FG RS

GD étant des perpendiculaires sur PR, EF, car ==r et ^

sont les cosinus de ces angles, et ces fhictions sont ^ales. puisque leurs dénominateurs sont égaux et que leurs nnméniteiin sont chacun la différence de deux lignes égales, DG étant perpendiculaire sur E F et par suite parallèle à EG. .

La formation de la courbe PQR est donc toujours possible avec la condition précitée; c'est ainsi, par exemple, que Ton trouverait que la courbe qui , roulant sur une droite AB engendrerait une autre droite A P, par un point Q serait une spirak logarithmique (p = a) QR dont P serait le pôle (flg. 154); ce

qui se voit facilement, puisque cette courbe Jouit de la pr priété caractéristique que le rayon vecteur foit un angle consti avec la tangente, condition évidemment satisfaite.

Revenons au cas des rotations simultanées.

169. Pour que deux courbes situées dans un plan perpc culaire aux deux axes, se touchant en un point, et tracé raison de la loi de variation des vitesses angulaires , pu rouler Tune sur l'autre sans glissement et par suite four solution du problème proposé, il faut, comme nous 1 av en traitant de la poussée de deux courbes qui se con (art. 157) :

Que les deux rayons vecteurs , menés des deux centres tion au point de contact, se confondent en chaque instan ligne des centres.

Cette condition, qui revient à dire que les deux rt

teiirs au point de contact soient constamment en ligne droite, ne peut être satisfaite qu'autant que chacun d'eux fait avec la tangente, en chaque élément qui vient en contact, un même angle; car, au contact, la normale étant commune fait un même aogle avec les rayons vecteurs puisque ceux-ci sont en ligne droite, il en est donc de même des deux tangentes qui se confond^st alors avec la tangente commune.

Euler a indiqué une courbe qui satisfait à cette condition, la spirale logarithmique dans laquelle le rayon vecteur en un point, fait toujours le même angle avec la tangente en ce point (1). Ainsi on peut distinguer trois cas :

1"* Si la tangente fait un angle droit avec les rayons vecteurs, on a deux circonférences et un rapport de vitesses constant; cas déjà examiné.

2"* Si la tangente fait un angle constantdififérent d' un droit, avec les rayons vecteurs, on obtient deux spirales logarithmiques égales (fig. 155), dont la tangente fera toujours cet angle con- ^*^* ^^^* stant avec la ligne des centres. Ces

deux courbes non fermées ne pourraient servir que pour une pe-

(I) Voici comment Euler établit d'une manière générale , d'après la considération ci-dessus , les relations entre deux courbes satisfaisant à la question :

Supposons que la fig. 156 représente une paire quelconque de courbes de roulement , et soit r = 5P la distance du point de contact au centre de rotation s de la première courbe et « = a s P Tangle de r avec le raj on fixe sa. Soient de même PH=:r, , APHs:^ e , les quantités correspondantes pour il seconde courbe, c étant la distance sH des deux centres; puisque r et r, doivent venir en ligne droite , on a :

r-^rt=Cy d'où dr= — </ r , .

n'aOleiirs, les longueurs des courbes AP, aP qui ont été en contact à pirtir d'une position antérieure étant égales; et chaque élément de courbe <^tant exprimé par :

V/dr^+r'd« et V^</r.= +r,*^o «^ on a /l/dr'+r^rfi» =^ f v/rfr,« + r.2rf» .»,

coiume dr=—dri , cette égalité donne rdô==r,rfi , s=(c — r)d« ,.

ai LIVRE DEUXIÈME.

tite longueur. En effet, pour une courbe qui satisfait à cette condition d'égale inclinaison , on a :

do dp

--j-=const., ou rf6= —, ou enfin 0= log. p, et p = fl«4-C.

poO p

3"* Enfin généralement si la tangente fait un angle variable, mate

le même pour les deux courbes, avec les rayons vecteurs qui se

mettent en ligne droite au point de contact, on aura encore des

courbes qui se conduiront sans glissement.

r di On arrive encore à cette relation en remarquant que comme — p- est la tan-

T d^ geute de Tangle que fait la première courbe avec r, et -^ — - Pangle de la se-

conde courbe avec r , , et que ces angles sont les mêmes ^ on a :

r d 0 r , rf 0 ,

dr "" dr, ou rd 9 = r, ff « , , comme cUlessus.

