P COS. *=:2R COS. «» (1— COS

(2) p sin. d=2R wn. •» (1 — cos. «-). Élevons au carré et ajoutons :

9 «=4R' (1 — COS. •»)• ou ?=2R (1 L'équation (2) devient donc

- COS. «) et COS. w = 1 — -— -

eCOS. •=:(2R-- 0 — 0U2RC0S. • = 2R— e et

?= 2R (1 — COS. «) = 4R sin. — 8.

Équation de la développante, — L'équation de la développante s'obtient tacUement en coordonna polaires.

Soit om=e le rayon vecteur d'un point de la courbe, r=OF le rayon du cercle développé, w Parc de rayon égal à 1 compris entre le rayon vecteur et l'origine M du développement, ? l'arc du rayon i compris entre cette même direction et le centre F de courbure du point m; on a pour un point quelconque

arc(MN + NF)=Fw.

Fig. 136.

(hrarcMN=r-,arcNF=r ?,Fm=V/p*— r».

I>e ptas r=f COS. f ou ?=arc fcos. = - j . L'équation est donc :

-+arc(co8.t=^^ =ilî^

4ryt LIVRE DEUXIÈME,

de cette courbe contiaoe, le polygone circonscrit qoi s*en approche indéfiDlment; elle porte le nom d' enveloppe , et la courbe Il ^ est dite enveioppée. Dans chaque position, Tenveloppée a un élémoit qoi loi est common atec TenTcloppe, 11.6. et iT, iia&,, et iT, etc.; à la limite, chaqoe enveloppée individuelle est tangente à renvekippe (t).

Fig. 136.

Cherchons directement les points de tangence communs à Tenveloppe et aux enveloppées successives. Considérons sur une des positions individuelles de Tenveloppée,

(1) Les deux courbes ab ei A ii' i" V'\ etc. , sont Tune par rapport à l'autre réciproquement enveloppe et enveloppée. Si la circonférence O, devenue mobile et emportant avec elle la courbe Aii^t'% roulait sar la circonférence (y devenue fixe , les intersections consécutives des différentes positions de kïi'%" ^ etc., détermineraient comme limite la courbe a (, les normales communes passant par les points de contact successifs étant les^ mêmes dans les deux cas , et par suite aussi le^ tangentes.

sar a^bi par exemple, le point e^ , pour lequel la normale A^e^ vient passer par le point de contact correspondant A3 des circonférences fixe et mobile.

Tons les points de ^4^4, pour se transporter sur Tenveloppée infiniment voisine a, &, , décrivent autour de A3, comme centre instantané de rotation , des arcs de cercle infiniment petits.

Parmi tous ces arcs, celui qui décrit le point «3 se confond avec un élément de la courbe même 03^3 (puisque A^e^ est sa normale); le point ez ne sort donc pas de cette enveloppée en passant de cette position de Tenveloppée à la suivante. Les deux positions consécutives de Tenveloppée se coupent donc quelque part en i"'^ à une distance infiniment petite de «3. Ce dernier point est donc situé sur Félément i" i"\ commun à Fenveloppée a^bi et à Tenveloppe. A la limite, la normale A3e3 est la normale commune aux deux courbes, es est leur point de tangence.

Ainsi la normale commune à Tenveloppe, et à cbaque position de Tenveloppée, passe par le point de contact correspondant des circonférences fixe et mobile ; de là un moyen de construire par points une courbe enveloppe. Si Ton trace une des positions individuelles du cercle qui roule, telle que 0^3, et relativement à ^ette position celle de l'enveloppée azb^; si, par le contact des circonférences A3 on mène une normale Ases à Tenveloppée décrite, e^ sera le point commun à cette enveloppée individuelle «t à Tenveloppe cherchée.

