CHAPITRE III
MOUVEMENT d'uN SOLIDE.
Un solide est un système de points dont les distances naturelles restent invariables, quel que soit le déplacement du système tout entier dans l'espace.
La figure du système peut être définie l** par la connaissance des distances mutuelles de trois points A, B, C, non en ligne droite ; 2° par la connaissance des distances de chacun des autres points du système aux trois points A, B, C. D'après cela, on voit qu*il suffît de connaître la position du triangle dont les trois points A, B, C sont les sommets, pour que la position du système tout entier soit connu; les mouvements que prennent simultanément ces trois points pour connaître ceux du système.
21 . Mouvement d'une figure plane dam son plan, — Considérons d'abord une figure plane assujettie à rester dans un même plan, et dans cette figure une droite tracée à volonté et qui suffit pour déterminer complètement sa position sur le plan. Voyons ce que devient cette droite lorsque la figure se déplace d*une manière quelconque, pour venir prendre une position infiniment voisine de la première.
Soit m le point du plan où se coupent les deux positions de la droite, et marquons le point a sur la première position de la droite qui après le mouvement vient en m, et le point h sur la seconde, qui est la position
. , Fig. 18.
qu occupe après le mouvement le point qui était en m avant le mouvement; par suite on a nécessairement ma = mb.
Ceci posé, élevons une perpendiculaire sur le milieu de am , et une autre sur le milieu de hm , ces deux droites se couperont
en un point F, centre du cercle circcMiscrit aux points a^m^b, dont deux appartiennent à chacune des droites, et par suite déterminent sa position aussi bien que celle de la figure qu'elles traversent. Gomme il est clair qu'on pourra amener la droite de la première position à la seconde par une rotation convenable autour du point F, on peut donc établir que : toute figure plane peut être amenée d'une position donnée sur un plan â une autre position prise à volonté sur ce même plan, par une simple rotation autour d'un point convenablement choisi.
Si les perpendiculaires sont parallèles, le point de rencontre se trouve à Tinilni, et le mouvement de la figure est un mouvement de translation.
Admettons maintenant que le déplacement imprimé soit infiniment petit. Alors , le chemin parcouru , la trajectoire infiniment .petite du point a se confond avec la droite nm^ et celle de b avec m^; par suite, le mouvement est en réalité une rotation autour de Tintersection des normales aux trajectoires des deux points a et b. De là il suit que les normales aux trajectoires de tous les points de la figure passent en un même point F, qui est U centre instantané de rotation.
La détermination du centre de rotation permet de calculer immédiatement les vitesses relatives de tous les points de la figure qoi se meuvent sur un élément de circonférence ayant pour centre le centre de rotation, si IVon connaît également la grandeur d'une de ces vitesses. Il suffît pour cela de déterminer d'abord le centre instantané de ratation, en élevant des perpendiculaires sur les directions connues des vitesses de deux des poinls de la figure; la vitesse d'un point quelconque est à la vitesse, connue dans le rapport des distances du centre instantané de rotation aux deux points auxquels se rapportent ces vitesses. Itous ferons dans cet ouvrage d'incessantes applications de ces importants théorèmes.
Le pied de la perpendiculaire abaisséo du centre instantané de rotation sur une ligne, une courbe qui fait partie de la figura, est un point appartenant à deux positions successives de la tan*
geute à la courbe en ce point, ou, ce qui est la uiémc chose, il est l'intersection, suivant un élément commun, des deux positions successives de la com*be.
La connaissance du centre instantané de rotation fournit le moyen de tracer une tangente à une courbe qui peut être engendrée par le mouvement connu d*un point, sans que la courbe soit tracée. Elle est la perpendiculaire à la ligne qui joint au centre de rotation connu pour la position considérée, le point de la courbe.
Il ne faut pas confondre le centre instantané de rotation d^une figure plane, mobile dans son plan, avec le centre de courbure des tri^ectoires des divers points de la figure. Dans le mouvement de rotation élémentaire autour de ce centre instantané, chaque point ne décrit qu'un élément de sa trajectoire. La position du centre instantané de rotation fait connaître seulement on second point de la normale , et par suite la direction de la tangente à la trajectoire, sans rien indiquer relativement à la courbure de celle-ci.
