DES DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES
Dans les chapitres qui précèdent et qui contiennent l*explication de la plus grande partie des phénomènes optiques utilisés pour Tétude des substances cristallisées, nous n*avons eu besoin que de considérer les vibrations lumineuses rectilignes. Dans certains cas, il est commode de considérer d'autres modes vibratoires, et no*us allons rappeler ici les notions les plus indispensables sur les diverses espèces de vibrations lumineuses et sur la manière de les composer entre elles.
Wllbratlom rectlUfaes. — ComipoidiaMi des vlbnUiMUi reetUIgMa. — Une vibration simple rectiligne, s*effectuant suivant OX, peut être représentée par une équation de la forme
x=/>sin f^x^f — <pj»
dans la quelle /> est Vanqtlitude^ t est le temps variable» T la durée d'une vibration complète, et f un certain angle que Ion appelle Vanomalie. On peut encore représenter lamêtne vibration par Téquation
en posant
Sur X
?=— ou r=-?;
X est la longueur d*onde, r est la différznct de maixke; si Ton suppose
CHAP. VU. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATTOiNS LUMINEUSES. 239
la vitesse de propagation égale à 1, on a T=>., et r représente aussi le retard évalué en temps.
Nous appellerons en outre direction de la vibration^ celle sur laquelle on convient de porter les x positifs.
L'intensité lumineuse de la vibration est représentée par la demiforce vive moyenne, pendant la durée d*ime vibration complète. Comme
la vitesse est à chaque instant représentée par — ;^ cos( 27r (f )#
la force vive est égale, m étant la masse vibrante, à
m. -^p*cos*^2x^ ~?j = -^m/>«|^i + cos^4icy-2çjJ-
La valeur moyenne du cosinus étant nulle, la force vive moyenne
Ait* Air*
est égal à — m. p*. Le coefficient — - m étant le même lorsqu'on compare des vibrations de même période, on convient de considérer Tinlensité d'une vibration Imnineuse comme représentée par p', c'est-àdire par le carré de l'amplitude.
Un nombre quelconque de vibrations simples de même période, dirigées suivant la même droite, équivaut à une certaine vibration simple ayant la même directioUi et dont il est aisé d'obtenir l'équation. Appelons/i, p\ etc., les amplitudes; f, <f\ etc., les anomalies des vibrations composantes; P et <I) l'amplitude et l'anomalie de la vibration résultante. On doit avoii, quel que soit t:
Psin (tix^ — *) =psinr27:ç + 9 j -f jp' sin (swi— 9M ou, en développant :
Pcosct»sin 2xsf — Psin<&cos 2x w =
= sin2ic «(pcos9 + p'coS(p'+ ...) — cosSx Y(psin9/>'sin+).. Pour que cette équation soit vérifiée, quel que soit t, il faut identifier les coefficients de sin 2% s; dans l'un et l'autre membre, et faire de
même | our les coefficients de cos 27r ' On obtient ainsi les deux équa-
lions
P cos ^ =/i cos 9 -H p' cos ^'-f-. .
P sin4>=/>sin9 + f/sin9' + ...
On peut traduire géométriquement cette solution. Si Ton mène à partir d*un point pris pour origine une ligne polygonale dont les côtés successifs, de longueurs p, p\ etc., font respectivement avec une direction arbitraire des angles f , (f\ etc.; la droite qui ferme le polygone a pour longueur P et la direction de cette droite, qui part de Torigine, fait un angle égal à 4» avec la direction arbitraire.
vibratiovH eiUptiqves. — Une vibration rectiligne peut toujours être décomposée en deux autres vibrations rectilignes, dirigées suivant deux droites OX, OY, rectangulaires entre elles, et dans le .plan desquelles elle est située. Nous convenons ici, et dans tout ce qui suivra, de prendre pour la partie positive de Taxe OY, la direction que Ton rencontre en tournant de 90**, & partir de la direction positive OX, dans le sens contraire à celui des aiguilles d*une montre.
