Lorsque les directions des deux mouvements rectilignes
ne sont pas parallèles, les déplacements simultanés des deux extrémités de la bielle font naître leur mouvement -composé, et la courbe décrite par un point de cette bielle est une ellipse.
En effet, en nous bornant, pour le moment, au cas de deux goides rectangolaii'es, si M est un point de cette barre, abaissant de ce point sur les rainures prises pour axes de coordonnées les perpendiculaires M P = y, M Q = a: , posant M S = a, M R = ft, les deux triangles semblables M Q S, M P R donneront les proportlonsy : 6 = S Q : a, or S;Q=^/^rzr^
d'où y = - V/«^ — ^S
c'est-à-dire l'équation de Tellipse dont aeib sont les >deux axes.
Donc tout point d'une droite assujettie à glisser sur ^ux lignes droites par deux de ses points décrit uiie ellipse dont la somme ou la différence des demi-axes est celle de la longueur de la droite interceptée entre les deux directrices^
Cette ellipse se réduit à une droite pour les points R et S de la droite mobile, à chacune des rainures directrices:
642. Nous avons vu que le point m, centre instantané de rotation, est obtenu par la rencontre des deux perpendiculaires élevées sur les deux directrices à leur point de rencontre avec les extrémités de la droite mobile. La diagonale om étant égale à la droite mobile dont la longueur est invariable, le point reste donc une circonférence de cercle ayant le point de concours des deux directrices pour centre, et la longueur de la droite mobile pour rayon.
Le point de rencontre n des deux diagonales restant à une distance o n constante du point o, se meut également sur une -circonférence, d*où il résulte que si, pour une position donnée , on assujettit ce point n de la droite mobile à se mouvoir sur une circonférence, le mouvement de la droite mobile ne sera nullement modifié si Ton supprime une des directrices rectilignes.
643. Cette disposition a été employée pour obtenir un guide de mouvement rectiligne, et conduit à un système fort ingé-
nieax, mais malheareusement assez défectueux sous quelques rapports; c'est le parallélogramme d'Olivier Évans (fig. 642).
Fig. 642.
Soit B D une barre assemblée à Textrémité D avec une tige AD qui doit se mouvoir en ligne droite, et dont rextréndtéB peut se mouvoir horizontalement sur la ligne AB'.
Une barre A G', dont la longueur est égale à la moitié de BD, peut tourner autour d'un point fixe A et est assemblée à cha^ nière avec le milieu G de BD. Cette ligne, prolongée d'une longueur égale à A' c, passerait au point m, et le maintiaidnit sur la circonférence indiquée.
D'après ce qui précède, on voit que le point D ne peut se H" placer que suivant D A.
On peut xériûhr a posteriori Texactitude de cette construction. En effet les trois points D, A, B, étant situés à égale distance da point G% appartiennent toujours à une circonférence décrite dn point G' comme centre sur B D comme diamètre. Les deux points B et D étant les extrémités d'un même diamètre, l'angle inscrit DAB est droit, et le point D, se trouvant constamment sur la perpendiculaire AD élevée sur la ligne fixe AB, se meut en ligne droite.
On voit donc que, BD étant un balancier, le point D se meut en ligne droite s'il est porté par une tige articulée autour d'un point fixe A, et si les coussinets de l'axe placé en B sont assujettis à se mouvoir dans une glissière. Comme le mouvement rectiligne du point B est peu étendu dans le cas des madiines à
vapeur, on le remplace par un petit arc de cercle décrit par un support qui porte les coussinets de B, et qui oscille autour d'une articulation placée à sa partie inférieure.
644. Vitesses, — Le rapport des vitesses est celui fourni par l*expression générale, qui se simplifie, Tangle des directrices étant droit. Elle devient :
Vitesse de D ^ V cos. a
Vitesse de B~V ~ cc^Tp""^"^' ^'
645. Les théorèmes établis précédemment sont généraux , quel que soit Fangle formé par les deux directrices prises pour axes des eoordonnées.
Ainsi un point M de la droite mobile R S (fig. 543) décrira encore une ellipse, lorsque les coordonnées feront un angle différent d*an angle droit. En effet, en menant par ce point deux parallèles aux axes, ou aura :
y :ô=OS:/ouOS=-^.