Si l'enveloppée a& est géométriquement définie, on saura, lioor une position donnée a^bz^ lui mener une normale par un ])oint extérieur A3. Si Tenveloppéc est seulement tracée sur le cercle 0, sans être connue par ses propriétés géométriques, on obtiendra graphiquement le point f 3 par lequel la normale A 3 es doit passer, en décrivant, après quelques essais, du point A3 eomme centre, un arc de cerle qui touche seulement la courbe 03(3; le point de tangence sera le point e^ cherché.

Dans bien des cas , les arcs de cercle décrits des centres AA , A,, pour déterminer les points de l'enveloppe e, e,e3 , se confondront

dans une petite étendue avec Tenveloppe dl^méme, et ili te raccorderont à très-pea près entre eux si les centres A, Aa, ele., sont assez rapprochés.

lêê. C'est d'après ce principe que M. Poncelet a proposé une méthode pour obtenir une enveloppe, Tenveloppée étaal déterminée. Voici en quoi elle consiste :

Le profil Ma (flg. l37)derenyeloppée étant donné, pour construire celui /^ J\, de l'enveloppe, il &ut faire rouler le { ^\«.^ \ cercle o sur le cercle O, et de chaque ]>*^^<^^^J^'"7tt']\ point de contact M% M'', abaisser une | it-J^^o' |

perpendiculaire M'P, M^P' sur la J "^^ ^

courbe MA. Les pieds P, P', sont des points communs aux deux couri)es. ^'

Mais, pour Caire cette oonstrucUoa , il n*est pas néœssaife de déplacer le cercle o , il suffit de prendre sur sa circonférenoe des ares Mm% Mm^, égaux aux arcs MM% MM^, et de mener les normales m'jp, mf*p\ Pour cela , avec des rayons égaux à M' P, M'^P', on décrit des points m', m", de petits arcs de cerde suffisamment rapprochés, et Ton trace la courbe MA, tangente à tous ces cercles, qui est la courbe cherchée.

Pour que ce tracé fût tout à &it satisfaisant, il faudrait que les arcs de cercle en se raccordant pussent fournir un tracé eontinu , des éléments linéaires communs à ces cercles et à ta courbe cherchée. Pour cela, ils devraient av<^r pour centres, non-seulement des points de la normak, mais les centres dr courbure de Tenveioppe situés sur ces normales, qui ne bov nullement aux points où elles rencontrent les circ<m£éreiie primitives. Or, il existe entre les rayons de courbure de Ten^ loppe et de l'enveloppée, au point où elles se touchent, v relation très-simple, qui permet de les déduire facilement ) de l'autre , et par suite d'arriver à une construction rigoure ment exacte.

166. ReUdioHi enire la centres de courbure de l'envelop^ de l'enveloppée. — Considérons une position quelconque

CIRCULAIRE CONTINU EN aRCULAIRE CONTINU. 455 cercle O' (fig. 138), pour laquelle il est tangent en a à la circonférence 0 sur laquelle il rouie. Soit alors amb la position de renyeloppée, AmB celle de Tenveloppe, m le point de contact de ces deux courbes, CannC leur normale commune ^ que nous savons passer pai* le point de contact a; prenons sur les deux circonférences deux arcs infiniment petits , égaux en longueur, «a. , ««' ; les points a' et a, , après un très-petit déplacement du cercle 12 roulant sur le cerle 0, devront coïncider. Alors les rayons G « , , Oa' se trouveront sur le prolongement Fun de Tautre, comme actuellement les rayons Oa, ûa, et dans le passage de la position actuelle à cette position voisine, le rayon 12a' tournera évidemment d*un angle égal à la somme des deux angles txOa, , olQolj angle que font entre eux Oa , et Qa.

Si G et C sont pour le point m les centi*es de courbure de ^mB et de amb^ et que Ton mène par ces points les droites

Fîg. 138.

Ca, m, , C'mV, fWj et mf seront les points des deux courbes par lesquelles elles se toucberont, quand le contact des deux cercles tara lieu ^ point (^ a,.Ea effet, dans la nouvelle positîcm des cercles, la normale commune aux deux courbes devra passer

i LIVRE DEUXIÈME.

it leurs centres de courbure, qui sont encore C et C\ et par

; nouveau point de contact «, , avec Icquet a' se confond alors.

je rayon prolongé C o! sera donc venu se placer dans le proiongement de Gs,; il aura donc tourné d*an angle égal à la somme des deux angles «Ga , , a C a'.

