ViUiiei» — Le rapport des vitesses maxima et minima
«* ^ ,.. . ('• + «)' est toujours ~ comme pour deux ellipses ou mieux -^
en appelant r le demi grand axe et e rexcentricité, la moitié de la distance des foyers; il suffit pour le voir de chercher la valeur de ce rapport lorsque le contact a lieu au milieu d*un ventre d'une courbe et à l'extrémité d'une saillie de l'autre courbe, ou inversement. Ce rapport étant donné par la loi du mouvement, eomme on a d'ailleurs la distance des centres, il sera facile de déduire du rapport des vitesses la valeur de e, c'est-à-dire la position des foyers de Tellipse sur le grand axe. Cette ellipse sera donc complètement déterminée, puisqu'on connaîtra la position des foyers et la longueur du grand axe, c'est-à-dire la somme eoDstante des deux rayons vecteurs.
Au lieu de la régularité supposée ici dans la répartition des maxima et des minima, la loi de la variation des vitesses peut être (iieioonque, les rayons vecteurs des poiuts d'inllexion peuvent répondre àdes arcs quelconques égaux dans les deux courbes; mais le principe fondamental de la constance de la somme des rayons vecteurs de ces courbes indique que ceux-ci seront nécessairement im mêmes que ceux d'une ellipse ayant un grand axe égal à la ^stauce des centres. La loi du mouvement indique d'ailleurs la «nanière dont doit être effectuée la division des angles autour cL'uB des foyers pour reporter la longueur sur des rayons eor-
respondants de la seconde courbe à obtenir, comme nous Favo fait(ilg. 159 et 160).
175. Mouvements relatifs, — Presque tout ce que nous avo; dit sur les courbes enveloppes en parlant du roulement d*u] circonférence sur une autre est général et s'applique, par suit au roulement d'une ellipse sur une autre. Ainsi le point de coi tact a sera un point de la normale à la courbe enveloppe enveloppée, pouvant être employées pour réaliser le mouvemei d'entratnement d'une courbe par T autre, et cette propriété pei servir à déterminer Tenveloppe par points , en traçant divers positions des courbes primitives et de Tenveloppée. Le mouvi ment relatif d*un point du contour de Tellipse mobile sur plan de l'autre ellipse sera une courbe épicycloïdale elliptiqu L'étude détaillée de ces courbes n'offrirait pas d'intérêt et sera de peu d'utilité dans les applications; toutefois il importait < noter les grandes affinités des courbes ainsi engendrées avec l épicycloides qui sont produites dans le cas particulier où l deux axes des ellipses deviennent égaux et les ellipses é cercles.
176. Emploi de la spirale logarithmique. — Deux conton identiques pourront permettre de réaliser des systèmes analogu< aux précédents, si, les tangentes ayant une même inclinaisc sur la normale au point de contact, la somme des longueu! des rayons vecteurs est toujours égale à la distance des centre Ce résultait sera obtenu à l'aide de polygones réguliers sen blables, tournant autour de leurs centres, et on parvient faire que Tinclinaison do la tangente commune reste constant en munissant les côtés de fractions semblables de spirale iogt rithmique.
Reprenons d'abord la solution fournie par la spirale logaritt mique (1).
Soit ACB un secteur appartenant à l'une des roues, et AD le secteur de l'autre roue. Traçant la seconde courbe à l'aide d
(1) Nous einprantons cet intéressant passage au Traite de mécanique i M. Weisbach. — Lehrhuch der Ingénieur vnd 3faschinen-Mechafiidt.
CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 17$» la première et au moyen d'ares de eerele ëquidistants et de rayons vecteurs correspondants reportés d'une ligne à angle droit avec la première , on obtiendra évidemment une courbe identique à la première , et placée à angle droit , dont la somme
Ftg. 162.
^ deux rayons vecteurs, situés sur chaque courbe à égale "*^tance des extrémités, sera toujours égale à la distance "^^ deux centres; on aura évidemment pour des points corres- P^ïidants
CA + AD = CP + DP.=.CQ + DQ., ou z + z, ^=r + r, , ^^ appelant z, z. les rayons vecteurs variables des deux courbes ^ ^l r, les rayons initiaux CA, AD.
Cherchons la courbe dont les angles de la tangente avec le '^^yon vecteur, ou avec la circonférence décrite par celui-ci, ^^xit égaux, ou RPQ et RPQ. mais de sens opposés, condition ^ emplir pour qu'il n*y ait pas de glissement, que les longueurs ^^ courbe qui passent au point de contact soient égales. Appe- *^iis ces angles a et a. , on aura :
tang. a= — tang. «,.
Appelons <p et cp. les angles AGP, ADP, pour deux points ^^^>rrespondants quelconques P et P., dont les accroissements
éiémaitaires PCR, P^DR. seront c^cp, d^. pour des accnrisse-
ments dz , dz^ des rayons vecteurs , on aura :
fnn« OR ^* ,, R.O. rf«.
PR-z^<p'^^^"^ P.R. -z.rf^p,'
donc —j- = -— .
zdf z.d^t
Puisque par hypothèse a = — a. = constante,
— = tang. «rfç, et en intégrant
log. nat (-] = ç tang. a ;
OQ x = ref *»«• % « = 2,718.. .
dcmémcx, = r,e — ç**»^-»- Cette construction pennet, comme nous TaTons dit, de faire agir avec des tangentes également indinëes des contours polygonaux réguliers, placés à angle droit, munis de parties 'de la courbe trouvée ci-dessus, c'est-à-dire de spirales logarithmiques. La même solution peut s'appliquer à des triangles éqoi* latéraux, à des carrés, à des polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés, les mêmes pour les deux roues. Nous donnerons ici le calcul pour le carré qui a été employé dans la machine à imprimer de Bacon et Donkin.
Soient deux carrés tournant autour de leurs centres dans lesquels
CA = DE=:r, CB = DA = r.=rv/5=l,4142r
et pour cette valeur de r,,«p = ACB = -.
Mettant ces valeurs dans Téquation ci-dessus
îp tang. a = log. nat. f-l ,
il vient : tang. a = - log. nat v/2 = 0,44138
et par suite a = 23* 49' .
L* équation des courbes AB et EA, semblables aux précédentes, mais disposées à 45<» pour un arc de cette étendue sea-
aRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU. 484
lencàent passant par les points A, K, et A, B et tournant autour de G et D, est donc
« = r€ o,ui2Bf^ 4m bien
log. nat. M = 0,44128^ log. nat. f.
ï^'aisons maintenant ? = - ou (22*»*/,) position des rayons CP,
D ï* , on a pour la valeur de CP :
log, nat. f-j = 0,441iJ8 - 0,43429 = 0,07526, d'oiiCP = 2=l,189r.
Fi^. 163.
Les rapports des vitesses sont en A
^t quand le point II est en contact avec le point E
^t le rapport de ces deux termes cxtr«^mcs := 2.
Il est évident que dans la rotation complète il y a 4 maxima
^t 4 minima.
