DD — OE
= - 'pbidt — lis COS. 2»).
Fi;. 785.
1 ds
En prenant OC = P = - J}^^^' ?» ^^* ^"ê^e sera nul pour le
point G ; en sorte que le point G de (F) parcourt un ëlëmont présentant une inflexion, et, par suite, son accëlëration centripète est nulle. Maintenant, si Ton porte sur la normale à 00' la distance
OB = - -rret qu'on décrive sur cette ligne, comme diamètre, une ta dt
circonférence, elle passera en G; la circonférence OB est donc le lieu géométrique des points G , lorsque ^ varie , car elle est indépendante de cet angle.
Il existe pareillement une série de points disposés sur une circonférence, passant par le point 0, et ayant son centre sur Télément 00' prolongé en ligne droite , qui parcourent leur premier élément sans accélération tangentielle. La vitesse d'un point quelconque D étant pco, , cette accélération est exprimée par
-^, c est-a-dire par w -^ 4- p ^^ •
Or, dp = ^ O'E =r — d« sin. ^, donc
d. pcrt „. d$ . dta
et cette quantité s'annulera si, en conservant une valeur déterminée ^, on donne à p la valeur OG, =P,=(osin.cpj<. OA étant pris égal
à b> -T-, OC, sera la projection orthogonale de OA; donc G, appartient à la circonférence décrite sur AO, comme diamètre, circonférence qui ne dépend pas de ^, et qui , par conséquent, est le lieu des points analogues à G,, lorsque cp varie. Ainsi, tous ses points (excepté le point 0] n'auront pas d'autre accélération tangentielle, en quittant la position où ils sont actuellement.
11 résulte de ce qui précède que le point c d'intersection des deux circonférences OA et OB (point qui ne peut devenir imaginaire) aura une accélération totale nulle. Si Ton rapporte le mouvement de la figure (F] à des axes en translation commune avec ce point , l'accélération d'un point quelconque de (F) sera la même dans le mouvement absolu que dans le mouvement relatif. Or, le mouvement relatif consiste en une rotation autour de c, avec des vitesses consécutives m et co + dcd, car on sait que la vitesse de rotation d'une figure reste la même, quel que soit le système en translation par rapport auquel on l'observe. Donc les accélérations totales des divers points de la figure mobile sont les mêmes que si elle tournait autour de ce second centre intiantané de rotation avec la vitesse angulaire ta qu'elle possède autour du centre 0, et l'accélération angulaire -rt ; c'est-à-dire que si on
8a6 NOTES.
représente par r la distance cD, Taocëlëration totale sera la rêsidtante
des deux accélérations ta^r dirigée suivant cD, et i* -!? dirigée per-
dt
pendiculairement à cD. C^est le théorème fondamental qu'il s'agissait
de démontrer.
Memarques. — 4<* Les angles "BcO, ÂcO étant droits comme iascrits tons deux dans des demi-KÙrconfiérences^ la ligne Bc A est une droite.
H? Lorsque le mouvement de rotation de la ^figure est onifonne, on<a :
g- = 0,et 0A^= 00
La circonférence décrite sur cette ligne , comme diamètre , est alors remplacée par la droite indéfinie OB, et le point B est le centre d'accélération. L'accélération totale d'un poiitt quelconque D est dirigée suivant DB, et a pour valeur w^DB; d'où il suit que Taçcélératioa normale à la direction DC égale à w*DC, ou bien à w^ (p — P) en valeur abaohie ; c'est-à-dire qu'elle s'obtient en faisant le produit do quarré de la vitesse angulaire par la projection droite, sur la normale, de la ligne qui joint le point en question au point B, et qu'elle a le même sens que ladite projection. Cette dernière conséquence est encore vraie lorsque ta varie , car l'accélération normale dépend seulement de la vitesse et non pas de sa dérivée, de sa ^-ariation.
Le point B, auquel viennent concourir, dans le cas d'une nXatioa uniforme, les accélérations totales de tous les points, nous le désH gnons sous le nom de centre instantané des accélérations.
3° Il est aisé de déduire do la remarque précédente, la valeur du rayon de courbure p de l'arc décrit par le point D, pendant le déplacement élémentaire. En effet, la vitesse de ce point est ^p, son ac-
céléralioû centripète est i o)^ [p — P) ; donc p = + ^ p, et celle
longueur doit être portée, à partir du point D, dans le sens DC.
Règles. — Lorsque, pendant le mouvement de la figure mobile, une courbe MN touche constamment une courbe fixe PQ (fig. 786;, GE et GD étant les rayons des cercles osculateurs de ces courbes au point de contact, et le castre instantané de rotation se trou^^nt en 0 sur la normale commune, on cherchera £C, troisième proportionnelle à D£ et CE,
OIË*
c'est-à-dire à EC =:—=-; on portera cette longueur à partir du
centre de courbure de la courbe mobile, on le dirigeant vers celui de la courbe fixe; la ligne indéfinie CB, mcnc^e par le point C ainsi ob-
tenu, perpendiculairement à la normale commune DE, passera par le centre instantané des accélérations.
En effet, M'N' étant une position infiniment rapprochée de M N, la nouvelle normale commune en G' sera infiniment Toistne de la première; donc elle devra passer en D, qui est resté fixe, et pAr la nouvelle position E' de E. I)e plus/ comme le centre 0 se trouve toujours sur kl normale commune, il a dû venir en un point tel queCX, sur DE', de telle sorte que cette ligne est encore une normale à k trajectoire (le E. Donc D sera le centre de courbure de Tare élémentaire décrit
par ce point, et appelante» la vitesse angulaire, m^ ^w- exprimera son
accélération centripète.
