Revenons au cas général

Le système qui résulte de la disposition convenable pour le mouvement différentiel, fournit une application curieuse de remploi que nous avons déjà fait du système de mouvements combinés pour tracer des courbes.

Lorsqu'une circonférence roule sur une autre, nous avons vu qu'un de ses points décrit une épicycloïde sur un plan fixe, or le fait d'assembler l'axe d'une roue dentée (pour prendre le cas le plus commun , car pour des poulies conduites par courroies, des rouleaux se menant par contact, etc., tous les résultats que nous allons obtenir seraient les mêmes) réalise précisément Tentrainement de cette roue pendant qu'elle roule autour d'un autre roue, et par conséquent donne le moyen de tracer les épicycloïdcs. Nous savons d'ailleurs que tout système de rooes parallèles donnant des rotations dans un rapport de vitesse quelconque, pouvant toujours être renrplaeé par le roulement de deux circonférences primitives de rayons obtenus en divisant la distance des centres en raison inverse de ces vitesses, cette disposition ne pourra donner que des épicycloïdcs. Tel est le petit appareil dit plume géométrique de Suardi, que décrivent MM. Lantz et Bétancourt.

600. AunaxeD(fig. 477), monté surtrois pieds qui supportent Vinstrument, est fixée à demeure une roue i; ce même axe porte une barre G pouvant tourner autour de lui , et portant deux roues dentées b, c, qui engrènent entre elles et avec la première t. 11

est évident qae si on fait mouvoir la barre G antonr de Taxe D, la roue c tournera comme si elle roulait sur une drconft-^ renée. Un crayon assemblé avec un point de la roue e poum^ servir à tracer une épicycloïde; si on adapte ce crayon ;^ rextrémité d*une havre fk, la courbe tracée sera une épie^^

Fig. 477.

cloïde allongée, dont la forme variera en raison des diamètres des roues dentées , mais ne pourra cesser d'être de la famille des épicycloïdes.

Malgré la variété des courbes qu'il est possible d'obtenir ainsi, la rotation d'un cercle sur un autre en établissant entre les coo^ données d'un point décrivant certaines relations d'une nature particulière, qui, traduites en équation, donnent Téquation de l'épicycloïde, ne peut servir, par suite, qu'à tracer la famille des courbes représentées par une équation de même forme, el nullement celles où les relations entre les coordonnées sont d'une nature tout à fait différente.

Nous reviendrons sur les principaux résultats que fournit ce tracé après avoir étudié la question des vitesses; nous ne parlerons ici que du cas particulier où , comme nous l'avons d^ to, répicycloide décrite devient une ligne droite, lorsque la foœ

décrivante est d'un diamètre moitié de celui de la roue fixe, sur laquelle cUe roule intérieurement.

De là résulte une solution particulière de la transformation da mouvement circulaire continu en rectiligne alternatif, à l'aide dei engrenages circulaires, un moyen de produire par ce mouvement différentiel de la petite roue une double oscillation de vaet-vient pour un tour de roue. Ce $y$- Umc, dû à Lahire (flg. 478), consiste à ' faire mouvoir, dans une grande roue dentée intérieurement, une petite roue dentée d'un diamètre é^al à la moitié de celui de la première. Chacun des points de la circonférence de la petite ^' ' roue décrit un diamètre de la première

et peut, par suite, imprimer un mouvement de va-et-vient à une tige qui y est fixée.

Le triangle ABC étant isocèle, on a : AC = 2rcos. BAC (A étant le centre de la grande roue, C étant le point d'attache d'une tige qui se meut verticalement, et B le centre de la petite roue dont le rayon est r), le rapport de la vitesse de rotation à celle da mouvement rectiligne est donc le même que pour une Melle infinie et une manivelle ordinaire dont le. rayon est égal à 2AB(t).

(1) En effet, appelons ».la vitesse angulaire du rayon AB, t le temps Qéoessaire pour parcourir Tangle BAC, nous léserons cos, B AC = cos. « t, la TÎtesae du point C sera donc (en différentiant par rapi)ort à t Pexprestion ci-dessus) :

D= — 2r wsin. w^ = — 2r*« sin. «.

