DES MOUVEMENTS RELATIFS, LE RAPPORT DES VITESSES ÉTANT CONSTANT

152. Lorsque deux circonférences tangentes tournent autour de leurs centres de rotation qui sont les mêmes que les centres de ces circonférences, de manière qu'il ne se produise pas de glissement, par suite avec un rapport de vitesses constant, on aura toujours Rw=R'o/, et tout se passe dans ce mouvement comme si Tune des circonférences roulait sur Tautre supposée immobile. Cette observation va permettre d'établir simplement les principes de la détermination des mouvements d'un point d'un des systèmes sur le plan de l'autre (car tout point d'un cercle dans son plan ne peut décrire que des circonférences de cercle)^ pour le cas principal , celui où les vitesses angulaires sont dans un rapport constant.

Montrons bien comment les deux mouvements de rotation peuvent être remplacés, au point de vue des tracés, par un simple roulement d'une circonférence sur une autre.

Soient 0,(y deux cercles tangents, se conduisant sans glissement, m le point de contact. Soit ma une courbe assemblée au cercle (X qui prend la position \>! o! lorsque le point m est venu en (a' sur la circonférence 0' et en tu . sur la circonférence O.. Soit M. A, une courbe adoptée au cercle 0, tangente k\»! J lors du mouvement simultané des deux cercles.

Faisons tourner toute la figure autour du centre 0, de manière que le point m^ revienne au m, ce qui annule la rotation propre au cercle 0, puisque nous lui faisons faire une rotation

lie LIVRE DEUXIÈME.

égale et opfMMée à la première. Le eercle V tiendra en O* et le point a Tiendra en ti', et comme on avait si a =. m m. on aura f«'tt' = flRai' = MOT.. Tont dans la figure O* acra identique aree la figure (X. De là on doit eonelnre : Qmt Umies U$ trajee- Unre$ décrites par des points du ctrtle (ï dans le momcemeni

Fig. 1».

simultané sans glissement, des circonférences 0 et 0' seront obte^ nues sur le plan de l'autre roue supposé fixe, en faisant rouler le cercle & sur le cercle O rendu fixe.

Nous allons étudier les courbes ainsi engendrées qui se trouTent déterminées géométriquement d'une manière simple et générale, en commençant par celles engendrées par on point de la circcmférence mobile.

168. Courbe engendrée par un point dans la circonférence du cercle. — De tépicycUnde. — Deux eercies O et C , situés dans le même plan (flg. 130), sont tangents Tun à Tantre en A. Le cercle 0" est mobile, et partant de la position initiale, il roole sur le cercle 0 qui est fixe. Dans ce mouvement, le point «, confondu à Torigine avec A, mais appartenant au cercle (X,

prendra des positions successives a, a, , a,, etc., telles que les arcs a. A, y a, A, seront égaux en longueur aux arcs AA,, AA,, etc. Le lieu de toutes ces positions a^ Gty a,, etc., est une épicyciolde; tous les points de la circonférence mobile décrivent à la fois des épicycloides égales, ayant leur origine au point de contact des deux circonférences.

L'épicycloïde est extérieure ou întéjrieure, selon que le cercle mobile O' a son centre au dehors ou au dedans de la circonférence 0 qu'il touche en roulant.

CanstntcHon par points. — Pour construire par points une des courbes décrites par un point de la circonférence 0% celle dont Torigine est en A , par exemple , on prend sur un cercle de rayon OC = OA + O' A' des positions successives du centre (y lors da roulement, telles que O'. &*, etc. Si Ton porte sur une quelconque des circonférences ayant ces points pour centre, (y« par exemple, à partir du point de contact A,, un arc A,a, , égal en développement à A. A, le point a, appartiendra à la courbe cherchée.

Normale à l'épicy ciolde. — Le roulement du cercle C, a lieu autour du point de contact A, comme centre instantané de rotation (art. 23); ce point appartient donc à la normale, qui est a. A f

Cette normale étant la corde du cercle mobile qui joint le point décrivant au point de contact des circonfér^ices, la tangente à l'épicyclolde sera la corde Joignant le point décrivant et le point du cercle diamétralement opposé au point de contact, formant un angle droit avec la normale (angle sur la circonférence mesuré par une demi-circon£érence).

Un nralemeal d'une petite circonférence à Tintérieur d'une pins grande, engendre de même, par nn point de la petite clreonféraiee, mue épicyclolde intérieure, une hypocycloïde. Le

point M coïncidant avec le point A de la circonférence O, donnera le point de départ; i'écartement de la courbe de celle-ci sera un maximum et égal au diamètre de la petite circonférence pour un point M. placé sur le rayon O L, tel que Tare A L soit égal au développement de la moitié de celle-ci. On obtiendra aimi un arc A M, B, et si Ton fait rouler indéfiniment 0' sur t), on engendrera une infinité d'arcs semblables qui se succéderont.

Cas particuliers. — Si le rayon O A augmente indéfiniment, à la limite la circonférence 0 devient une ligne droite, et l'épicycloïde, une cycloïde. Les propositions précédentes relativement à la normale MI, à tangente DM, au sommet M., etc., s'appliquent de même à ce cas.

Développantes, — Si le rayon (fig. 133) OA, ayant une valeur constante et finie, le rayon O'A augmente indéfiniment, à la limite la circonférence mobile 0' devient une ligne droite, et l*épicycloide une développante du cercle fixe. La droite génératrice prend successivement les directions a. A», a. A, , etc., des tangentes en A. A,, etc., à la circonférence O. Le point décrivant a se meut comme s'il était rextrémité d'un fil enroulé sur cette circonférence, e^ que l'on déroulerait en tenant constamment tendues les portions successivement développées a. A., a.A,, etc.; par construction

Fig. 133.