De là 011 déduit : qu^uue courbe étant doiméc par son équation entre r et « , Tautre est déterminée par les équations :

r,=c— reto,= i ,

Jc-r

intégration qui pourra toujours s'effectuer , lorsque les relations entre r

et I , réquation de la courbe donnée, sera linéaire, et qui fournira Inéquation

de la seconde courbe , la première étant donnée.

On satisfait à cette condition en employant deux ellipses égales, mais tournant chacune autour d*un foyer différent. En effet, soient «, H, les deux centres de rotation (fig. 156), et P le pirfnt de contact sur cette ligne, T/ la tangente en ce point. Menons la ligne SP = «P faisant un angle /PS = /P« = HPT; il est évident que si des deux points S et A, comme foyers, et avec la longueur constante SPH on trace une ellipse ;

Qae des points « et A (ce dernier obtenu en prolongeant SP , et prenant PA = PH, d'où «A = SH) on trace une seconde ellipse égale à la première ;

Ces deux ellipses égales, qui se touchent en des points placés symétriquement, pourront rouler Tune sur l'autre sans glissement; car la tangente à Tellipse fait toujours des angles égaux avec les rayons vecteurs menés de ses deux foyers au point de contact, ce qui est précisément la condition à laquelle il s'agit ^e satisfaire lorsque, comme nous l'obtenons par la construction précédente, le rayon vecteur de la seconde ellipse est égal à celui mené an point de contact du second foyer de la première et symétriquement placé. Théoriquement donc, deux ellipses égales peuvent se mener par contact et en n'engendrant qu'un frottement de roulement.

Mais il faut remarquer que outre qu'il est presque impossible, dans la pratique, d'exécuter deux ellipses identiques, la pression au point de contact s'exerçant suivant des inclinaisons variables, l'adhérence est également variable. De plus, après un demi-tour, cette inclinaison change, de telle sorte, que l'ellipse menante s'éloignant de l'autre , il faudrait qu'il y eût entre leurs surfaces une adhérence attractive pour que le mouvement pût continuer. Nous supposerons qu'il en est ainsi pour poursuivre ces considérations géométriques, et nous verrons plus loin comment ces difficultés peuvent être surmontées dans la pratique.

170. Rapport des vitesses. Comme nous l'avons vu (art. 156), les vitesses angulaires de deux courbes roulant l'une sur l'autre, Sont à chaque instant en raison inverse des longueurs interceptées sur la ligne des centres, entre ces centres et le point de

renoontre de la normale commane aux deax courbes au point de contact. Il est clair que a Qtb étant les longueurs AH, AS du grand axe, la longueur maximum interceptée sur la ligae des centres sera a et la longueur minimum 6, longueurs qui se mettront en ligne droite lorsque le contact aura lien suivant les extrémités des grands axes. Le maximum du rapport

des vitesses angulaires A , A, sera donc t- = 7» et le mini-

mum •— = -. Le rapport du maximum au minimum, ou la va- A, a

riation totale possible sera donc ^ = — .

Le rapport de la vitesse angulaire de Taxe conduit à celle de Taxe conducteur passe donc par un maximum et un minimum pour revenir au point de départ.

Mais si ce rapport devait atteindre plusieurs maxima dans une seule rotation , le système des deux ellipses deviendrait insuffisant. On peut résoudre alors le problème par des courbes qui ont une certaine analogie avec Fellipse dont nous allons les déduire, et (pii doivent porter un nombre de saillies égal à celui des maxima.