La composante de la vibration suivant OX est la vibration qu'accomplit suivant OX la projection de la molécule vibrante. Il en est de même pour la composante de la vibration suivant OY.
Si la direction de la vibration dont l'amplitude est m, et Tanomalic est f, fait avec OX un angle égal à a compté à partir de la direction de la vibration dans le sens droit, et par conséquent avec OY un angle
égal à - — a, les deux vibrations composantes ont pour équations
x=mcos asm y = m sin a sin
Un nombre quelconque de vibrations rectil ignés situées dans le même plan peuvent toujours ainsi être ramenées à deux vibrations rectilignes dirigées suivant deux droites rectangulaires entre elles.
Soient
a:=psin^2z^-9 j y = ç8in^2î:|-.(j;j
CHAP. VII. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 241 les équations de ces deux vibrations. Nous pouvons changer l*origine des temps et compter ceux-ci à partir du moment où le point vibrant suivant OX passe par l'origine en se dirigeant vers les x positifs. Il suffit pour cela de prendre
f étant le temps compté à partir de la nouvelle origine. Les équations précédentes deviennent alors
y = çsin^2z^-h«p-(|/j
En éliminant le temps tf entre ces deux équations, nous obtiendrons ime équation entre ^ et ^ qui représentera la trajectoire de la molécule agitée par les deux vibrations rectilignes simultanées.
Les deux équations donnent aisément :
sm2x;f=-,
ces ix m — : ; rr — •
t pq sin (f — f^)
En élevant au carré et ajoutant membre à membre, il vient g*x«-|-p«y«— 2pçxycos(9 — (j;) =p'ç' ««• (?-"<!')•
C'est en général Téquation d'une ellipse rapportée à deux diamètres rectangulaires.
La vibration plane la plus générale qui puisse agiter un point est donc une vibration elliptique.
Lorsque sin»((p — ^)=0, c'est-à-dire lorsque y — ^j; = nir, l'équation de l'ellipse se réduit à
lorsque n est pair, et à
(qx + py)^=0
lorsque n est impair. Dans l'un et l'autre cas, la. vibration résultante wt rectiligne.
CRlSTALLOGRAnOEf T. II. iG
Deux vibrations reclilignes, rectangulaires entre elles, et dont Tanoraalie relative est nulle ou égale à un nombre entier de fois r, équivalent donc à une vibration rectiligne.
La tangente de Tangle que fait la vibration rectiligne résultante avec la direction positive des x, est égale au rapport de Tamplitude de la vibration composante suivant OY à Tamplitude de la vibration composante suivant OX. Si Ton suppose n nul ou pair, la vibration résultante est dirigée dans Tangle des axes positifs lorsque les deux amplitudes sont positives, et dans Tangle adjacent lorsque les deux amplitudes sont de signe contraire.
Lorsque y — ^j/=:±:(2rt-|-l)ç» le terme en xy disparait, et Tellipse
est rapportée à ses axes. L*équation de Tellipse prend alors la forme
et les vibrations dirigées suivant OX et OY, que l'on peut appeler les vibrations axiales^ ont pour équations
d;=Asin2?:=r
y = Bcos9z^-
Les amplitudes A et 6 sont les longueurs des axes de Tellipse.
L'intensité lumineuse d*une vibration elliptique est la somme ie^è intensités lumineuses de chacune des vibrations axiales, elle sera donc représentée par la somme des carrés des axes.
. tHstlnetfoM eatre le sens droit o« gavehe d*MMe TlbratloM elUp* tUinm. — Si Ton regarde le plan de Tellipse vibratoire sur une de ses deux faces, on verra la molécule vibrante parcourir cette ellipse dans un certain sens. Nous appellerons sens droit ou dextromun le sens des aiguilles d*une montre : gauche ou sinistrorsum le sens opposé.