Mais dans le passage d*unc position à Tautre, les deux droites ûa', G' 01% qui se meuvent simultanément en comprenant entre elles un angle constant, tourneront d'une même quantité angulaire. On aura donc Tégalité des deux rotations que noas venons de déterminer, c'est-à-dire :

aOa. -f aUa' = «Ca, + «C'a'.

Or, si je désigne par p et p' les rayons de courbure Cm, C'm, par 9 l'angle CiH de la normale commune aux deux courbes avec la ligne des centres Où, par jp la portion de normale «m, par ds les arcs infiniment petits égaux entre eux , as, , aa% qui peuvent être considérés comme de petites lignes droites foisant Tune et l'autre, avec une perpendiculaire à la normale commune G a fil C, avec la tangente commune qui se confond avec ces deux éléments menée par le point a, l'angle 9, on trouve :

^ r/* - , rf* ^ ds COS. 9 ^, , ds coe. 9

li K p— p P +JP

Fig. 139.

Substituant ces valeurs dans l'égalité précédente, et supf le facteur commun ds, on obtient enfin :

aRCULAIRE œNTLXU EN CIRCULAIRE CONTINU. 157

Telle est la relation simple que fera connaître un des rayons de courbure lorsque Tautre sera donné.

Si le centre C tombe du même côté que a par rapport au point m, p' devra être négatif; il en sera de même pour R' si le centre du cercle mobile est situé à Tintérieur du cercle fixe, si le roulement est intérieur. Ainsi dans les données de la fig. 139, ia relation (a) devient :

157. Déplacement sirmdlané du contact sur l'enveloppe et l'en- ^Hloppée. Avant d*app]iquer la relation {a) à des constructions géométriques, il sera utile d'examiner de quelle manière le lieu da contact entre l'enveloppée et Tenveloppe se déplace sur ces deux courbes, dans les déplacements successifs de la première, qni servent à déterminer la seconde lors du roulement du cercle Ù sur la circonférence 0.

Lorsque les cercles, d*aboi*d tangents en a (fig. 138), se toucberont après un déplacement infiniment petit aux points &', a,, les courbes d'abord tangentes en m, viendront, ainsi qu'on Ta vu, se toucber par les points m', m,. Le contact des circonférences aura parcouru, sur chacune d'elles, des arcs égffux ota , = aa = (/* : le contact de l'enveloppée et de l'enveloppe aura parcouru sur l'enveloppée l'arc mm' = p' (aC'«') =

, ds cos. ? ,. , „ f n \ ^^ ^^s- ? p' — ;— j — îjsurlenveloppelarcmwi, =p(aCa,) = p -.

La différence des arcs élémentaires parcourus ici dans le même

sens, sera donc :

mm, — mm' = ds cos. ç ( — ^4— I

\?—P ?+pl

= pds COS. <p ( f- , , I .

^ \?—P ? +PJ Gomme on le voit, en réduisant au même dénominateur les termes des deux expressions; donc enfin d'après la relation (a)

'•-"-= VF-if)'"-

1S8. DêUrmÙBimUfim frmpkiq^ des itmirti de eomrtwne, Reve> Dons aa trace d'one enTetoppe et à la rectothc de ses centres de courbare: la relation « en foomit immédiatement une détermination graphique. En effet, si félèTe fig. 140 , an point

de contact des circonférences « , une perpendlcolaire «D snr li^ normale C s m C, cette perpendiculaire rencontrera les droites OC^ CÙ menées par les centres O et G, Q et C en un senl point.

