COURBURE PAR CONSIDÉRATIONS DE UNÉMATIQUE
901. M. Bresse a publié dans le Journal de f École polytechnique (35"* cahier) deux méthodes fort curieuses, basées sur des considérations empruntées à la cinématique, qui permettent d'obtenir les rayons de courbure de diverses courf)es. La première s'applique au cas où le centre instantané de rotation est facilement déterminé, ce qui est le cas des courbes tracées par des lignes assujetties à se mouvoir sur des guides donnés, la courbe de Watt, par exemple, à Taide d'un emploi des accélérations analogue à celui des vitesses dans la méthode de Rober>*al. La seconde s'applique aux courbes dont la génération résulte de deux mouvements simples combinés.
Nous ne pouvons entrer ici dans tous les détails que donne le Mémoire prëcilé; nous devons cependant indiquer une ingénieuse méthode ciui montre bien l'heureuse réaction de la cinématique sur la gcomélrie pure.
Définissons d'abord l'accélération, dont l'expression analytique a conduit à ces nouveaux théorèmes.
L'accélération d'un point est la quantité qui, multipliée par la masse, donne la valeur de la force, cause des changements dans l'intensité et la direction de la vitesse. La direction de l'accélération est d'ailleurs celle de la force ; enfin , ses projections sur la tangente et
sur la normale s'expriment analytiquement par j- et — , en appelant t; la vitesse, -j- sa dérivée par rapport au temps, et p le rayon
du cercle osculaleur de la courbe décrite. Le théorème fondamental est celui-ci :
Lorsquune figure plane invariable se déplace dans son plan y d'un
mouvemetU anUinu quelconque, les accéléralions totales de ses dictr$ points, à un instant donné, sont les mêmes que si la figure avait un mouvement effectif de rotation autour <f un certain centre, avec la vitesse angulaire, constante ou variable, qudle possède autour de son premier centre instantané de rotation.
Ce théorème conduit à la détermination des centres de courbure des courbes engendrées par un point d*une figure qui se meut dus son plan. En effet , la connaissance des deux centres instantanés de rotation, donnera à la fois la vitesse v et Taccélération centripète;
v^ du point en ({uestion. Comme on sait d'ailleurs que j = — , on en
conclura l'inconnue p.
Soit (F; la figure mobile ; si on la fait mouvoir à partir de sa position actuelle, pendant un temps infiniment petit dt^ chaque point décrira un arc infiniment |)etit de sa trajectoire. Pendant le déplacement élémentaire dont il s agit , la vitesse angulaire autour du point 0 centre instantané de rotation, est m. Soit 0' le nouveau centre, après le temps dt, m -f cio) la nouvelle vitesse angulaire, ds la longueur OU', p la distance de 0 à un point quelconque D de la figure ;F. OB la normale à 00', ^ Tangle BOD; soit enfin E la projection de 0' sur la perpendiculaire à 01), menée en 0.
Le point D parcourt la longueur DD', égale à p^dt et dont la direction est perpendiculaire à OD. Donc l'angle des deux normales consécutives OD, O'D' à la trajectoire D, a pour expression :