Si le sens dans lequel la molécule parcourt son ellipse vibratoire est droit lorsqu'on regarde une des faces du plan qui la contient> il est gauche lorsqu'on regarde Tautre face. Si Ton ne pouvait pas distinguer entre elles les deux faces du plan de vibration, il n*y aurait donc pas lieu de distinguer l'un de Tautre les deux sens du mouvement de la molécule. Hais la vibration lumineuse se transmet dans Tespace suivant
CHAP. VU. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 245 une normale à son pian. On peut donc distinguer de la face opposée la face de i'ellîpse que regarde un observateur vers lequel se dirige la propagation lumineuse ou, en d'autres termes, qui est tournée vei*s raval du rayon lumineux. C*est pour cet observateur que le sens du mouvement de la molécule sur sa trajectoire est droit ou gauche. Les équations des vibrations axiales de l'ellipse sont.
et Ton a
a;=Asin27:nn» y^Bcos^Zj,
dx Sz. ^ t ;^=.-^Acos2^^.
Si  et B sont de même signe, y ^i^t ^^"*^ toujours de môme signe ;
dt
dx
et réciproquement, si  et 6 sont de signe contraire, y ^^ -jt sont de
signe contraire.
Supposons que le point vibrant soit en B (fîg. 86), à rextrémilé positive de Taxe des y, il se dirige vers l'extrémité positive A de Taxe
dûC
des X, et Tellipse est dextrogyrCy si -j-
est positif, c'est-à-dire si A et JB tant
de même signe. Le point vibrant se
dirige vers l'extrémité négative de
I*axe des x et l'ellipse est lévogyre si
flx
j est négatif, c'est-à-dire si A et B
iont de signe contraire.
Il ne faut pas oublier que cette règle suppose la convention que l'axe pour lequel la projection de la vibration est représentée par un cosinus, a sa direction positive placée de telle sorte qu'on la rencontre après avoir tourné de 90«, dans le sens sinistrorsum, à partir de la direction positive de l'axe pour lequel la projection de la vibration est représentée par un sinus.
On simplifiera le langage en convenant d'appeler grandeurs des axes de l'ellipse ces grandeurs affectées des signes qu'elles ont dans les ^ualions des composantes.
Supposons A positif^ si l'ellipse est dexlrogyi^e^ la vitesse est posiliîe lorsque le mobile est en B; si l'ellipse est sinistrogyre, la vitesse
est positive lorsque le mobile est en B'. Nous conviendrons de dire que, dans le premier cas, Taxe des y de Tellipse a pour direction OB, et que dans le second cas cette direction est OB'.
¥ibratloMs circakiires. — Lorsque les axes de lellipse vibratoire deviennent égaux, Tellipse devient un cercle et les composantes de la vibration circulaire suivant OX et OY .sont
a;=r sinS?:
3^ = r ces 2z =; ;
r est le rayon de la vibration.
Un point animé d*une vibration circulaire de rayon r décrit un cercle de rayon r, pendant la durée T de la période, dans le sens droit si U vibration est droite, dans le sens gauche si la vibration est gauche.
Une vibration circulaire qui, rapportée aux axes OÂ et OB (fig. 87), a une anomalie nulle et a pour équation
x=rsm2x|» y = rcos2xY
est une vibration droite dans laquelle pour ^ =: 0 le point vibrant est en B.
Si Tanomalie de cette vibration droite, rapportée aux mêmes axes,
est égale à — f , la vibration suivant OÂ ayant alors pour équation
a:=rsin( ÏTT «^ 4- op J, le point vibrant esta Tinstant / — 0, au point B',
c'est-à-dire à Textrémité du rayon OB' qui fait, avec OB, un angle ç
compté dans le sens droit. Si Ton prend les deux directions rectangulaires OA' et OB', telles que le sens A'B' soit sinittrorêum, la vibration rapportée aux axes OA' et OB' aura une anomalie nulle. Nous conviendrons d*appeler cures d'une vibration circulaire, les deux droites rectangulaires pour lesquelles, avec Torigine des temps considérée, Tanomalie est nulle.
Avec c^tte convention, on peut dire que la direction des axes d*une vibration circulaire change avec Torigine des temps. Lorsque Forigine des temps est modifiée de manière que
FIg. 87
c*est'à-dire