En effet, le triangle sC'D est semblable au triangle ÛCK, obtenu en menant 12 K perpendiculaire à GC, on a donc :

aD:aC'=ÛK:C'K,

or : aG = p'.+ P> "K = R' sin. (p, CK = (p + p) — B' eos.f, doue:

^p' +P) — R'cos. 9*

De mémo, le triangle aGD est semblable au triangle COK' qu'on obtiendrait en abaissant du point 0 une perpendiculal sur le prolongement de GC; on aurait pour le point D dét miné par la rencontre des deux lignes OG et «D,

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 159 otD : aC = OK' : CK', or, aC = p — p, OK' =Rsin. <p, CK' = R cos. 9 — (p— f)), dose:

(p— y)Rsin. 9 R COS. 9 — (fJ — p) Mais la relation (a) (art. 156) domie, en transposant le deuxième et le troisième terme et réduisant au même dénominateur R COS. 9 — (p — p) ^ (p^ 4" f ) — ^' <x)s. 9 (p-/))R (7+7)1^ '

qui renvorsées^ sont les mêmes que les précédentes divisées par sin. 9.

Les deux valeurs de a D sont donc égaies, les trois droites « D , OCD, C û D, se coupent donc en un même point.

169. Tracé de V enveloppe à fmde de ses rayons de eourbure. — Si donc le centre de courbure C^ est connu , et que Ton cherche le centre C, on élèvera la perpendiculaire a D, on mènera la droite C ÛD, et le point D étant ainsi déterminé, on mènera la droite CCD qui rencontrera la normale CamC au point C dierché; l'arc de cercle décrit avec un rayon égal à C m sera, dans une petite étendue, celui qui s'écartera le moins de Tenveloppe AmB.

Si l'enveloppée A m B est définie par ses propriétés, le centre de courbure C au point m sera connu , aussi bien que la direction de la normale CamC] lorsque cette courbe est seulement tracée, on a vu comment la direction de la nprmale pouvait s'obtenir graphiquement. Si , dans ce cas, on cherche de quel centre, sur cette normale, peut être décrit Tare de cercle le plus approchant de la courbe amb dans le voisinage du point m, le point ainsi déterminé pourra être pris pour le point C^ La constructioii qui précède fera ensuite connaître le centre C et une partie de Fenveloppe AmB avec le même degré de précision que, dans mie amplitude comparable, Tare décrit de C' comme centre replante Fenveloppée.

160. Enveloppées concentriques. —La position d'un centre de courbure C dépendant uniquement de la direction de la nor-

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CraCULAIRE œNTINU EN aRCULAIÎŒ œNTINU. 461 Ainsi A et B étant les centres de rotation de deux circonférences qui se touchent en T (flg. 142), par ce point menons une d*oite quelconque P T Q , et soit pris arbitrairement sur cette droite un point P pour centre d'un cercle de rayon P T. L'enveloppe de ce cercle aura un centre de courbure pour le point de eontact T, qu'il sera facile de déterminer. En effet, ce centre sera «Dr la ligne PQ qui est la normale passant au point T, commune EL Tenveloppe et à Tenveloppée; si donc on élève la perpendiculaire KT sur PQ, cette ligne rencontrera AP passant par le premier centre de courbure P, en un point K; tirant BK, cette ligne rencontrera P T Q en un point Q , qui sera le centre de courbure cherché.

162. Rayon de courbure de répicycloïde, — Si le point auquel se réduit l'enveloppée, comme nous le supposions art. 153, appartient à la circonférence il elle-même, V^^ ""\ nous avons vu que Tenveloppe était

Y \\/^/i\ une épicycloide. Soit pour une position

L:JwÉ^ de Q (flg. 143), m le point décrivant ^ ' avec lequel se confond le centre de

*** courbure C; pour obtenir le centre de

courbure de l'épicycloïde , il suffira de mener le diamètre m û D , et la ligne OD déterminera sur la normale maC passant par le point de contact a, le centre de courbure C de répicycloïde en tn. En effet, le point D de la construction générale est placé sur la circonférence û (puisque la ligne aD çst perpendiculaire sur ma).

