Pour le système de la figure 483, dans le premier cas

e = ^ et comme le rayon étant supposé fixe, c et/ tournent dans

des directions opposées, e est négatif; [jl = - et v = -, et cotBS»

d'ailleurs </ et h tournent dans des directions opposées, (* et»

doivent avoir des signes différents. La formule trouvée devient:

a UL£ — V ace h

p l-f-£ bdf g aceg — hhdf

f (5 ~ bg [df'\-cc) '

Pour le second cas, e est négatif,

et les signes de fi et v sont différents ; Ton a :

n , , t qI t ce\ . ace

610. Les systèmes épicycioïdaux ont de carieuses applications; nous allons en donner les exemples les plus remarquables. On les emploie :

f Pour des mécanismes dont la production du mouvement éj^eycloldal est le but, comme la plume géométrique déjà décrite pour le tracé des épicycloïdcs, ou dans lesquels on utilise quelques propriétés de ce mouvement ;

2* Pour établir un rapport de vitesse déterminé avec une grande exactitude entre deux axes de position fixe, lorsque ce rapport est composé de termes qu'on ne peut faire entrer dans un ensemble de roues dentées à axe fixe ;

8° Pour produire un mouvement différentiel , une accélération ou retard d'un mouvement de rotation ; • 4* Pour concentrer Teffet de deux ou plusieurs pièces différentes et indépendantes sur une même roue , quand l'action d'une ou plusieurs de ces pièces est variable.

611. Le rayon ou barre qui porte les axes reçoit diverses formes. En général , la partie qui se meut doit être aussi légère que possible, et comporter un petit nombre de roues , surtout quand la révolution se fait dans le plan vertical, parce qu'à cause de l'excentricité le poids est une cause de dérangement, à moins qu'il ne soit exactement équilibré. Eu général , quand le système non centré est nécessairement lourd , on en dispose les axes verticalement.

570 LIVRE DEUXIÈME. î

Premier rai».

TRAÇés DE GOllBXIES ÉPICVCLofDÀLES. , — l^^Q^^i^SfjtS PfS . MOUVEMENTS PRODUITS.

612. Premier exemple, — Paradoxe de Ferytuson. — Soit QM roue A de vin^ dents ûxée à un axe repésant' sur le.JM^.^ supporte l'appareil (fig. 484). Un rayon CD tourne autour de cet axe et porte deux axes m et n qui y sont fixés. L'un dta sert d'aixe à la ixiue B d'un nombre quelconque dé dents 'q^l'ciigrèoé avee^a roue A et Tailtre aux trois roues Ë, F, 'G. • i ' ''

■•■"'■'■ ■'■ Fig. 404. ■ ■ ■ ■■ ■

Quand lo levier CD tourne, il communique le mouveine&tà ces trois roues, qui uret les roues A et B forment trois syslènes épicyeioïdaux.

Les roues extrêmes de chaque train tournant dans le méoie

sens, e est positif; la formule applicable à ce cas est - =1 —e,

n et a étant les rotations simultanées et absolues de la rooe et

du levier.

Si e = 1 , - = 0, etla dernière roue du train n*a pas de rotation

absolue. Si e est plus grand que Tunité , la dernière roue 1 dans la même direction que le levier. Mais si e est phas grand que

l'unité, - est négatif, et les rotations absolues du levier et delà

roue sont de directions opposées.

Soient E, F, G, respectivement de 21 , 20 et 19 dents; dans le

A 20 train supérieur, £= -= — est plus petit que l'unité, la roue

tourne dans le même sens que le levier.

Daiis leta-édndh milieu, e=-==—Vquantîté égale à l'unité,

- = 0, et F n'a pas de révolution absolue. Enfin, dans le train

• rU/iJ-'i • ■ •■•'■-A: »• 20'î'-»v -■ '•■^,'î -,LV' '" ^•'

inleneur, e =■- = — plus grand que 1 unité^ et G tourne en ar-

lwQ4 ri' î .^. , . .' (n »■ . . . • w ./:■'.. ••

Aioai^par une môme rotation du levier^E toumedans le même sens que. lui ^ Gf<en»9eQS eoiutraU'e^ietiF reste en^ replos; chaque point de sa circonférence demeure toujours dans la même direction. De là Tapparent paradoxe d'où provient le nom de cet appareil destiné à faire comprendre les propriétés des combinaisons de ce genre.

