SURFACES ET VOLUMES DES CORPS DE RÉVOLUTION

894. Nous rappellerons en premier lieu un des plus beaux théorèmes de la géométrie essentiellement fondé sur des considérations de cinéma-

tique, le célèbre théorème de Guldin sur Taire et le volume des solides de révolution. Ce théorème frappe toujours vivement, et à juste titre , l'esprit des jeunes gens lorsqu'ils rencontrent pour la première fois une proposition de géométrie aussi générale en étudiant les premiers éléments de la mécanique.

Soit une courbe plane quelconque ABC (fig.780),qui tourne autour

Fig. 780.

d'un axe PZ situé dans son plan , de manière que tous les poinls de la courbe demeurent toujours aux mômes dislances de cet axe : celle courbe engendre une surface que l'on nomme surface de révolution.

Pour en déterminer Taire, on peut remarquer que chaque élément de b courbe génératrice produit une surface de cône tronqué dont Taire est égale au côté d s multiplié par la circonférence du cercle que décrit son milieu , ou son centre de gravité i, autour de Taxe P Z.

Donc, si Ton suppose tous ces éléments égaux, la surface entière sera égale à leur somme multipliée parla circonférence moyenne entre celles que décrivent tous leurs centres de gravité.

Mais cette moyenne circonférence a pour ra\ on la moyenne distance de tous ces points à Taxe de révolution , ou bien la distance du centre de gravité de la courbe au môme axe ; donc on peut dire :

Que Yaire dune surface de rév^Aution est égale à la longueur de la f/énérairice multipliée par la circonférence que décrit son centre dt yror vite autour de Vaxc de révolution.

On voit de la mémo manière que si plusieurs courbes situées dans le' môme plan tournent autour d'un axe situé dans ce plan, la somme des surfaces engendrées est égale à la somme des génératrices, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de leur système.

Mais il faut observer que, lorsque la génératrice ou les génératrices ne sont pas situées en entier d'un môme côté de Taxe, l'expression précédente ne donne plus que la somme des aires engendrées par les

parties qui sont d'un côlë de cet axe, moins la somme des aires engenda^es par les parties qui sont de l'autre côt<?.

895. On peut appliquer aussi la théorie des centres de gravité à la i-ubature des solides de révolution. Et il n*est pas difficile de voir que le volume d'un sclide de révolutitn est égal à i*aire de la section génératrice multipliée par la circcnfércnce que décrit son centre de gravité autour de Vaxe^fixe.

En elfct, si Ton considère un rectangle bcde (fig. 784), qui tourne

Fiff. 731.

autour de Taxe PZ parallèle à l'un de ses cotés 6e, il est clair que le solide engendré par ce rectangle est égal à la différence de deux cylindres de même hauteur et/, et dont Tun a pour rayon la distance ca, du côté cd à l'axe fixe ; et l'autre, la dislance la, du côté 6c au

môme axe. Ce solide est donc exprimé par (tt oc — tz ab ) cd^ en nommant tt le rapport de la circonférence au diamètre. Si Ton met ra— c6, à la place de a6, l'expression précédente devient

Tt (2acX6c— 6c)cd, ou 6cXcrfX 27t(ac— ^};

c'est-à-dire égale au rectangle 6ccfe, multiplié par la circonférence décrite d'un rayon moyen entre les rayons ca et 6a , ou bien égal à la «iislance du centre de gra\ité du parallélogramme à Taxe de révolution.

Donc, si Ton conçoit la section génératrice ZMN comme partagée en une infinité de i>etits rectangles égaux , on pourra dire que le solide total engendré est égal à la somme de tous ces rectangles, ou à l'aire de la section ZMN, multipliée par la circonférence moyenne entre toutes celles que décrivent leurs centres de gravité autour de l'axe. Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance de tous ces points au môme axe, ou la distance du centre de gravité à cet axe ; donc , etc.

On pourrait voir encore, par un raisonnement à peu près semblable au précédent, que, si une surface plane terminée par une courbe quelconque se meut dans l'espace, de manière que son plan soit toa-

jours (au même point) perpendiculaire à une courbe quelconque à double courbure, le solide engendre est égal à Taire de la suiiface génératrice multipliée par la longueur de la couii» que parcourt son centre de gravité.

Mais nous ne nous arrêterons pas à démontrer cette proposition que Ton pourrait déduire, aussi bien que les précédentes, des formule connues pour les centres de gravité. Nous ne ferons même aucune application particulière de cette théorie aux surfaces ej aux solides dont on a immédiatement la mesure en géométrie. Notre seul but, dit M* Poinsot, auquel nous empruntons ce passage de son excellent Traité de statique pour montrer comment cet esprit si éminent arrive au même ordre d'idées que nous poursuivons ici, était démontrer ce rapprochement remarquable de considérations (jui paraissent d abord étrangères entre elles, mais qui s*enchaineut comme toutes les questions soumises aux mathématiques ^ et se fondent , pour ainsi dire, le> unes dans les autres, lorsqu'on écarte un instant les noms que l'objet particulier de chaque question nous rappelle.

Note d.euLx;ième.