Dans le triangle SQM , on a :
a^=x^+ QS*-f2QS X cos. 0.
^ OrOS = y-fQS.
Fig. 643. Substituant d'après la valeur trouvée
ponr G S, on a une équation du second degré en x et en y qui est celle d'une ellipse.
646. Le second théorème établi s'applique encore dans le cas où les directrices forment un angle quelconque 0, seulement le point
qui décrit une circonférence n'est plus le milieu de la droite mobile, mais le centre du cercle passant par les deux points guidés de la droite et le point de concours des directrices, cercle dont la droite mobile était un diamètre dans le cas précédent.
p. g^^ Joignons ce centre aux sommets du
triangle inscrit DSR, «,6, y étant les angles des rayons avec chacun des côtés, la longueur constante /
de la droite S R sera égale à 2r cos. y, et l'équation / == 2r cos. 7 prouve que r est coustant si y est constant.
Or pour une position quelconque on a toujours : 2ot + 2ê + 2Y = 2 droits, les trois triangles élémentaires étant isocèles comme d*ailleiirs a+6 = 0, COS. Y est donc bien constant, et aussi la valeorder.
Donc en général il existe toujours un point dans le plan qoi, supposé lié à la droite et entraîné par elle, décrit une circonférence , et en obligeant ce point à rester sur une circonférence, on peut supprimer une des directrices rectilignes.
647. Un système curieux, dit zigzag, permet de transformer, par une combinaison de leviers, un double mouvement circolaire alternatif en un mouvement rectiligne.
Ce système consiste dans la répétition de celui de la figure 416, représentant la transformation de circulaire alternatif en rectiligne alternatif à Taide de la bielle et de la manivelle, si Too change les bielles, en les prolongeant, en deux autres leviers oscillant autour d*un centre mis en mouvement par le premier système. On obtient ainsi la disposition de la figure 545, dus laquelle le point de rencontre des deux premiers leviers estleseol point nécessairement flxe.
Ce système se trouve donc nécessairement formé d*nneréunioii de parallélogrammes par l'articulation de barres parallèles deux à deux. Le transport diflérentiel se ferait également pour les longueurs quelconques , d'où varieraient dans chaque cas les directions et les vitesses, mais nous nous bornerons au cas le plus simple, qui seul se rencontre dans la pratique. Les divers centres des articulations,
suivant la direction constante de la diagonale commune aux losanges successifs, se meuvent nécessairement sur une même ligne droite.
Il est facile d'évaluer le rapport des vitesses de transport rec-
tUigne à la dernière articaiation avec le mouvement circulaire de Textremité du levier dans cet appareil. Pour un seul losange, te système n*est que celui de la bielle, comme nous Tavons vu, c'est-à-dire que pour passer de Tangle o) à Tangle ta' du levier avec la diagonale commune, / étant la longueur entre deux articulations, r la longueur des leviers moteurs, le mouvement angulaire sera r («a — w'), et le mouvement rectiligne /(cos. w' — cos. w).
Or COS. 0) = 1 h 1 etc.
Cos. o/ = 1 1-, etc.,
en se bornant à ces deux premiers termes, ce qui est permis pour apprécier la différence, surtout si oi — o/ n*est pas trèsgrand, le rapport devient :
r {(ù — ta') r
Appelons a cette quantité , elle se répétera pour chaque parallélogramme qui sera transporté à mesure que s*accomplit la rotation, et s'il y en a n égaux entre eux , le chemin parcouru par le point extrême sera na.
Les deux limites du mouvement sont ni lorsque les bielles sont parallèles à la diagonale passant par l'articulation fixe et se touchent, et np, p étant Tépaisseur des barres, lorsqu'elles reposent les unes sur les autres. Le chemin total, qui pourra être parcouru par Farticulation extrême pour un mouvement angulaire des leviers moteurs de 0 à OO"*, est donc n(/ — p)^ par suite très-grand relativement à celui ^cr des deux leviers, pour peu que n smt assez grand.