Nous pouvons déduire la valeur du rayon de courbure de l'enveloppe, lorsque l'enveloppée se réduit à un point (dont le rayon de courbure est zéro), c'est-à-dire le rayon de courbure de répicycloïde, de Téquation (o), art. 156. En effet le point D étant sur la circonférence 2 R' cos. cp =p, multipliant par 2 R' ou sa valeur les deux termes de l'équation (a) et faisant p' = 0 , on a :

ou enfin

''=-PI' + 2-R'Tr)=^1 2R' + R )

Lorsque les deux cercles 0, 0' ont leurs centres d'un même côté de la tangente commune, il faut changer le signe de R.

La relation (l) montre que p :jp est une quantité constante, d'où il est facile de conclure que le lieu A G des centres des courbures G est une autre épicycloïdc semblable à la première. Si au au point G on élève Gê perpendiculaire sur Gam, la courbe A G pourra être considérée comme décrite par le point G luimême, dans le roulement d'un cercle mobile du diamètre a 6 sur un cercle mobile dont 6 0 serait le rayon. La valeur de €a sera

(y — p)cos, cp, or cos. cpX 2 R' =j9,donc6a = 2R' ' -^ 6a

est donc une quantité constante comme - (2), et le point décrivant G sera fourni par des rotations correspondantes à celles du C4îrclc U, car d'après la similitude des triangles Gêa etaDm

le rapport des vitesses de rotation est donc le même pour la description de l'épicycloïde et de sa développée , qui est une autre épicycloïde.

Si le roulenicut du cercle U se prolongeait en sens contraire au delà du contact initial A, on obtiendrait évidemment une seconde partie de l'épicycloïde semblable à la première. Au point de rebroussement le rayon de courbure est nul.

163. Tracés des courbes décrites par un point de la surface du cercle. Nous avons supposé en commençant que nous prenions pour point décrivant un point de la circonférence mobile; nous pouvons

Fi«. 144.

ORCULAIRE œNTTNU EN CIRCULAIRE CONTINU. i63

maintenant déterminer les courbes tracées par un point quelconque du plan du cercle mobile et compléter ce qui se rapporte au mouvement relatif d'un point. Considéi*ons d'dl)ord Je cas d'une circouférence roulant extérieurement sur une autre circonférence. Si le point décrivant est extérieur à la circonférence Q (fîg. 144), la courbe qu'il décrit est une épicycloîde allongée. Pour tracer la partie voisine de la position m, du point décrivant, joignons m, H, le point m. au centre û du cercle mobile; le point m sur la circonférence décrira une épicydoîde ordinaire. Le centre de couii)ui*e de Tenveloppe ou de la courbe cherchée, Tenveloppée se réduisant à un point qui est son centre de courbure , sera déterminé par la construction générale qui donnera un centre G , d'où Ton pourra décrire avec le rayon G m . un petit arc de cercle qui se confondra avec un arc de la courbe. Si A est la position initiale de m , a celle de m , , les diverses positions du rayon de longueur constante m . f» Û seront données par la condition arc A a = arc a m.

L'épicycloîde raccourcie que la figure représente ponctuée est la courbe. décrite dans le roulement par un point n intérieur au cercle. On la construira de la même manière que Tépicycloîde allongée.

On obtiendrait des courbes analogues par le roulement de Û à Tintérieur de 0. Les épicycloïdes se réduisent à un genre de courbes plus simple dans le cas particulier où le cercle intérieur décrivant a un rayon moitié de celui du cercle fixe. La considération des centres instantanés de rotation permet d'établir très-élégamment les propriétés de ce mouvement, dans le cas général.

Soient deux axes rectangulaires OX, OY, une droite mobile amb de de longueur constante dont les extrémités a et 6 sont assujetties à se mou- Fig. 145. voir sur les axes OX OY. On sait

qu'un point m pris sur cette droite décrit une ellipse, et cette

propriété fournit un moyen de tracer cette coarbe dont nous parlerons plus loin.