Or, la Tltesse Y du centre B est , par hypothèse constante , égale à r » ,

donc -,= — ; — .

p 7 «in. flt

Or, nous avons trouTé Texpression . ■ pour le rapport de la vitesse

sin. 0

TteC^digne de Pextrémité de la bielle à celle circulaire de la manivelle , ou

^ == -: ; et si on remplace le rayon de la manivelle par un rayon double,

DES DIVERSES DISPOSITIONS D'EXGBEXAGES DIFFÉI^Ï^TIELS.

G01« Nous appellerons rouages on trains épiejcèolâanx In systèmes dérivant d» mouvement de rotation de l'axe fjm roue dentée ^Lutour de Taxe fixe d'une autre roue ^dentéemcr lequel la première engrène; c'est la seule nature de mouveacit qui puisse exister pour que l'engrèuenient des roues contiDoe.

Il y a dans un système épicycloïdaf trois parties essentieUesà considérer : les deux roues extrêmes, et le rayon concentrique à Tune d'elles qui porte Taxé de Tautœ. Les relations de position différentes de ces trois élément» donnent lieu adx q^sIènieB représentés dans les figures suivantes :

V Les roues sont extérieures, le plus souvent Tafte delfrFl^ mière A(fig. 479) étant fixe, le mouvement est imprimé à l'wlR roue extrême B et au ra^on.

Vif. «0.

r L'une des roues est intérieure à Fautre, généralement Taxe

la vifesso angulaire restant la inclue, Tangle i ne vtrifra pas, et o» lut !?V 1

— = -r , cil nrfrisémciit le r<^suUat indiqué ci-dessus.

r sin. h

Le luouToinont rectiligno do la tige attarliëc au point C du petit ccrfk est donc absolument le n»^ine que celui (lui serait produit si elle étaîliltachée à un point de la grande droonf^^rence dont le rayon iMmiaillf pH' « point serait converti on bras de inaniveUe. L'absence de propriétéi fwrticulières au mouvement de cet organe, ([ui entraîne aux frottements nqtakki des engrenages et nécessite un i)orte à faux i^eu admissible , explique pow^ quoi il tient |)eu de place dans les construcUons récentes de la méoîhiqn^-

COMBi«'A,lSONtDEî VITESSES. 663

lie extrême (flg. 480) extérieure est fixe; le mouvement Imé em rayon qui en|;i:alnc^£^,r9ue.n]^})i|^.^.( , ,. ^ ,, fin les deux roaes ne sont plus situées dans un même plan, tt farali^^ ci^'ii^<^"^^s^^^ mémé^xe; l«fn6uvement Wiei fil(figi 461)< mbntée SQF Farbre A« ImpAmeva, par édfaife de la roue £ supportée* par le vay<M[i,'ttli)ho<f vêla. loileOvqiii tooraïc librement sinrfaxeAetv'; '-'

nNATION DBS RAPPORTS DE VriESSE DAPiS LfS BOUAGJES

EPieVCLpiDAUX. ., ,

Soit A B. nxk rayon 'tournant atitonr àt A filg. 482 ) et ant un système dont la première inouc est A'cdnèchtHfque D et dont la dernière-B peut être eoneeAtriqde du non conle a^oeiA. Ces deux roues sont réunies par on nombre quelconque dé rôties deAtééè trdiisip^'rtées par le rayon A B. Les révolutions d'un point de ces roues doivent étœ es- ' timées : 1^ par rapport à. la position initiale du rayon , ce qui s'obtient en mesurant la distance, angulaire d'un rayon passant par le point décrivant avec la ligne fixe kf, ou si cette roue est excentrique comme B , avec une 11- Fig, 482. gue B j parallèle à A/; V par rapport

m qui transporte les axes. Le premier arc mesnre le rt, le second les révolutions relatives ou par rapport m qui tourne autour de A. Le rayon transportant le sys- \ la position A/à A B^ et pendant. ce même temps le point roue A arrivant en n par une action extérieure , le point r Hje B passe en s en vertu de la connexion de cette roue . rouje A (nous supposons que ces mouvements ont lieu même sens), mkn, rB* étant les mouvements absolus des c6ri*éspondants sur les roues A et B^ et/^An, ^B^sont oqyements par rapport au rayon»

Ona: tnkn=mAp-\-pAnetrBs=zrBi-\'iBs=mKp-j-t% mkp étant le mouvement du rayon.