648. Mouvement circulaire en circulaire. — Une bielle dont les deux extrémités sont asseml>lées à deux rayons décrivant des arcs de cercle est le principal système à étudier ici, et le mouvement de la bielle dont la nature est celle des organes différenttels^ puisque les guides de rotation aux deux extrémités sont entraînés par les deux manivelles, jouit de propriétés cnrienses et utiles.
Courbe décrite. — An, B6 étant les deux bras ou rayons qui tournent autour des centres A et B, a ^ la bielle articoléci leurs extrémités mobiles; celle-ci prend diverses positions, etk figure 546 indique les priocipales.
Fig. 54r.
Un point c pris sur la bielle décrit la courbe en forme de8, men^ connue sous le nom de courbe à longue inflexion, inflexioD dont la symétrie indique In position sur la ligne des centr». Cette courbe se confond très-sensiblement vers ce point du mo»vement avec une droite , avec sa tnngente.
649. Au reste non-seulement on pourra obtenir ainsi lespotats successifs de la courbe, mais encore la tangente à la courbe ei cbaque point, ce qui en limite rapidement la forme et les contours principaux. En effet, si on prolonge les rayons des deux ccreks qui passent par les extrémités de la droite, on sait qu'ils se coaperont en un point qui sera le centœ instantané de rotation. Si donc on joint ce centre au point décrivant, une perpendiculaire à cette ligne donnera la tangente cbercbée. On trouve ainsi feeilement les deux tangentes au iK)int d'inflexion pour la position des rayons passant par les extrémités de la bielle, parallties entre eux.
650. Puisque tout est bien déterminé dans ce système, on peat, comme Ta fait M. de Prony, cbercber Téquation de cette eoorèe rapportée à des axes rectangulaires. Bien que de peu de valenr dans la pratique, à cause de sa complication , elle n'est pas ina*
tile pour reconnaître la forme générale de la courbe. Il importe d'opérer les éliminations successives avec quelques précautions pour obtenir Téquation définitive sous la forme la plus simple possible.
Elle est, d'après M. Vincent, en appelant a, h, c, d, ..., les longucui-s du parallélogramme et des lignes données: A, B, C..., des fonctions simples de ces longueurs :
^•y^-f(3(/»x' + 2A(/a:+B)y4 + (3rf3^4 + 4A^a;3 + 2C^»
+2Da:+E) y+ (dx^+Ax--{-Fx-\-G)-=o,
c'est-à-dii-e du sixième degré, et telle, comme le montre la dis-
cussion de Féquation, que sa forme se rapproche d\me sorte de
Umniscate ou d'un chiffre 8.
Cette équation ne peut guère être utilisée pour calculer la quantité dont la courbe à inflexion s'écarte de sa tangente dans sa partie moyenne, ce qui est l'objet intéressant pour la pratique de ces recherches.
Avant d'insister sur ce point, aion^..^ - • ■ - -"*^^^*^^ ^^' lement. sAna pi.^» ^^ i^iuui, lequation de la courbe dans le système des coordonnées polaires. On arrive pourtant à un curieux résultat ; c'est que , lorsque deux circonférences égales se coupent à angle droit, une droite mobile qui s'appuie sur ces deux circonférences, d'une longueur égale à la distance des centres, décrit par son milieu une Umniscate de Jacques Bemouilly, p^==2 COS. 2a>, dont les foyers sont les centres des circonférences.
D'où cette conséquence importante que faisait prévoir la similitude des formes, que la Umniscate est un cas particulier de la courbe à longue inflexion. (P. Carbonel. — Académie de Belgique,)
651. Le rapprochement de la courbe avec sa tangente dans la partie moyenne est le but spécialement utile de ces recherches qui expliquent l'effet de la disposition connue sous le nom de parallélogramme de Watt, qui doit ses propriétés à ce que, ses points décrivant des courbes à longue inflexion , leur mouvement dans la position moyenne a lieu sensiblement sur la tangente au point d'inflexion, qui, dans une grande longueur, s'écarte peu de la courbe.
