CHANGEMENTS CONTINUS DU RAPPORT DES VITESSES

697. Dans les systèmes précédemment décrits, il (aut nécessairement arrêter les machines pour effectuer les changements de roues, les déplacements des courroies, etc.; et de plus les séries de changements ne sont pas continues, et Ton ii*a toujours le choix qu^entre un petit nombre de rapports renfermés entre les limites extrêmes.

Nous allons maintenant considérer comment le rapport de vitesse peut varier d'une manière continue, ce qui permet d'obtenir toute valeur renfermée entre des limites déterminées.

Soient Aa^ Bb (flg. 691) deux axes parallèles, G, D, deux solides do l'évolution ou larges poulies mis en rapport par une courroie sans fin. Cette courroie est croisée, et la somme de toute paire de rayons appartenant à une même section perpeudieulairo aux axes est constante; la courroie est donc tendue et peut fonctionner dans toute ïif.wi.

position qu'elle occupe perpendiculairement à leur surfece.

Une barre r$ glisse dans la direction de sa longueur, ot est munie en t d*une fourche ou de rouleaux de frottement à Taide desquels la courroie est déplacée ou maintenue en place. £d

Ant, la barre entraine la courroie, et les diamètres variant

le manière continue, les rapports de vitesse entre Taxe me-

t et l'axe mette sont graduellement changés.

BS solides sont aisément déterminés d'après la condition de la

itance de la somme de leurs diamètres. Traçons A M, ai parallèles écartés d'une distance égale à cette somme (flg. 692), et soit CPQ la courbe génératrice d'une poulie lorsqu'elle tourne autour de AM ; la même courbe engendrera la seconde poulie en Fig 639 tournant autour de ab. Soit A N = a?,

NP:=y, nP=y., A et a étant les vi-

» angulaires respectives des deux axes AM et ab, on a ; A ___ y.

'ailleurs, pour que la courroie soit toujours tendue, on a

les solides sont des cônes, dans lesquels AM = /, MQ =r,

r . c — -X le

xr k l X

y = -y- et - = = r

la r

jX . X

>8. Si des déplacements égaux doivent flaire varier les rap-

i de vitesse en progression géométrique, on a :

NP y

— = ou— ^— =g'.

nP c— y ^

land a;==:0, NP=nP, c'est-à-dire lorsque l'origine est au

t A pour lequel AG = a C, et l'équation de la courbe peut

mise sous la forme

c . c - = a"* + 1 ou y = ; — ;

1 tire encore :

D'après cette équation, les ordonnées inverses à deox distances égales du point A, correspondant à des valeurs égales de « comme A N, A O, telles que N P, *R, sont égales.

Dans la'pratique ou fait toujours les poulies solides en forme de cônes, parce que la courroie glisse bien, rinclinaison n*étaiit jamais grande. Dans ce cas, tous les rapports de vitesses voulus s'obtiennent en faisant glisser la courroie de quantités inégales.

Nous avons vu qu^on avait dans ce cas :

A ^ „ . le

. , d ou a: = — X , , A,

d'où Ton déduit Jes valeurs successives de x pour toutes les n-

leurs de'*-.

Quelquefois on emploie un cône et un cylindre pour former les deux solides; dans ce cas, un rouleau de tension est nécessaire, pour qu'une même courroie puisse toujours servir, puisque la somme des diamètres des poulies n'est plus constante.

699. La fusée dont nous avons donné la description (livre R; est essentiellement un organe de variation de vitesse, puisque le rapport des vitesses des deux axes se modifie en chaque instant en raison du tracé des spirales.

700. Comme exemple d'emploi de ce précieux genre d'organe, je donnerai ici celui qu'en a fait M. Morin dans ses dynamomètres traceurs.

Il s'agit de faire passer une bande de papier enroulée sur un cylindre /, en ligne droite, au moyen du mouvement circulaire continu d'un axe n par l'intermédiaire du cylindre y sur lequel on enroule le papier qui se déroule de /, de manière que la vitesse du mouvement rectiligne du papier reste dans un rapport cobstant avec la vitesse de rotation de l'axe n. Il faudrait pour cela que le diamètre du cylindre g restât constant, si toutes les communications de vitesse étaient dans un rappoi*t constant; comme au contraire le diamètre s'augmente continuellement par

renroolement du papier, il faut que le mouvement se ralentisse précisément comme son diamètre s'accroit.

A cet effet, suf le prolpngemcnt de Taxe du cylindre g on place une fusée en forme de tronc de cône, dont Taxe est parallèle à celui du cylindre n; on mesure le diamètre de g quand il est vide et quand il est chargé de tout le papier qu'il peut recevoir; puis on prend pour les bases de la fusée des diamètres qui soient entre eux dans le même rapport que ces deux diamètres. Sur la surface de cette fusée on trace une gorge tdangulaire en hélice, de façon à former autant de filets qu'il doit y avoir de tours de papier sur le cylindre g. Cela fait, on fixe l'extrémité d'un fil sur la grande base de la fusée, et on l'enroule autour de toutes ses spires, puis on attache l'autre extrémité au cylindre moteur. Alors le papier étant enroulé sur le cylindre / et son extrémité collée sur le cylindre ^, il est clair que quand le cylindre n tour-

Fi g. C93.

nera pour faire enrouler le fil à sa surface, il se déroulera de la fusée^ des longueurs égales à celles qui s'enroulent sur n, de sorte que l'angle a. décrit par le cylindre n et l'angle a décrit par la fusée ou le cylindre g seront entre eux en raison inverse

do rayon constant R de n, et da rayon variable r de la toak, c'est-à-dire qu'on aura :

a: a, =rK : r ou a = a, — :

mais les longueurs Lde papier, qui s'enroulent sur le cylindre},

seront, pour un même angle a, égales aux arcs décrits à'lad^

conférence de ce cylindre, dont le rayon R' yarie, et

L = R'fl =:/!. 5r'.