CraCULAIRE CONTINU EN CmCULAIRE CONTINU. 449

les longueurs rectilignes a. A., a^A, , etc., sont donc égales aux arcs A A, , AA,, etc., et chaque élément de la développante se confond avec un petit arc de cercle décrit des points A., A, comme centres. Les diverses positions de la droite génératrice sont donc normales à la courbe engendrée, et deux normales infiniment voisines se coupent sur la circonférence 0 elle-même.

Si Ton considère sur le fil enroulé les positions d*un autre point tel que &., comme générateurs d'autres développantes semblables telles que ft&i ft, ... ces courbes auront pour normales communes les portions de fil successivement tendues; Fécartement a. &, , a,&, ... de deux quelconques d'entre elles, suivant les différentes normales , sera constant et partout égal à Técart initial a 6 de leurs points décrivants sur la circonférence 0(1).

154. DES COURBES ENVELOPPES. — Dcux circonfércnccs étant en contact, si Ton fait rouler Tune déciles sur Tautre restant

(t)Noas rappellerons les équations de ces courbes, qui par suite de leur mode de génération contiennent nécessairement des fonctions circulaires.

La cycloïde est engendrée par un point de la circonférence d^un cercle imdant sur une ligne droite.

Soit r le rayon du cercle (fig. 132) AI la distance de Porigine au point de contact , égale l'arc M I , c'est-à-dire Parc dont le sinus

= MS= V/r> — (r — y)«= V/2ry— y^carMP=ry,AP=x. L'équatioD de la cydoide est donc transcendante , et la suivante :

JF = AI — PI = arc [sin. y y (2 r— y)] — V'^^—V '•

L'équation de Pépicyclolde n'est pas dans le cas général d'une forme plus facilement utilisable.

Soit M un point quelconque , ^ et ^ ses coordonnés , R le rayon du cercle fixe , R' le rayon du cercle mobile C , *» l'angle de la droite mobile OC avec O j: , «^ angle M C N. Abaissons du point M des perpendiculaires MP sur Ox et MR sur CQ perpendiculaire sur Ox, Fig. 134. Ona:arcAN=arcMNouR*« =R' •»'.

l*o«on8— = |i (module de Pépicydoïde), on aura

•^=iM.,x = OP=OQ+PQ=OQ + RM,y=MP = CQ — CR.

immobile, une courl)e attachée au premier oercle prendra un nombre infini de positions successives dont Fensemble déter> minera une seconde courbe, et ces deux courl>es jouiront de propriétés pai'ticulières. Elles auront évidemment en chaque instant un point commun, et de plus une tangente commune en ce point, les deux normales se confondant, passant par le pc^t commun et le point de contact des circonférences. Elles sont dites Tune enveloppe, et Tautre enveloppée.

Pour fixer d'une manière générale la théorie de ces courbes, supposons la première quelconque, et voyons comment Tautre s'en déduit.

Soit la circonférence 0' roulant sur la circonférence O, et soient AA», AaA,, etc., un certain nombre de points de contact instantané; a. Ai, a,A3,a3A3, etc., des arcs du cercle

Dans le triangle OCQ on a :

OQ = (R + R0co8. «etCQ = (R +R0 sin. ».

Dans le triangle CRM, RM=R'cos. CMR, CR = R'sin. CMR.

Or CMR=CHO = 180<» — « — «'= iSO» — (i* + l) -.

Cos. CMR = — COS. (i* +!)«, sin. CMR = sin. (i* + 1)-.

Donc enfin

a: = (R + R') COS. - — R' cos. (t* + i) - (1) y == (R + R') sin.» — R' sin. (i* + 1) «.

LVlimlnation de <• n'est possible qu'autant que i<^ + 1 est commentarable , à moins d'introduire des arcs cosinus , et la forme compliquée de l'équation ne la rend en rien préférable au système (1) de deux équations (a).

L'emploi des coordonnées polaires ne donne pas des résultats d'une forme plus simple , sauf dans un seul cas.

Plaçons l'origine des coordonnées au point A; remplaçons x par x + R, les équations ci-dessus deyiennent :

j; = — R + (R + R')C08. -—R' COS. (l* + l) «,

y = (R ^.R') sin. « — R' sin. (v^ + i) »; Cas de j*= l, cos. « ou R=R', on a à cause de sin. 2 "^2 sin. » et <»S. 2 '• = 2 COS. * « = 1 ,

a:=2R COS. » (I— COS. *•), y=2R sin. w (1 — COS. «).

(a) L'élimination est facile dans le cas où R's:— -R, l'équation donne alors U droite iO.

Bdblle, égaux en longueur aux arcs correspondants du cercle fixe AA, , AAs j AAa , etc.

Gonoevons une courbe ab faisant corps avec le cercle mobile C, et prenant successivement quand il roule sur le cercle 0 les positions a>i, , a^hj as&a, etc. Chacune de ces courbes individuelles coupera la précédente, et les points d'intersection eonsécotiiis t% V\ t^% etc., seront autant de sommets d'un polygone curviligne qui se changera en une courbe continue si les contacts A A., A, A3 sont suffisamment rapprochés; les côtés At, iifj ifj etc., devenants infiniment petits, seront les éléments

Passons aux coordonnées polaires en plaçant Torigine des coordonnées en A 0?=? COS. •, y=f sin. •, donc :