La figure 547 montre remploi de cette disposition. Elle consiste à monter à Textrémitë d'un balancier un parallélogranuDe dont un angle est assujetti par un rayon à se mouvoir sur une
AI
Fier. M7. Fig. 548.
circonférence. Quant à la position du centre et à la lonpmirdo
rayon qui guide le parallélogramme, si la grandeur de cdnl-d
était donnée a priori, on la déterminerait en foisant passer me
circonférence par les positions du sommet <] du parallâogramoie
fmideax extrémités et au milieu de la course du piston (fig. M),
«^:*- r ' , * " "'^"ft droite. Le centre de ce cercle scrattli position la plus convenable du pomt uac.
Pif. 549.
652. La courbe ainsi tracée est bien la ligne décrite par m point dune droite mobile de longueur constante, dont les extré-
miiés gUssetU sur deux circonférences fixes ; c'est bien celic tracée d-dessQS par un semblable mouvement.
En effet, si parle centre 0 du balancier (fig. 649) on mène nne parallèle au côté ]yc,du parallélogramme A' VC D", elle rencontrera le prolongement du côté VC en un point E% et Ton aora 0E'= ly C == constante, et de même E'C'=Oiy = constante. Donc la droite CE% de longueur constante, se meut de manière que ses extrémités glissent sur deux circonférences ayant leurs centres en 0 centre du balancier, et en O' centre du guide do parallélogramme, et pour rayons O'E^, O^C. Un point B' fie la droite G' E' prolongée trace donc une courbe semblable à la courbe en question.
658. Ce qui importe pour la pratique, c'est Tévaluation des écartements de la courbe et de la verticale qu'un tracé permet toujours d'obtenir graphiquement. M. ^Villis a donné quelques méthodes de calcul approché convenables pour la pratique, que nous rapporterons ici.
Soient A, C, les centres de rotation des bras ou rayons AB, CD(ilg. 550); BD la bielle articulée à leurs extrémités; admettons d'abord que cette bielle soit perpendiculaire aux deux*
nirB r
fée
Ti%. 050.
rayons dans la position médiane ABC D du système. Cherchons à déterminer le point où devra être attachée la tige pour un minimum de déviation.
Faisons mouvoir AB jusqu'à la position A&, Ce et hc seront
les positions correspondantes de l^autre rayon et de la bîelle.
Menons i/ parallèle à BD.
Dans la première position , la bielle est perpendiculaire aux
rayons; dans la seconde, elle prend une position oblique 6c, telle
que son extrémité supérieure est jetée à gauche et son extrémité
inférieure est jetée à droite de la verticale BMd de quantités res*
pectives be, de, qui ne sont autre chose que les sinus- verses des
arcs décrits pour les rayons. Il y a quelque part sur la bielle on
point M situé sur la verticale BMcf, tel que ces quantités soient
égales; le lieu de ces points se déterminera en chaque instantpar
la proportion :
bM :Mc = be : dc^
faisant AB=R, CD = r, BD = /, BA6 = 0, DCc=«pct
6M = a?, on'a:
^ . , Rsin.»''^ R*sin.»-
X R sm. vers 6 2 r i
/ — X r sin. vers. ? . 9 R .9
^ rsin.»-i- r»sîn.*-
L*angle BA6 = 0 ne dépassant jamais 20° dans la pratique,
rinclinaison c6/de la bielle est toujours assez petite et Tare
B6 = R0 est à très-peu près égal à Dr=r9. Comme ces aagles
sont très-petits, les sinus difTèrent peu des angles, donc sanse^
reur sensible on pourra encore poser:
R sm. -= rsm. -,
„ . .r r Ir
dou-î =etx = !
g Soit R = 7, r = 4, / = '2, on a: a:= — = 0,727.
654. On avait admis jusque dans ces derniers temps que la disposition qui correspond à un minimum de déviation était celle représentée sur la figure 661. Les rayons soat de même longueur et admis pour simplifier égaux chacun à IV nité. Ai est la position angulaire extrême dcAB, BAft=8; la distance horizontale A K des centres A et C est faite égale à AB-f-CD — sin. vers. 0.