COURBBS A PLUSIELBS SAILLIES OU A PLUSIEURS VE?iTBES,

171. Soit à construire une courbe à deux saillies. Constru sons une ellipse dont le grand axe soit égal à la distance d

Fig. 157. rig. 168.

-^"•iR loin comment le petit axe ré?

CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 475 d'un des tojms en un certain nombre de parties égales , six par exemple (fig. 167). Traçons maintenant un angle droit et di\1- «iBS-le en six parties égales. Sur chacune des lignes de division portons des longueurs ér' 1, c' 2, e' 8...., égales aux rayons vecteors oorrespoBdants de Tellipse, c'est-à-dire àei,f2, es...., BOUS détennineroBS tant de points que nous voudrons d*une courbe (fig. 158).

Répétant cette construction symétriquement dans les quatre angles droits contigus, on aura une courbe fciTuéc à deux ventres qui pourra mener une semblable courbe par roulement, en faisant nattre deux maxima et deux miuima dans le rapport des vitesses; ces deux courbes étant disposées de telle sorte que le rayon correspondant k ek^ dans Tune, se mette en ligne droite avec le rayon correspondant à e / de Tautre.

En effet , si Ton compare la rotation de ces deux courbes à cdie des deux ellipses qui ont fourni les rayons vecteurs , on voit que les mêmes rayons vecteurs arriveront en même temps sur la ligne des centres, par suite se toucheront et se mettront en ligne droite comme s1l s'agissait de deux ellipses, en décrivant seulement des angles moitié de ceux qui seraient décrits dans ce cas, et que pour un rayon vecteur de la courbe qui mène , le rayon vecteur de la courbe menée sera de la longneur oonrespondante à celui de la seconde ellipse pour un même angle; donc , enfin , il n'y aura pas de glissement , puisque la condition de Fart. 157 sera satisfaite, et les courbes se C9nduiront par nnilement.

172. La construction que nous venons de décrire peut évidemment s'appliquer à une courbe d'un nombre quelconque de saillies: donnons pour exemple la construction de celles à trois et à quatre saillies.

Pour construire la courbe à trois saillies (fig. 159), on décrira aatour du centre un cercle qu'on divise en six secteurs égaux, chacun devant correspondre à la moitié d'une saillie. Ou le partage en autant de parties que la demi-ellipse Q, et on mène les rayons sur lesquels on prend des longueurs égales aux rayons corres-

pondants de la demi-eliipse , comme il est indiqué par les mêmes lettres sur les deux figures. Par ces points on fera passer une courbe qui est le contour de la demi-saillie, qui répétée six fois forme la courbe à trois saillies.

On tracera la courbe à quatre saillies en divisant le cercle traoé (ilg. 160) autour du centre de rotation en buit parties, cbacone

Fig. 169,

Fig. 160.

correspondant à la moitié d*une saillie; on transportera, de la même manière que dans le cas précédent , les longueurs des rayons vecteurs de Tellipse sur les rayons de la demi-saillie de la courbe à quatre saillies pour obtenir le tracé de ccHck;!, et par suite le tracé de la courbe.

Deux courbes semblables se conduisent par roulement; il en serait ainsi pour des courbes pareillement construites, d*an nombre quelconque de saillies.

173. Nous avons dit que ces courbes avaient une certaine analogie avec l'ellipse, par suite du mode de construction; il est facile de voir qu'elles constituent une famille de courbes dont Tellipse est un cas particulier.

En effet, quand on considère Téquation de Tellipse en ooo^

données polaires, on sait que cette équation est p

aRCCLAIRE œNTINU EN CIRCULAIRE CONTLNU. Ml

Notre construction revient à remplacer dans les courbes à tn %' entres (ilg. 161), pour une même valeur de p, Tangle oi de

l'ellipse par un angle w' = — ; Tangle

du rayon vecteur de ces courlies est égal à celui de rellipse divisé par m , Rg. 161. ^^ wssinw'; réquation générale de

courbes est donc :

l-f-tf COS. m ta

-91 étant le nombre des saillies.