Le point a se mouvant sur OX , le centre instantané de rotation se trouvera sur la perpendiculaire aï, il se trouvera de même sur I^; donc il sera au I sommet du rectangle C'a I 6. Dans ce rectangle la diagonale IQf sera égale à celle constante ah; donc le lieu des centres instantanés de rotation est une circonférence de cercle 0' décrite du centre avec le rayon aô, comme dans le cas d*un roulement. D*un autre côté, le triangle rectangle al 6 a une hypoténuse constante; donc la courbe décrite par le point I, dans soiî mouvement relatif autour de la droite ah, est un cercle décrit sur cette droite comme diamètre.

Lorsqu'un cercle mobile roule intérieurement sur un cercle fixe de rayon double, tout point m (ce qui arrive pour un diamètre de ce cercle est également vrai pour tout autre) pris dans le plan du cercle mobile, décrit donc, autour du centre da cercle fixe, une ellipse, qui se réduit à un diamètre, lorsque le point décrivant est situé sur la circonférence du cercle mobile (ainsi le point traçant se confondant avec a ou 5 dans la disposition de la figure 145, les lignes tracées seront Ca, O'h),

Les mêmes considérations s'appliqueraient au tracé des cycloïdes ou des développantes dans le cas où le rayon de Tuik des cercles deviendrait infini. Nous y reviendrons en traitant; des applications de ces courbes.

A ce point de vue, nous complète- --/^T^

rons ce qui concerne la détermination ">

des enveloppées de quelques figures ^ d'une exécution commode pour la pra- /y tique. //

164. Courbe enveloppe d'un cercle, — En même temps que le point wi de \ /

la circonférence û décrit Tépicycloïdc \^ y

A m , un petit cercle (fig. 146), dont ce iTwe

point m est le centre et mN=mN. =r

le rayon, engendre une courbe enveloppe ayant, ainsi qu'on l'a TQ art. 160, mêmes normales et mêmes centres de courbure qoe répicycloîde : les deux éléments N, N , du petit cercle envebfpé qae rencontre normalement une normale a m à l*épicydoide, appartiennent à l*enveloppe dont il s'agit. Cette enveloppe symétrique comme répicycloîde, de part et d'autre de la ligne 0 A O', a deux points de rebroussemcnt en e, e. sur la eoorbe AC, lieu des centres de courbure. On détermine facilement c, e ., en remarquant que pour ces points le rayon de courbure de Tenveloppe est nul , et celui de répicycloîde = r.

Dans les applications la seule portion utile de la courbe-enveloppe que Ton vient de considérer est la partie extérieure e N , ou plus exactement la partie de cette branche située au dehors de la droonférence 0. L'origine de cette partie de la courbe, sur la circonférence 0, est un point p très -voisin du rebroussement e, et tel que Tare Ap (fig. 147) soit égal en longueur à Tare sous-tendu sur la circonférence 0', par le rayon r du petit cercle enveloppé.

En effet , lorsque le point décrivant m de l'épicycloïde est arrivé à une position telle que le petit cercle de rayon r, dont m est le centre , passe par le contact instantané de 0 et de û, mp est la normale à répicycloîde, p le point de l'enveloppe situé sur la circonférence 0, et arc mp = arc A p.

164. Epkycldide enveloppe d'un rayon du cercle mobile. — Si l'enveloppée est un rayon B ft du cercle mobile F, l'enveloppe r cf est encore une épicycloîde (flg. 148), comme nous l'avons déjà vu ; on peut le démontrer directement. En effet, concevons un

Fig. 147.

Fig. 148.

second cercle mobile dont le diamètre soit le rayon B T du premier, Tb normale commune à Fenveloppée et à Fenveloppe, est perpendiculaire surB&. Le point de rencontre b est donc sur le second cercle mobile. Sur ce cercle, Tare T^ est égal à Trf, comme on le reconnaît aisément par Texpression de leur mesare. Or comme par construction T d= Ta, puisque le cercle F roale sur le cercle A , on aura aussi Ta = Tb, Le point b engendrera donc, dans le roulement du cercle dont le diamètre est B T ear la circonférence 0, la courbe enveloppe du rayon Bft. Cette enveloppe est donc une épicycloïde.