Dans cette combinaison , les ra} ons étant supposés parallèles lors de leur première position A B, C D, la seule inspection de la figure montre que la bielle s'incline tantôt à droite , tantôt à
JfL ]^ B
Fig. 661.
gauche de quantités presque égales, et, par conséquent, le milieu de cette bielle, lors de sa position inférieure hd^ est sur la verticale qui passe par ce même milieu lors de sa position enBD.
L'inclinaison de la bielle variant sans cesse entre les positions extrêmes, son centre déviera de cette verticale pour des positions intermédiaires d'une quantité facile à calculer et qui sera maximum lorsque cette bielle sera elle-même verticale. Supposons que cela ait lieu lorsque le rayon ÂB fait au-dessous de rhorizontale un angle ABe = 0., la bielle étant en ef, et soit :
DC/=«p., wDB = rf6*=Y, on a alors :
wiD-f-D* ou /cos. Y + siû. f. = sin.6, +/,
d'où sin. <p, = sin. 6. + / (l
B m ^ sin. vers. 0
/y' -cos.Y)=sin. 0. + -^;
mais
donc
sin, o. =sin.ô. -j-
(sin. vers. 6)*
Ti '
et le calcal de la déviation du point miliea devient passible,
est égal à (art. 640) :
COB. <p, — COS. 6,
La table suivante donne quelques valeurs des angles et des déviations correspondantes; on y suppose pour le calcul /sr-et sin. vers. 0 = 2 sin. vers. 6., ce qui est sensiblement vrai.
DÉVIATIO'. il
655. Lt système le plus généralement employé, celui qu'M retrouTe dans les grandes machines à vapeur, est celai d*n parallélogramme articulé représenté sur la figure 552, c^eslsoo cette forme qu'il a été combiné par Watt.
Fig. &52.
Le demi -balancier de la machine A 6 est lui-même an des rayons des systèmes précédents. Il porte de petites bidics ed = bfct une troisième barre df qui lui est parallèle et égale kbe. Une bride C d s'articule à Tangle d du parallélogrammeiC^ tourne autour d'un point fixe C tel que Thorizontale menée ptf .
ilDt divise en deux parties égales Fanglc décrit par le balan- II s'agit de proportionner la longueur des tiges de telle qnef, qa'on nomme quelquefois le point parallèle, se
re sur la même verticale ou à très-peti près.
itdonc \E=A« = R, ft€=/rf=R., Crf=rr.
enons KdetCU parallèles à A B, on a Kcf/=:BAft = e,
lsonsMCrf=9.
5 même que précédemment, le point d est porté vers K d'une
itité égale à C (/ X sin. vers, «p = r sin. vers. <p, et le point/
it simultanément ce chemin vers K et un autre chemin en
opposé par le changement d'inclinaison de d/, qui est égal
*Xsin. vers. /rfK = R, sin. vers. 0.
ces deux chemins sont égaux, le point/demeure sur la ver-
e B/, ce que Ton veut obtenir.
onc on posera :
sin.» r 2 r sin. vers, q = R, sin. vers. 6, ou — - = .
sm.» -
Ais les leviers Ae^Cd^ réunis par la bielle ed, fournissent iystème semblable À celui de la fig. 649; nous pouvons donc
re de même :
Aesin. - = Ct/sin. i, ou R sin. - =rsin. -,
^-peu près, d'où :
sm.» -, ^,
, ,9 R» r/*'' r.' sin.» -
t-à-dire que A e doit être moyenne proportionnelle entre Cd foube.
ê%. Le père Caiix>nnel (Mémoires de l'Académie de Belgique) terminé d'une manière générale, par des recherches analyles, les proportions des éléments du parallélogramme qui assit la plus grande étendue possible au mouvement circulaire
du balancier, et au mouvement rectiligne de la tige du j^sloii (dans Tapplication faite à la machine à vapeur), en même temps qu'elles donnent à ce dernier mouvement toute la rectitude dont il est susceptible. Il était arrivé par une analyse approximative aux conclusions suivantes :
La direction V V du mouvement rectiligne coupant le raycm
Fig. 653.
horizontal A C divisant en deux parties égales la course totale C Qé" doit être située au milieu de la distance qui sépare le point G de la droite C C \ le point E doit être situé au milieo du demi-balancier AC; le côté E^ doit être pris aussi grand qœ la machine le comporte.