Si les roues se meuvent dans des directions opposées, ona : mAn=/>Aw — mkp et rB* = ^B^ — mkp^ relation qui subsiste, quelle que soit la grandeur des angles décrits, et est vraie toutes les fois que les rapports des vitesses angulaires sont constants, comme il arrive avec les roues dentées. Ce qui revient à dire que les révolutions absolues des roues d'oB système épicycloïdal sont égales à la somme de leurs révolutioDS par rapport avec le levier, plus celles de ce levier lui-même, quand les directions sont de même sens, et égales à la différence de ces deux quantités quand elles sont de sens contraire.

608. Soient a, m, n les révolutions absolues simultanées di rayon, de la première et de la dernière roue, et soit e la nisoi du système épicycloïdal , c'est-à-dire le quotient du nombre des révolutions relatives de la dernière roue divisé par le nombre de

celles de la première, e est une quantité de la forme — , iden-

tique avec celle trouvée pour un système de roues dentées, car die se rapporte aux mouvements estimés par rapport au rayon qui joint les centres.

Les révolutions relatives de la première roue par rapport an rayon =m — a et celles de la seconde roue = n — a, les mouvements du train considérés par rapport à la barre portant les axes de rotation étant les mêmes que ceux d'un système ordinaire de roues dentées, on a :

n — a=e(m — a) ou e = d'où ;

a= __ (lj,n = a-f-(m — flJ6(2),m = a^ iJ).

Appliquons ces formules à divers cas simples :

P Si la première roue du système est fixe, comme il arriTcle

plus souvent, le nombre m de ses révolutions absolues est 0, et

on a :

a=:- et n = (l — s) a:

i"" Si c*est la dernière roue qui est fixe n = 0, et on a :

me / 1 \

a = et m = 1 ] a,

8* Enfin quand aucune des roues n'est fixe :

me e — 1

c*eit-à-dire que les révolutions du rayon sont égales à la somme des révolutions qu'il fait quand on suppose successivement fixes les rooes extrêmes.

Bans ces formules, les rotations sopt considérées comme étant toutes du même sens; sMl en est autrement, pour celle de sens opposé, le signe de m, n, ou a, doit être différent. Nous revenons plus loin sur ces signes.

604. Lorsque, pour la disposition de la fig. 481 , ni la première ni la dernière roue n'étant fixes ,4e mouvement est communiqué par un même axe moteur, soit aux deux roues extrêmes, ce qui produit un mouvement complexe du rayon, soit à Tune des roues extrêmes et au rayon , d'où résulte le mouvement complexe de l'autre roue extrême, on peut évaluer les vitesses en fonction de celle de Taxe moteur.

La figure 483 est un exemple d'un système de ce genre ; mn est

fin

%6 f^tn/'^

Fig. 483.

un axe qui porte le bras kl qui transparte les deux roues d et disant un toot et tournant autour du même axe. Les roues h et esont unies de même, et tournent autour de l'axe mn^ mais ne font pas corps avec cet axe. Pareillement les roues f et g sont fixées ensemble et tournent autour de tnn. Les roues c, rf, e et/ constituent un système épicycloîdal dans lequel c est la première roue et/ la dernière.

5C6 XÏVRE DEUXIÈME. '

Enfin Taxe A imprime le mouvement et porte deox rouestf eti, la première engrenant avec la roue b et communiquant le moavement à la première roue c du train épicycloïdal , la roue * engrenant avec la roue g qui donne le mouvement à la roac/qoi est la dernière du train ; quand cet axe A tourne, il edmnhmlqQe le mteuvcrnent âui deux'cfxtrëmïtés du trafn "éplcycioldifl , et le rayon kl reçoit un mouvement combiné que nous èllôbj'tsilcufèr: •■? '■•■'■^'^■■•' • •■■ '■■ •"'•■ '• ■■■■ ' ■ ■ >''^-'->' ■'<•

Ôh pourrait encore supposer les rôties j' et/ déstiritcài y éftrt fixé À t*axe mn et jT tournant Hbrénént àufoâ^ dé lui: T/UéA commàni(|ulRÀt ' le monvèinent t?omnie j^fécédemmënt' à' 'li première roue c du système épièycloidal par le moyen d^ rooesi et 6, comme d'ailleurs la roue A met en mouvement la roue y, l'a^e ^Vi'et le rayon H se meuvent eu théifne temps, 'd*où résdhe uÙ^nouveriiènt' composé de là roué libre/, ttaïi^ cette tieriSMe cdnibfn^l^oii,'la dernière roûe/n^c^t j;)as nét!éKSS&!rcment cobieii-' trtquè'avëc leraj'6tï M. ' '" ' "■ * "