22. Considérons toujours une figure plane assujettie à rester dans un même plan, et supposons que Ton donne à cette figure un nombre quelconque de positions différentes. Supposons qu'elle tourne actuellement autour du point 0, premier centre instantané de rotation , 3iT ^ x»
et se déplace de Tangle a ; qu'ensuite elle ^ ^V^
tourne autour de 0' et se déplace de 7j^
Tangle a'; qu'ensuite elle tourne autour i^/^' r
de 0' et se déplace de l'angle a'', et ainsi ac^^.^^^-^ de suite. Avec ces données, il est facile ^ '^^'*""^^^^' de construire le polygone MM'M^M""...
qui, lié invariablement à la figure (F), soit tel qh'en le faisant rouler sur le polygone 0 o'o''... on fasse faire à cette figure les mouvements qui viennent d'être indiqués.
A cet effet , tracez MM' = oo', et faisant Tangle M 00' sa; puis menez M' m" faisant angle MM' m" = angle 00' o' et tracez M'M''= o'o* et faisant angle M'M'w^'rsa'; menez de
sr
même M' m"' faisant angle M' M" m'" = angle 0 O'' o"' et tracez M^'M"' = OV" et faisant angle M'" w'"=a";etainsi de suite.
Il est évident qn*on peut faire passer la figure par toutes les positions données, en faisant rouler le polygone M M' MM''... lié invariablement à la fig. (F.) sur le polygone 0 0' 0^...
Maintenant, supposons que les positions données de la figure soient infiniment voisines et infiniment nombreuses. Alors, les deux polygones se réduisent à deux courbes, et il en résulte que UnU numvetneni (tune figure plane dans un plan se réduit au rour kmetU d'une courbe liée avec la figure sur une autre courbe fixe dans U plan, la forme de ces courbes dépendant de la loi du mouvement.
23. Définissons avec soin le mouvement de roulement, et à cet effet considérons une courbe mobile assujettie à rester dans toutes ses positions, tangente à une courbe fixe.
La courbe mobile roule sur la courbe ûxe (fig. 20, 21), lorsque
Fig. 21. ttv
Fig. 22.
le lieu du contact parcourt: à la fois sur les deux périmètres des arcs égaux en longueur.
Soient mn^ m! n! les courbes données : marqooiis un certain nombre de points 0,1,2, etc., 0' \' 2% etc., tels que les
axes 0 1,12,2 3 soient respectivement égaux en longueur
anxaresO' 1', 1' 2'...
Si à Forigine les deux courbes se touchent par les points 0 et O', dims la suite du roulement elles se toucheront par les couples let 1', 2et2'....
Béciproqnement, lorsqu'à un certain instant la tangence des courbes aura lieu en un oonple de points 2 et 2^, les points antérieurement oonfondus, 0 et o', par exemple, seront distants d'arcs
fO PRINCIPES FONDAMENTAUX.
égaux du nouveau contact , et de là résulte la connaissance des vitesses relatives de chaque point, connaissant la position du centre instantané de rotation quMl est facile de déterminer.
En effet, concevons les deux courbes comme composées d'éléments infiniment petits, égaux de part et d'autre (flg. 22), et considérons les points 0, 1,2, etc., O', 1', 2', etc., comme les sommets des polygones dont ces petits éléments sont les côtés ; dans le roulement , les côtés correspondants devront tour à tour se superposer. Le point t', pour venir se confondre avec le point 1 , décrira un petit arc de cercle ayant pour centre le sommet 0 Ô'. Tous les points de la courbe mobile, ou ceux qui, faisant corps avec elle, partageront son mouvement, décriront donc en môme temps, autour du même point 0 0', à la limite, autour du point de contact instantané, qui sera le centre de rotation , des arcs de cercle infiniment petits.
23 . Mouvement élémentaire (tune figure sphérique sur sa sphère. — Si dans les théorèmes précédents on remplace la figure plane par une figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe, et que Ton remplace les droites par des arcs de grands cercles, on obtient des théorèmes correspondants. Ainsi :
7*011^ mouvement infiniment petit d'une figure sphérique sur une sphère fixe se réduit à une rotation autour d'un . point de la sphère comme pâle.
De là résulte que le mouvement le plus général que Ton puisse donner à une figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe consiste à faire rouler une courbe liée avec la figure sur une courbe fixe tracée sur la sphère.