Ces résultats confirment pleinement les règles de Watt, qui prenait le point E au milieu du balancier, et Ee compris entre
?et -deC'C, et AG = -CC'.
657. En y réfléchissant toutefois, on s'aperçoit que c*est une faute que de rendre la déviation nulle pour les points extrêmes, comme on le fait par tradition , sans remarquer qu'on pouvait, avec avantage, rapprocher les points limites.
Dans un travail inséré dans les Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg, un analyste russe fort distingué, M. Tcbébychew, a critiqué la méthode ci-dessus indiquée, et a mcmtré qu'elle ne conduisait pas à la meilleure solution possible.
« Si Ton trouve, dit-il, qu'il y ait un avantage particulier à
» donner à la tige du piston la direction tout à fait exacte au
• commencement, au milieu et à la fin de la courbe, la tige- » goide qu*on trouve d'après la méthode dont nous venons de » parler est évidemment la seule qui remplisse cette condition. » Mais ce cas, comme nous le' verrons, n'est pas le plus favorable
• pour la précision du jeu du parallélogramme dans les autres » points de la course du piston. Quant à la position la plus
• avantageuse de la tige du piston par rapport au balancier, le
• principe précédent ne nous la donne pas. D'après la théorie
> que nous proposons , la tige du piston doit être plus ou moins » rapprochée du centre du balancier, selon les dimensions du » parallélogramme, et, dans les cas les plus ordinaires, sa direc- » tion ne passera pas par le milieu du sinus-verse de Tare décrit
> par rextrémité du balancier. Ainsi, dans le cas où le parallélo- » gramme de Watt est construit sur la demi-longueur du bras du » balancier (comme Watt Tafait lui-même, et comme on doit le » feire si Ton est maître de disposer des dimensions du parallélo- » gramme), on diminue notablement la limite de la déviation de » la tige de ésl direction normale , en l'approchant du centre du » balancier plus qu'on ne devrait le faire d'après le principe dont m nous venons^de parler, savoir : 1) si, dans le cas où l'on cher- » che à rendre la position de la tige tout à fait verticale au com- » mencement, au milieu et à la fin de la course, on prenait >• pour sa direction la ligne qui divise le sinus- verse de l'axe dé- » crit par l'extrémité du balancier dans le rapport de 2 à 1, » et 2) si, dans le cas où l'on ne cherche pas l'exactitude absolue ■• dans les deux positions extrêmes de la tige, on prenait pour sa *» direction la ligne qui divise ce sinus-verse dans le rapport » de 6 : 3.
» Dans le dernier cas, la tige-guide ne sera plus déterminée » par les positions limites du balancier; on doit pour cela » prendre les positions qui les précèdent à peu près d'un qua- » rantième de l'amplitude de l'oscillation. Quelque petites que » soient les modifications dans la construction du parallélo- » gramme de Watt que nous venons de mentionner, et qui ne
" sont que des résultats approximatifs tirés de nos formules, » elles augmentent notablement la précision de son jeu. A l'aide » de l'analyse on peut facilement s' assurer qu'avec ces modifl- » cations la limite de déviation de la tige par rapport à la ligie » verticale diminue de plus de moitié.
» Cela prouve que le principe qui est la base de la théorie >• actuelle do parallélogramme est loin de réduire au nttnMim » la limite de ses déviations, si nuisibles par les efforts laténox 9 qui en résultent sur la tige du piston , et par ocMiséquent que » non-5eulement pour la tbéorie, mais aussi pour la pratique » elle-même, il importe qu'il soit remplacé par une méthode »»^ directe. »
Dans une savante analyse, l'auteur se propose de déterminer directement le minimum absolu des écarts, et en déduit les résultats indiqués ci-dessus, grâce à un maniement très-habile des ressources de l'analyse mathématique la plus élevée.
6SS. Le parallélogramme de Watt peut servir à guider en ligne droite deux tiges à la fois. En effet la tige OB' (fig. M9) rencontre le c6té D' ^ en un point b' qui reste le même sur cette droite, quelle que soit la position du parallélogramme, et ee point b' décrit une ligne semblable à celle décrite par le point B', ces deux lignes ayant leur centre de similitude au point 0. Il s'ensuit que la seconde approche d'une ligne droite, de même que la première.