605. Soit l'axe conducteur réuni avec la pi*èhilèièé 'réoeïta système' é^lîeycloïdal par lih ensemble de^ riitfeà dentée doit* la raison soit jx, et aveé la dernière pÂr un systèrh'ê' dont la' Msêâ soit V, et soient p les rotations de cet axe moteur, celles ^oltahéés des deux roues stront w = |jl;?, n = vj», et la i^leiiri» de fl de la rotation du rayon est toujoure, la disposition à angle droit ne changeant pas le nombre de dents qui passent au point de contact : "

La première partie de cette formule donne la vitesse due à l'action du train ex, la seconde à celle du' ti*ain v.

En effet, si l'on suppose le système de roues jx énieVé, tiôifJ ta première roue du système épîcjcloïdal reste fixe ttm^=:^f^^^ d'où

COMBINiAiÇON 0E VITESSES. 567

lfs^yit6Ç4çs, f)iio^iMte» par chaque, action JU)i[rfW'finçi^. ^çviçftM^»*

606. Seœnd cas, — L'axe menant étant réuni avec la première wj3^d\U8y;5fïèaiç;épiçyplpi(^ p^r .uçt w5^>Wp,.4? ?:9^> ^^»^ *^ ed^ ' ^t^ (A, p\ avec ,|e ray.oB par ^ traji^ doQt ,1a raison est a, ».;fp ffj,jf et fi rrf W) |a,.(qrinvlç (2) doijjie pçur \r dernièi;c roue :

,j'|(4Q9.jr^)((^u^i^3 de la derpièrc roue du tr^Ui épiç^-cloïd^l sont ij.SjpmjCfie. algébrique de oelles dues aux rouesi denrées a quf prolgjtoe|^^,lç,p(M)^^.Vjçplei^^ deçelle^ .dMes.tjux roujîs.dep-

ées (A qui produisent le mouvement de la pvonUèrQ.rouçdu $ysèjipç.fj4cxçJ|.o](d^, . . .

; ^Q7j.TPj)fQ la difficulté dans Tapplicatiou de ces formules cçnjstfB daps le; Qhpi^ du signe que l'on doit idonuec à la raison des

T?^fts.• .:.. .■:■ ■ . . ,

^ Un SCQS de. rotation étant pris comipc ,pp$itif, le sens opposé

\QyfçfL ^trf^.opin^idéré comme négatif , et par.pujitesi.les roues ex-

r^e& tourJKijejQt dans. le même sens, toutes deux, à, dro^tp ou

outesdeux à gauche, le rapport est positif; il est ly^gat^Jt s'ils

ont de sens opposés. Les rotations du train jjl^ v, sont absolues,

it celles t relatives i\\x rayon. Ponr déterminer le signe de e il

àut supposer un instant le ra/on fixe, et par l'analyse du sys-

ème« dét^riDJAer si, les rotations des roues extrêmes sont de

nème sens ou de sens opposé. . . ,.

,. Q^i^éterininera^de même le$ 3igpe3 Agia et ,y en Jes eonsidé-

ant séparément: si les mouvements des royes sppt de même

sens, (A et V ont le même signe, les signes seront différents si les

mouvements sont de sens opposés. Dans les formules ci-dessus,

les quantités sont supposées positives ; les signes resteront posi-

tifs dans tout cas particulier où les mouvements sont semblables à ceux des exemples qui ont donné ces formules, et négatifs pour ceux de sens contraires.

608. Soit, pour application des formules précédentes, les systèmes épicycloîdaux représentés dans les figures 479, 480 et 481, et supposons que les lettres qui désignent les rooes représenteot les nombres de dents.

Le système formé des roues A,B,C, dans la figure 480, esttd de sa nature que les roues A et G tournent en sens oi^^, fir suite E est négatif; de même dans le système de la figure 481 ; mais dans celui de la figure 479 , les roues extrêmes toonot dans le même sens, et par suite e est positif. D'ailleurs, on a pour le système de la figure 479 :

Al? A r*

e=-f— ;danslafig.480, 6==— -,etfig.481,£=---=:-l.

Lorsque la première roue des trains est fixe, c'est-à-dire lors« que m=0, on a, d*après la formule (2) :

Pour 480, ?i=fl+-|ff.

Pour 481, n = 2a, net a étant respectivement les rotations simultanées de b dcr nièrc roue et du rayon.