618. Deuxième exemple, — Mouche ou roue planétaire. — La disposition que nous allons décrire avait d'abord été employée par Watt pour convertir le mouvement alternatif du piston de la mafd^ne^à^.vapqur op ^louvement circulaire, aloj^i qu'un bnevet rmjp^bait.d'efpployer'la maDlveile. Sur l'a^e du volant est montée une roue dentée A(ftg« 4^6), .qui op^i%ac aveoifune rouQ 4entée B fixée à Textrémité de la bielle DB, le èéntre B étant réuni au ctentre A par Iç. rayon 9A quiimaintient le contact des deux roues. Quand le piston par son action exercée sur le balancier enf .; . :ï'if-4^. trafneiertiyon BÀ, celui-cî tournerait

ai^Qur du^ntre A copime we manivelle ordinaire, /û la roue B alj^l^ à la bielle D B w venait mpdijOe^ csettc, actipn-

En effet, les roues A , B , avec le levierAB^ constituent un train

épicycloïdal, dans lequel -= e est négatif, puisque les roues

.,^q|^çnt,4ans des direction^ oppo3éeS(„ pt la dernièi^e roue n'a

pas de rotation propre puisqu'elle est fixée à la bielle. La formule

n — a générale qui, est: m = a-\ , deviendra donc, en faisant

Dans la machine de Watt les roues sont égaies, par suite 7n = 2 a, et le volant fait deux tours pour un de la manivelle.

614. Cet appareil est curieux et susceptible de quelques applications pour obtenir simplement des multiplications de vitesses.

Son effet s'analyse facilement en calculant les vitesses angii* laires.

Soit y I la vitesse angulaire avec laquelle le centre B se ment autour de A, R le rayon de chacune des roues dentées, SRY, sera le chemin parcouru en une seconde par le centre de la roue B. Puisque cette roue est fixée invariablement à la bielle, tous les chemins parcourus simultanément par tous les points de cette roue sont égaux à celui que pai-court son centre, sont transportés comme lui. Ainsi SRV. sera aussi le chemin parconro par la roue B à son point de contact avec la roue A. Soit V. la vitesse angulaire de cette dernière, le chemin parcouru parle point de contact en tant qu'il appartient à la roue A sera représenté par V. R. Donc V, R = 2 V, R ou V. = 2V.; c'est-à-diw que la vitesse angulaire ou le nombre des toui's du volant est double de la vitesse angulaire de Textrémité de la bielle ou do nombre des oscillations complètes de celle-ci.

Et en général, si AB = (n + t)R , V. = (n+ 1) V..

615. M. Saladin, de Mulhouse, a publié un curieux travail sur la mouche, sur les diverses vitesses qu'on peut obtenir suivant le rapport des rayons R et R' des roues.

Les vitesses des deux roues, Tune fixée à la bielle, Tautre

montée sur Tarbre du volant , étant dans le rapport de 1 à 1 +r7,

on voit que pour :

R = R', chaque oscillation donne 2 tours du volant,

R = - R', chaque oscillation donne l + - tours du volant ,

ainsi de saite.

On aura donc ainsi un nombre de tours du volant plus grand

le le nombre d'oscillations de la biel)e et dans le rapport que

>n voudra, pourvu que le mouvement de la bielle ait une am-

itude convenable.

Si Ton voulait obtenir un nombre de rotations inférieur à celui

s oscillations de la bielle, on ne pourrait y parvenir par le

rstème précédent. Mais si Ton interpose entre les deux roues

le roue intermédiaire quelconque, Teffet de cette roue est de

langer le sens de la rotation due à rengrènement^, et le rap-

>rt des vitesses devient 1 — :s7' ^^ effet, si la roue fixée à la

idle tourne dans un sens, Fengrenage au moyen de la roue

ttermédiaire communique une rotation inverse, et le résultat

îftDitif sera la différence de ces deux mouvements.