34. Mouvement élémentaire d'un solide dont un point reste immobile, — Si Ton conçoit que la figure sphérique soit liée à on corps solide retenu par le centre de la sphère, on conclura que le mouvement le plus général d'un corps solide retenu par un pokU fixe se réduit au roulement d'un cône lié avec le corps sur un autre cane fixe dans F espace. Ces deux cônes ont leur sommet commun au point fixe, et leur génératrice de contact est à ehaqaë Instant Vaxe instantané de rotationj autour duquel tourne le
solide tout entier, dont un point est fixe. Ainsi, tout mouvement élémentaire d'un solide, dont un point reste immobile, est une rotation autour d*un axe instantané passant par ce point, et Tensemble des positions successives de cet axe constitue le cène fixe. Il est à peine utile de remarquer que les théorèmes relatifs aux mouvements d'une figure dans un plan s'appliquent à des eylindres dont ces figui*es seraient des coupes, le centre de rotation étant alors un point de Taxe instantané de rotation parallèle aux génératrices.
35. Mouvetnent élémentaire d'un solide entièrement libre. — Quel que soit le mouvement d'un solide dans Tespace (i), on peut l'amener d'une de ses positions à une autre, en lui donnant d'abord un mouvement de translation , ensuite un mouvement de rotation autour d'un certain axe.
Soient en effet A, B, C, D (ûg. 23) divers points du solide dans
sa première position, et A', B', C, D', ces mêmes points dans
la seconde position du solide. Joignons le point A au point A' par
rv /o' une ligne droite, et menons
Av ^^, pur les points B, C, D, des
\, droites égales et parallèles à
■'^ la droite A A'. Pour amener \ / le solide de la premièi^e position
D»' (ABCD)àlaseconde(A'BX'D'),
W donnons-lui d'abord un mou-
^'*' ^' vement de translation rectili-
goc, repi'^senté en grandeur et en direction par la ligne A A', les points B, G, D, viendront en B'' C" h\ Il n'y aura donc plus qu'à donner au solide un second mouvement, en vertu duquel, le point A' restant immobile, les points B"" CJ)'^ viendront en B' C J)\ Mais nous savons que ce second déplacement du solide peut s'effectuer par une rotation autour d*un axe passant par le point immobile A'. Donc, en définitive, on peut amener le solide de la première position (ABCD) à la seconde (A'BX'D'), en loi
(1) Delaunay. ~ Mécanique raUonoelle.
Si PRINCIPES FONDAMENTAUX.
peat se moavoir de iai-méme ; de même lorsqu*il est en mouvement, il ne peut de lui-même modifler on anéantir ce mouvement.
On appelle force la cause gw tend à produire au à modifier le mouvement.
Sans connaître la nature de la force , nous concevons trèsclairement qu'elle agit au point où elle est appliquée, suivant une certaine direction, et avec une certaine intensité.
80. La distinction entre la matière et la force, le principe de l'inertie de la matière est fondamental. G*est un résultat d'expérience dont la certitude, démontrée par Tanalyse des causes qui font naître le mouvement toutes les fois que celui-ci apparaît, est confirmée par toutes les conséquences auxquelles conduit la science qui le prend pour point de départ. Nombre de phénomènes servent à le démontrer; ainsi on sait qu*un corps se mouvant par TefTet d'une impulsion première sur un plan horizontal se meut d'autant plus longtemps que le plan est plus poli, que les résistances sont moindres. D'où Ton conclut avec toute certitude que, en Tabsence des résistances et actions extériem*es, le mouvement qui se continuerait indéfiniment, sans aucun changement , par suite en ligne droite et avec une vitesse constante, serait uniforme.
31. Mesure des forces, — Nous avons dit qu'une force était une cause de mouvement. Quand le mouvement du corps est empêché par un obstacle insurmontable, la force se manifeste par une pression ou une traction sur Tobstacle. Les efforts dont sont capables des agents quelconques dans une direction et en un point déterminé sont par suite toijyours comparables et peuvent se mesurer par des poids, soit directement, soit à Taide d'instruments à ressorts, tels que le dynamomètre de Régnier, certains pesons du commerce, etc., qui ont été tarés ou vérifiés à l'avance, en y suspendant des poids étalons. On conçoit, en effet, que le même degré de flexion de ces ressorts, en supposant leur élasticité parfaite et indépendante du temps ou de la fatigue (ce qui n'est pas et exige de fréquentes vérifications), indique constamment le même effort absolu, la même pression, pourvu que cet