La démonstration est facile; en effet on a :
ly^ oiy
•T-57 = 7-77 ou D' b' = constante, à cause de la similitude des
triangles 0 iy&,0 A' B.
Ob' OV Par suite on a de même ^r-^ = ttj} = constante; les deux
Vf MM \I A
courbes sont donc semblables.
659. S'il fallait mouvoir avec un même balancier plus de deux tiges à mouvements parallèles, il serait facile d'y parvenir simplement.
Soient en effet V V. V, V3 quatre directions données pomr les
tiges qoe Ton veat faire conduire par le balancier A C. M étant le premier sommet déterminé d*un premier parallélogramme, dans la position moyenne du balancier, joignons A M; nous déterminons idnsi les points M., M,, m, à la rencontre avec les directions VV. V», qui décrivent dans le plan du mouvement da balancier des courbes semblables. Menant ensuite les parallèles à CM, M. G. ,^M, G,... Em et prenant fTte =: mE, enfin menant eB parallèle à A G, on obtient le point B, axe d'oscillation de la bride 6 e.
Fig. 554.
Les parallélogrammes CM DE, C. M. rf, E, CMarfaE guideront également bien les diverses tiges qui doivent se mouvoir parallèlement.
La détermination du point 6 ainsi obtenu place bien le point M au point d'inflexion de la courbe en 8 toujours située sur la ligne AB (qui réunit les deux centres de rotation), et pour déterminer un centre B peu éloigné, il convient de faire, comme Watt, le côté du parallélogramme CE = 1/2 C A; la distance entre les axes B et A est alors réduite au minimum.
660. Vitesses des diverses parties. — Le parallél(^ramnie de Watt fournit le moyen d'obtenir le mouvement rectiligne alternatif an moyen du circulaire continu, à l'aide d*une bielle interposée entre la manivelle et le balancier et d'une seconde bielle qui réunit d'autre part ce balancier avec la tige qui doit être mue
d*un mouvement rectiligne (en faisant varier convenableibent son inclinaison par l'effet d*un contre-balancier).
Les vitesses élémentaires de chacun de ces systèmes se déterminent, ainsi que nous l'avons déjà dit, à Taide des centres instantanés de ratation, et comme le montre M. Girault, Texpreasion de ces rapports conduit immédiatement à celle des mouvements circulaire continu et rectiligne alternatif, les deux vitesses do balancier à ses deux extrémités étant nécessairement les mêmes.
Fig. 555.
Dans le premier système on aura, G étant le centre instantané
de rotation :
Vitesse de D G D
Vitesse de A "" ÂG' Dans le deuxième :
Vitesse de B H B Vitesse de E "" ÏTË' Vitesse de A AG HE GD HB'
d*où
Vitesse de B celles de D et E étant les mêmes.
Si Ton mène par le point O une parallèle à AG qui coupe eo I le prolongement de la bielle, nous aurons les deux triangles
semblables 0 D I , G D A, qui donneront -— = — - .
Ou GD
Prolongeons la bielle ËB jusqu'à sa rencontre en K avec
rhorizontale ed^ le triangle OKE sera semblable au triangle
OK HB HBE,etonaura— =— .
Donc, enfin, à cause de Tégalité de 0 D = 0 E, on aura : Vitesse de A 01
Vitesse de B "" OK"
661. Nous n^avons pas besoin d'insister sur les avantages qu*oirre le parallélogramme de Watt au point de vue du frottement quand on le compare aux glissières. Composé d'articulations qui ne parcourent qu'une petite étendue, le travail du frottement y est peu considérable, comme nous l'avons vu au livre P'. Ce n'est que la suppression du balancier, dans beaucoup de machines à vapeur modernes , qui justifie l'usage moins fréquent que l'on fait aujourd'hui de ce guide du mouvement, mais il n'en reste pas moins une des plus ingénieuses combinaisons mécaniques dues au génie de Tiliustre Watt.
