celle du point B , puisque dans le même temps il aura parcoaro un espace moitié moindre.

584. Le plus souvent la poulie mobile est supportée pardon brins parallèles ; cependant dans un assez grand nombre d'ap-

plications ils font un angle 2 a. Le point B se meut alors soi* vant la droite qui divise en deux parties égales Tangle d'écart^

les brins aB, cd, et l'angle 2 a varie d'une manière continue Ht le mouvement de la poulie B.

dant que le point B parcourt un chemin rf/sur la bi-sec- 9q dans le temps dt, le point extrême A a dû parcourir un D de égal à la somme des deux longueurs M M" = i>ri\f ;

A"' COS. a = cf/,

de =2

COS. a

de ^, d/ ^ V.

dl'

mm^àii

Fif . 4C€.

dt V, COS. a

L'angle initial a sera d'autant plus l>etit, pour un même écartement des points fixes, que la corde sera plus longue. Pour une longueur infinie a=o, COS. a= 1, V, == I V,. Au contraire, le point B s'élevant, Tangle a augmente; à la limite a = OO'*, cos. a= o, V, = 0. Si donc la vitesse V, est constante, le point B s élèvera d'un mouvement retardé.

585. Moufles, — On obtient un rapport quelconque de vitesse par la répétition d'éléments semblables, ce qui constitue une moufle. Celle-ci se compose d'un système de poulies fixes PP'P", dont les axes sont supportés par une pièce fixe appelée chape, qui se réduit souvent à une seule fourche qui supporte Taxe commun (fig- 4GG); d'un second système Q, Q',Q" de poulies mobiles réunies dans une même chape mobile, à laquelle est suspendue la résistance à vaincre qui est habituellement un poids à soulever, et qui pourrait être une résistance quelconque.

La corde, fixée par une de ses extrémités à la chape fixe en P passe alternativement sur une poulie de chaque système dam Tordre PQ, F, 0^P'^

Lorsque Fextrémité A de la corde s*abaisse verticalement de la quantité A A', le point B où le poids est suspendu s^élèvede la quantité 6B', qui est égale au quotient de AA' par le nonbie des cordons. En effet, quand le point A sera parvenu en A', la portion de la corde comprise entre le point d'attache et le pdiit géométrique A fixe dans l'espace, se sera raccoiu'cie de la quantité A A'; mais ce raccourcissement étant rt»parti également sor tous les cordons à cause de la symétrie de la figure, le mouT^ ment d'un point de Taxe mobile sera égal au quotient de AA' par leur nombre de brins passant autour de poulies mobiles, la chape mobile et par suite le point 6 se seront donc élevés d'une quantité égale à ce quotient. Donc n étant le nombre

des cordons, on a BB'= . La vi-

tesse du point B est donc n fois moindre

que celle du point A , puisque dans le

même temps il parcourt un espace 7^

fois moindre.

Donc enfin, avec un système de poulies, on peut toujours transformer un mouvement rectiligne donné en un autre dont la vitesse est dans un rapport quelconque avec celle du premier.

Disons toutefois que les résistances dues à la roideur des cordes rendent ce système peu avantageux dans la pratique.

586. W hite a inventé un système de moufle particulier, dans lequel toutes les poulies supportées par les chapes tournent autour d'un seul axe avec lequel elles font corps. Dans la disposition de la figure 467, les cordons i et 2, 3 et 4 , 5 et 6 se meuvent avec la

Fig. 467.

ème vitesse, mais dans des directions opposées; 1, 3 et 5 en ontant, 2, 4, 6 en descendant, en supposant que le poids W

meave de bas en haut et vice versa. D'ailleurs les vitesses de Acune des paires de cordons passant sur des poulies du rayon oissant sont différentes : la vitesse de l est égale h celle de

résistance \V; 8, extrémité du brin 1, 2, 3, forme avec les ux autres une moufle dans laquelle n= 3, et par suite la visse de ce brin est triple de celle deW. Semblablement, les corons de 1 à 5 forment une moufle dans laquelle n = 5 , et ainsi i suite. Les vitesses des brins en partant du centre sont donc progression arithmétique 1,2, 3.... eu supposant que la vitesse i Wfloit l*unité ; et si Textrémité de la corde est fixée à la chape ce, par conséquent si le nombre des poulies mobiles est le même le eelui des poulies fixes, les vitesses des brins formeraient la rfeo, 2, 4, 6.