Ainsi R = R' donne zéro; le balancier marchant, l'arbre du

>lant n'aura pas de rotation ; R = 2 R' donne — 1 ou un tour

1 arrière ; R = — donne - tour dans le sens du mouvement de 2 2

L bielle.

On voit ainsi comment, pour un même mouvement de la lelle, l'arbre du volant peut rester fixe, ou tourner soit à droite, 3it à gauche, avec une vitesse qu'on est libre de varier avec les Qgrenages.

Les mêmes effets peuvent s'obtenir au moyen de poulies et de ourroies ou de cordes. Si la courroie est croisée, l'effet est le léme qu'avec deux roues de mêmes rayons que les poulies, indis que la courroie non 'croisée répond au même système agmenté d'une roue intermédiaire.

616. Nous empruntons à M. Saladin deux figures qui Indiuent bien les circonstances du mouvement.

Dans le système représenté flg. 486 , dans lequel la roue fixe st double de la roue stellaire, la rotation du volant est de 1 tour

Fig. 486.

et demi pour une osciflation da balancier. En effet, considérons la pouc steHaire après qa- elle a parcourn un quart de circonférence; Je rayon vertical or est toujours vertical tn dc\ |Kii«que la roue ne tourne pas. Cherchons ce qu'est devenu le point c si^r la ' roue h.

Si le disque a, au lieu d*étre tiré à latiielle^ eût élé Mék ia manivWIe; le f^P^ cerete h e<U tvMirtié d*iiii quart de eW^ \ conférence et le point de eontaet fût resté coMtant. Mais comme cette roue a est fixée À la bielle, le point de contact primitif s'est éloigné par reflet des dents des roues, en parcourant des lôngneûri égflkléi sur les deux- ciMonférences h partir du peint de contact; Si ûow on développe- c/(/> et qu'on enveloppe cet aresurlacirconféreniee^^ c" sera la nouvelle position du point c, et la rotation de h pour

celle de - de (I sera :

- H = -, puisque (/rs= - a = - ^.

Le rapport des vitesses sera donc de 1 à - = t + - •

La figure 487 représente un système à trois roues, a roue de commande et à translation, c roue intermédiaire mobile, h roue commandée d'un rayon double de celui de la roue motrice. Lorsque le disque a est venu en i(, son rayon d restant vertical sera venu en (f . Si. du point de contact ^, comme centre du mouvement, nous développons Tarc-^cf' pour le porter sur le disque c, nous trouvons que le rayon / du eelrcle c •\- ■ •■

est venu en/, et que le rayon opposé g est venu en /; si enfin

Fig. 487.

t j^ contact h' nous reportonssMr i l!arc développé g' h', (ippai^te qui. part 4u. point gf cenODBtnera ^^ear^'^ et le

erHcàî J'àfnrà pa^cà*W - — - - b='- 'àéurèmeht de tour'

^.t&irâea^ soit - tour dé h pour' un tour de ii.

;afit '<liie. si les rayoQ8:dei# ejt l\ étaient égaoiSi^^restesiobile, lès deux mouyemqnts en sens €i9ntraire.;étant et ^-e&fln si la rouç stellaire était; cçlle du plus gmnd te mouvement serait rétrograde, ta figure 488 représente lecas d*un tour ea adrrière ^i int des courroies nop croisées, et .une roue a, d'un rayon le celui de la roue^^. Après un quart de tour^ les.posila^yes de points situés. au départ sur des rayons perpenesau ^lémç bri;a.s*obtÂendifont en enroulant sur la cir* ^e^.de aj <i partir do. la position du rayon prip^Uif, ^ne