Si donc les rayons- R' du cylindre et r de la fusée varient

dans le même rapport que le cylindre, chargé ou non, —étant

constant, les longueurs de papier déroulées seront proportioiinelles aux arcs a, R décrits à la circonférence du cylindre moteur n. Si par exemple le cylindre se meut uniformément, lien sera de même du papier.

701. Nous supposons dans ce qui précède qu'il s'agit de communication de mouvement cntrc des axes parallèles, ce qui est le cas le plus important. Si les axes sont à angle droit, on peut considérer eon\^e propre h faire obtenir an rapport de vitesse voula par contact de roulement le système que nous avons déjà décrit livre II , art. 264 , et qui consiste en un plateau assemblé sur un des axes, et sur lequel roule à plat une roue assemblée à un axe perpendiculaire au premier. Cette roue peut être placée à volonté à des distances diverses du point de rencontre des axes; le mouvement qu'elle reçoit du plateau est en raison de cette distance. Si r est le rayon du rouleau, R le rayon variable de son point de contact avec le disque, A et a les vitesses angulaires respec-

tives des deux axes, on a 7 = -, qui varie proportionnellement A r

à R. Si la petite roue est susceptible de s'écarter du centre, sa

rotation sera en raison de la vitesse de la grande roue et de sa

distance au centre.

Une roue reposant sur un cône peut encore servir dans le

cas d'axes qui se rencontrent (fig. 503); cette disposition, comme

la précédente, est surtout employée pour des compteurs (elle a

ré une Importante application dans le planimètre d'Oppiko-

la rone enregistrant à la fois par son nombre de tours et la

vitesse de rotation du cône, et la dis*

tance où elle est du sommet. Si l est la

distance de la roulette do sommet dn

cône , a la vitesse angulaire de la roue,

Fig. 594. « le demi-angle au sommet, le rapport

a l sin. « . ,.

vitesses - = , et vane avec la distance /.

le chemin parcouru par le cône, poussé par exemple le long

B crémaillère engrenant avec une roue montée sur un axe,

, on aura a = '— . Si la roulette se déplace suivant son

d'une longueur n, on aura / — l' ^=:n^ et recommençant

tatlon pour la seconde position de la roulette,

«r sin. oc

sin. «/?(/— /Q

•à-dire que Tindication a — a^ qui peut se lire sur un cadran

i donne l'aire du rectangle/? (/ — /'), par exemple une

^métrique. C'est là le principe du planimètre qui sert à

)sure des surfaces des plans topographiques.

2. Ces systèmes sont séduisants à cause de la facilitéavec la-

e ils se prêtent à Texécution de totalisateurs continus; tou-

. la fréquence des glissements qui s'y produisent les em-

i de fournir des résultats quelque peu précis.

ns le cas du plateau , la roulette devrait être sans largeur,

avoir un mouvement géométrique correspondant à la dis-

au centre de son rayon moyen.

8 effets d'inertie qui se produisent toujours lors des mouve- 8 dans le sens de l'axe contrarient les mouvements de Ion de la roulette , et il en résulte des glissements qui renies résultats défectueux.

système donné plus haut de roues incomplètes propre aux

machines à calculer, qui donne également le produit de dcax facteurs, est bien plus certain, et doit être préféré toutes les fois que son application est possible. Il en est évidemment aiiui lorsqu'il s'agit de nombres pris même pour des longueurs croissant d'une manière continue; il pourra souvent être égalemeit employé avec avantage en employant des roues d'une denhuc suffisamment fine, et en amplifiant, par une transformttioo simple, la longueur du mouvement rectiligne.

703. M. W'illis donne une curieuse détermination de la fonne qu'il faudrait donner aune roue pour qu'elle pût conduire mie roulette en ayant toujours un élément de contact linéaire pet étendu, mais permettant le roulement, comme dans le casdesdeux cônes lorsque le sommet de la roulette mobile doit se rnooTolr non plus parallèlement à son axe, mais en ligne droite. Lidé* tcrmination en est curieuse, malheureusement la constructioB est loin d'en être simple.

kl ■••-..

Fig. 535.

Soi^AB Taxe du cône qui conduit, engendré par la courbe Nn., la roue conduite consiste en une partie RM appartenante un c6ne dont le sommet se meut suivant AB, axe du premier oône.

Soit km une position du fragment de cône, dans laquelle le contact avec le premier cône a Heu en m, le sommet A s'étant

transporté cd a, am est d'après la génération de la courbe la tangente au point m, et sa longueur am^ du cône AC, est constante. On aura pour valeur de cette sécante / ;

ou ^ = constante = y

Vdx^-^-dy^

dy "™""^ " dy '

on enfin dx= ~ \/l^ — y', équation différentielle de la courbe

Nn, qui intégrée donne :

x=[/t^^y^+-\og "^ y .

A Taide de cette équation, la courbe peut facilement être construite par points.

Si l*on pose l/^^ — y^ = 5 sous-tangente, on a la forme plus

simple :

t. t + $ x = i log. — ■ — .

En faisant varier 1/ de l à 3 et posant ( = 4,80, on obtient les valeurs renfermées au tableau suivant, qui rend facile la construction par points de la courbe.