Puisque les brins successifs se meuvent avec une vitesse croisnt en progression arithmétique, si Ton détermine les rayons » poulies a, b^e... suivant la même progression, toutes les pouss auront la même vitesse angulaire, et par suite pourront être itcs d'une seule pièce. Ce système est donc en apparence assez mplc; cependant il n'a pas été adopté dans la pratique, tant irce qu'il est d'une exécution difficile , que parce qu'il ne peut r\'ir que pour des cordes d'un diamètre déterminé, le demiamètre de ces cordes devant être compris dans les rayons des mlies formant une progression.

587. Au moyen de poulies et de moufles, on peut toujours "ansformer un mouvement rectiligne donné en un autre monument rectiligne donne, quelles que soient les directions et les tesses de ces deux mouvements.

Soient BA, B' A' les directions des deux mouvements, direcons qui ne sont pas supposées dans un même plan. Admettons, Nir fixer les idées, que les vitesses doivent être dans le rapport )5à3.

Tangentiellement à BA, disposons une moufle FM, dont les Ma,b soient parallèles à la plus courte distance G G des deux

droites BA, B'A', qui soit composée de 5 poulies, et snr lesquelles passe une corde attachée en a.

Fis. 463.

Disposons de môme, tangentiellement à B'A', une moufle F M\ dont les axes soient parallèles aux premiers, qui contienBC 8 poulies, et sur laquelle passe une corde attacb<^ en a". Soient ensuite P, F deux poulies fixes, tellement établies qu'un eordon bcdd' c' h\ dont les extrémités sont attachées en ^, V anx deux chapes mobiles des mouiles, et qui passe sur P et F, soit parallèle à AB dans sa partie hc^ parallèle à G C de d en (f, et enfin parallèle à A' B' dans sa partie c' h' ; il suffit pour oela que les gorges des deux poulies soient respectivement tangentes à Je, h'c\ et que leui's axes G, G' soient perpendiculaires Tiib à AB et ce, l'autre à CC et A'B'. 11 est facile de voir que cette disposition atteindra le but proposé. En effet, si Ton fait exercer une traction sur l'extrémité libre A de la corde ABc, Faie^ sera entraîné dans le même sens; par suite, les deux parties hc^ c'y du cordon bcdd c'b' se déplaceront parallèlement aui directions/",/'"; et enfin Textrémité B' de la corde B'AVsc mouvra dans le sens indiqué par la ilèche/'.

D'un autre côté, si Taxe b de la moulle M se déplace d'wie quantité h, le point A parcourra un espace égal à 10 A, et le point B' décrira dans le même temps un chemin égal à 6 ^• les vitesses des points A, B' seront donc dans le rapport de 10 à 6, ou dans le rapport de où 3.

688. CoittbinaitondeinouJïci.-^SoiX A la poulie fixe d'une moufle qui a n. brins, et dont la corde se dirige suivant A B ^g. 4ê^'

Plaçons à rextrémité de cette corde une poulie mobile B et le moufle dont h est la poulie fixe, portant «, brins. Ayons de

^__^ même une troisième moufle dont C

^ ^ soit la poulie mobile et c la poulie

CjHs fixe, ayant M3 brins. ' ^ / 7/ Soient V4 la vitesse de la corde sor-

v\ / / I tant suivant CD, et V, V, V3 les vi- \\ Wr / Icsses respectives de «, B, C, on a : wy ^A/ I^ V4=«3V3 = n3 7i, V, =n3«»n.V.. \ I S'il y a m moufles dans le système

v[t] I ^ et que tous aient le même nombre de

'^ brins, on aura :

Fig. 46?. '

Vm^. =n'" V..

Le nombre total des brins sera n x ni; d'où le problème suitnt aualogae à celui traité dans la note de la page 481.