Tîg.488. ' ■ .1 . -

ir âe^la courroie égale à un quart de la circon£é|7ence et ant autour de la secoi^de par la mtatio^ de^selle-ci; iire en traçant deux arcs de développaintes. LarotfiUon

re sera X2 =- — , puisque - de à = - de ft.'Pour

ation complète de «, La rotation de b sera donc de-^ 1, pur en arrière,

618. Nous avions d'abord supposé que ]a bielle restait toujovr»*^ parallèle à elle-même, était Infinie {;^ les treo§8 pvàeédents moi^^ trent comment, qua^d la bielle est ç()ur4;ç^A^;ipégalités .^,^, vitesse derotati<)^«cm^ntavec.lcs..incUaa^ou^4Qi^ bielle^ .^^ que cette vitesse est plvis.grf(n4^;dans:(e^j^wtÀ^j^aqé0^ aa-d^ sus du diamètre horizQntalqop ppun pplles.pl^cé^ au-'diMSoijy (la position moyenne de^ la l^ietl^.étant s^ppû^^.verticalc^v dl»

Fig. 489.

résulte de la position que prend le rayon primitivement vertical de la roue stellaire ; comme il reste toujours dans la directioii de la bielle, Taxe à retrancher ou à ajouter devient tant<^t plus grand, tantôt plus petit que dans le cas de la bielle infinie. C'est ce que la figure 489 fait bien voir.

Trmcé des conrlies ëplcycloKilaleii.

619. Les mouvements que noos venons d'étudier ne sont pas seulement curieux quant aux vitesses, mais encore quant aux OQurbes qu'ils permettent de tracer. Bien que ne comportant que des guides du mouvement circulaire, et par suite facilement exécutables, ces systèmes fournissent des courbes transcendantes, des figures très-variées et pouvant parfaitement s'appliquer dans les arts pour certsâns cas de décoration, de guillodiage; le moyen de les produire par quelques mouvements simples a d^ été réalisé dans quelques tours.

Bien qu'il soit difficile de prévoir toutes les formes de ces courbes aussi complètement que si elles étaient représentées par des équations d'un degré peu élevé, néanmoins on peut déduire les principaux caractères de leurs formes, de Tétude précédente des vitesses : le nombre des points de rebroussement ou des boudes, la direction des concavités ou convexités, etc.

630. Complétons d'abord la description des systèmes propres à tracer les courbes épicycloldales.

Les 11g. 479 et 480 représentent d'une manière générale les systèmes propres à donner toutes les courbes concaves ou convexes par rapport, au centre du mouvement. Supposons le système formé de deux roues A^E, et de deux pignons ^,B. Nous avons vu qu'on avait, dans le système de la fig. 479, pour le rapport des vitesses, n étant la vitesse angulaire de la roue extrême, a celle du rayon porte-roue, e étant le rapport des vitesses

de rotation :

CAE\

Si au lieu de tourner dans un sens inverse du mouvement du levier la dernière roue tournait dans le même sens, comme dans ane disposition analogue à celle de la fig. 480, t serait de signe diffërent que dans le cas précédent, et on aura :

avec deux roues et deux pignons.

Ces systèmes compranant às^m Téquatioii 4e leurs vitesses des rapports quelconques pour les deux sens du mouvement, 8^ ront donc propres à foàriiir toutes tes iôMcàtloiis sur Uesfebdrto que nous avons à étudier iei; les équations sont toat à ftdt gi» nérales.

La première répond à un roulement sur rextérieor d*a cercle avec un mouvement inverte, la seconde à nn mcoveniart direct, à un 'roulement dans l'intérieur, par suite en e1iaiig«it le sens de la convexité de la courbe par riipport au centre il mouvement.

631. Ceci posé, il est bien évtdcfntqtie IWtae pourra oMêilr de courbes fermées qu'autant que c sera éxprtiné'par'iirnèflradlim dont les termes sewjat' éntfèrsVlfe'^<rtlit déêrtvant ne iifmtn Jamais par le point de départ si un des nombres est Ineommeasurable. Dans le cas contraire, comme on le voit aisément ei considérant les révolutions relativement au levier, qti6^ ébbp pas le mouvement d*«ntratnement général du systfamb qiiî'oilie la rotation des roues dentées, en supposant lè^syMèQicF flxe'et la première roue conductrice, le point décrivant revlendit tn- Jours exactement à la position initiale; la ccMirbe sera dose fermée.