CHAPITRE VI

DE l'ÉQUILIBBE. — DU PBINCIPE DES VITESSES VIBTUELLES.

43. Des principes qne nous avons établis relativement à la composition des forces , on peut déduire les conditions d*éqnilibre d*un corps solide auquel diverses forces sont appliquées. Elles reviennent à exprimer qu'une quelconque des forces doit être égale et directement opposée à la résultante unique des autres forces, autrement le corps se mettrait en mouvement, les forces ne se détruiraient pas. Nous renverrons aux traités de Statique pour la traduction analytique de cette condition.

Nous préférons donner ici , d'après le célèbre Lagrange , la démonstration du principe des vitesses virtuelles qui fournit une équation renfermant implicitement toutes les équations qui doi- >'ent être satisfaites pour l'équilibre. Cette équation établie entre les quantités de travail que les forces produisent s'applique immédiatement aux machines, et nous donnera de suite les conditions d'équilibre de ces systèmes, but unique de tous ces préliminaires.

On appelle vitesse virtuelle un déplacement infiniment petit du point d'application d'une force, s'il devient possible, estimé suivant la direction de cette force ; ce sont les chemins élémentaires que nous avons appelé» H, , H, (art. 42).

Voici comment Lagrange pose, dans toute sa généralité, le principe des vitesses virtuelles sur lequel il a fait reposer le grand édifice de sa mécanique analytique.

Si un système quelconque de tant de corps ou de tant de points que l'on veut, tirés chacun par des puissances quelconques , est en équilibre, et qu'on donne à ce système un petit mouvement quel-' conque, en vertu duquel chaque point parcourra un espace infini' ment petit, la somme des puissances multipliées chacune par VtS"

pact que le point auquel elle est appliquée parcourt suivant la direction de celte même puissance [projeté sur cette puissance], sera toujours égale à zéro pour l'état d'équilibre, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus dans le sens des puissances, et comme négatifs les espaces parcourus dans un sens opposé [dont la projection tombe en avant ou en arrière du point d'application).

Ce principe peut être démontré à prwri eomme il suit : Une poulie molnle étant soutenue par deux cordons et supportant un poids P (page 30), les deux cordons seront tendus avec une foroe égale à - P. Que Ton monte sur le même axe deux poulies semblables, et qu'on fasse passer le même cordon sur ces poulies et sur deux autres poulies fixes, la tension de chacun des quatre brins- du cordon sera |P. Et en général, dans ce système appelé moufle , composé de deux

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systèmes de poulies, l'un attadié à un point fkn^^ Tautre mobile, embrassées par une même corde, dont Tune des extrémités est fixement attadiée et Tantue est tirée par une puissance, celle-ci est au poids pcMrté par le système mobile comme Funité est au nombre de cordons qui y aboutissent. Nous foisons abstraction, bien entendu , de tout frottement et de toute roideur de la oorde dans oe raisonnement (tout ce système étant combiné pour la démonstration) , et alors il est bien évident qu'A cause de la tension uniforme de la corde dans toute sa longueur, le poids est soutenu par autant de puissances égales à celle qui tend la corde qu*il y ji de cordons qui soutiennent les poulies mobiles, puisque ces cordons sont tous parallèles, également tendus et agissent dans des circonstances identiques.

Maintenant, supposons que chaque foroe qui agit sur le système soit rempiaoée par Taction de moufles fixées à des points extérieurs au système, dont la traction s'exerce suivant la direction de cette force. En &isant passer le même cordon sur toutes ies oMMifles, au moyen de poulies de renvoi, la puissance