165. Epicycloïde enveloppe d^une autre ipicycUnde, — Plus généralement (fig. 149), si l'enveloppée amb est une épicycloide engendrée par un point du cercle o d*un rayon quelconque, roulant dans Tintérieur du cercle U, Tenveloppe AmB sera répicycloïde décrite par le même point du même cercle o, roulant extérieurement sur la circonférence 0.

En effet, on aura par construction arc ma=arc a a et arc ma = A a, donc arc a a =: arc A a. m a sera donc la normale commune aux deux courbes amb, AmB : elles seront Tune à Tautre enveloppée et enveloppe, dans le roulement du cercle Û

Fijf. 149.

sur le cercle 0. L' épicycloïde amb devient un point si les cea— très 0 et û se confondent ; un rayon du cercle û si le rayon dca cercle o est moitié du rayon du cercle 12. Ce second cas particulier vient d'être traité directement.

CmCULAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 467

166. Développante de cercle enveloppe d'une autre développante.

— Si TeDYeloppée est une développante amh (fig. 1^) d*un

cercle HCf concentrique à U, et qu'on trace un cercle 0GB

concentrique avec 0, dont le rayon 0C = ~ (û C), chaque

normaie C ma G, passant par le point de contact des deux circonférences primitives, sera évidemment tangente à la fois aux deax circonférences 12 G' et 0 G. G m est donc le rayon de courbure de Fenveloppe, comme G m est celui de Tenveloppée, les

Fig. 160.

'^es qui joignent les centres de rotation aux centres de cour- ^1^ devenant parallèles. La courbe B A m est donc une dé- ^''^pante du cercle OG, comme amb une développante du ^ï-cleûG'.

167. Ge qui précède sul^t pour déterminer complètement la ^^e d'une courbe enveloppe d*une courbe quelconque donnée, ^ notamment les formes les plus simples qui conviennent le '''^^^ox dans la pratique , et sont préférables à toutes les autres Mutions théoriques de la question. Nous pouvons donc diviser ^utes ces solutions en cinq classes :

1* L'enveloppée est un point, Tenveloppc est une épicycloïde ♦^rt 162).

2*" L'enveloppée est un rayon du cercle mobile, l'enveloppe ^t une épicycloïde (art. 164 ).

L^enveloppéc est une développante, Tenveloppe est une

développante (art. 166).

4<> L^enveloppée est une épieycloïde engendrée par un point d'une circonférence roulant intérieurement sur Tune des circonférences primitives; Tenveloppe sera une autre épieycloïde engendrée par la même circonférence roulant extérieurement sor l'autre circonférence primitive (art. 165). •", 6*" Enfin, plus généralement encore, on peut dire, dans des termes qui renferment tous les cas précédents comme cas particuliers, que Tenveloppée étant la ligne décrite par un point d'une courbe quelconque roulant extérieurement sur Tune des circonférences primitives, Tenveloppe est engendrée par le même (loint dans le roulement de la courbe à Tintérieur de l'autre circonférence primitive.

Gela résulte directement des théorèmes démontrés, car pour un point D quelconque (fig. 151) nous avons vu que, dans tout roulement, la normale commune passe au point de contact T, donc DT sera une normale commune aux deux enveloppes de D, donc celles-ci ayant successivement leurs normales communes, seront l'une à l'autre enveloppe et enveloppée.

Toutes les solutions précédentes rentrent dans ce cas général, même celle des développantes qui semble s'y prêter plus difficilement. En effet, le pôle d'une spirale logarithmique roulant sur un cercle décrit une développante, car son rayon vecteur fait un angle constant avec la tangente au cercle (nous revenons sur cette courbe) et par suite est sans cesse tangent à une même circonférence. On peut donc considérer la développante de cercle comme engendrée par le roulement d'une spirale loga* ritbmique«

dRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 469