X INTRODUCTION

00 corps, et qu'on a établi la loi de leur propagation.

La mécanique, d'après sa définition même, peut se diviser en deux parties : l'une qui étudie les causes du mouvement, l'autre le mouvement en lui-même. La première partie est la mécanique proprement dite, qui remontant des mouvements aux forces qui les produisent, traite de la grandeur de ces forces, des effets obtenus par leur action sur les corps, établit , en un mot, les lois générales du mouvement d'après lesquelles des mouvements étant connus, on calcule les forces capables de les produire, ou au contraire on détermine les mouvements quand on connatt les forces. La seconde partie est la Cinématique (du grec xorr^pw, mouvement) qui s'occupe surtout des mouvements quant aux vitesses et aux trajectoires, sans remonter aux causes du mouvement 9 laissant à la mécanique proprement dite ce qui a rapport aux grandeurs des forces qui le produisent. La Cinématique est donc , par la nature des questions qu'elle traite, une science géométrique, tandis que la mécanique, qui évalue surtout des quantités, est essentiellement algébrique; et comme, en réalité, ce ne sont que des divisions d'une même science, chacune d'elles est l'étude des phénomènes produits par les grandeurs appelées forces, l'une au point de vue du «omtre, c'est-à-dire surtout à l'aide du calcul, l'autre au poiiH de vue de la forme ^ c'est-à-dire naturellement avec le secours de la géométrie.

Pour bien comprendre toute l'importance de l'étude de la troisième science mathématique, la mécanique à l'aide des deux autres, de l'analyse et de la géomé-

INTRODUCTION. xi

trie 9 il faut remonter à radmirable conception du grand Descartes, sur laquelle il fonda la géométrie analyti* que, établit un rapport intime entre les sciences du calcul et celles de l'étendue, entre les deux premières sciences mathématiques. La grandeur géométrique, considérée jusqu'à lui au point de vue de la forme, il Tenvisagea au point de vue du nombre parMequel il montra qu'on pouvait la représenter, il indiqua comment les relations de quantité pouvaient être substi* tuées à des relations de qualité. Ce fut grâce à cette vue féconde que tous les progrès des sciences de calcul vinrent s'appliquer aux recherches de la géométrie, et donner à cette science une impulsion admirable.

Sans vouloir insister sur une conception étrangère à notre sujet, la beauté en est si grande, et les applications s'en rencontreront si souvent dans ce Traité , que nous croyons devoir en rappeler le principe fondamental. Soit un cercle du rayon a par le centre duquel on a mené deux lignes à angle droit oœ, oy^ divisées à l'infini en fractions de l'unité de longueur. D'un point A quelconque de la circonférence de ce cercle, abaissons sur ces lignes deux perpendiculaires; appelons œ le nombre de divisions intercepté à partir do o sur oœ (longueur égale à celle de l'une des perpendiculaires), et y le nombre de ces divî* sions sur l'autre axe, on aura évidemment l'équation a?'+y'=a^, qui s'appliquera à tous les pointas de la cir-

Fig. A.

XII INTRODUUTION.

conférence du cercle, et ne s'appliquera à aucun autre point du plan, de telle sorte qu'elle représentera ce cercle aussi bien que le tracé lui-même. Il n'est pas besoin de dire qu'une semblable représentation , permettant d'appliquer le calcul à la recherche de toutes les propriétés d'une courbe, sera d'une grande utilité; mais la proposition réciproque est également vraie. Ainsi, pour l'équation x*-\-y^=a^j on comprendra infiniment mieux les relations qui existent entre les deux variables, en sachant qu'elle représente un cercle, qu'en ne l'envisageant que sous sa forme purement algébrique.

Prenons un exemple encore plus simple :

Pour une droite passant par le point o, on aurait de même pour le rapport constant de deux perpendiculaires abaissées d'un point quelconque de la droite sur deux axes ox^ oj/, ^=a; le rapport constant entre deux quantités serait ainsi représenté par une ligne droite, comme la valeur constante de la somme de deux axrrés par un cercle.

Ainsi donc, grâce au génie de Descartes, la science des grandeurs et la science de l'étendue étant venues se confondre et se prêter un mutuel appui , une loi peut se traduire par une courbe, ou réciproquement une courbe représenter une relation entre des quantités.

Ce qui a lieu pour la géométrie et le calcul devait évidemment avoir lieu également pour la mécanique, et cette science s'est singulièrement développée par une élude faite au point de vue de chacune des deux autres sciences fondamentales dont nous venons de parler;

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dans ce cas encore, certains théorèmes de celies-ci ont pu êlre traduits en théorèmes de mécanique et fournir des aperçus nouveaux , et de même inversement la notion de mouvement a été utilisée dans la géométrie, a fait comprendre la notion fondamentale de continuité, a conduit à des modes de génération de certaines lignes et surfaces, et a permis d'en découvrir certaines propriétés.

Sans nous arrêter davantage à des idées purement spéculatives, nous considérerons comme bien établi que la science mécanique doit être étudiée à l'aide des deux autres sciences fondamentales : l'étude géométrique des mouvements, l'application plus directe de la géométrie, constituant la partie de la science que nous appellerons la Cinématique.

Disons de suite que, dans le cas le plus général, cette science se confond avec la mécanique rationnelle; les relations des forces entre elles étant établies, dans celle-ci, par des équations dans lesquelles entrent les positions variables des divers points; ces équations traduites à l'aide des méthodes de la géométrie analytique fournissent les trajectoires suivies par les corps, les formes géométriques du mouvement.

La science est donc complète à cet égard, au moins quand il s'agit de corps libres; car quand on passe à une des plus importantes parties de la mécanique, à son application aux machines, c'est-à-dire à des corps gênés par des liaisons , des guides divers, les équations du mouvement ne peuvent plus comprendre utilement tontes les relations qui existent entre les divers éléments