CHAP. VU. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES
les axes de la vibration circulaire droite tournent d*un angle égal à f dans le sens siniêtrarsum.
Com|M»sltloM de plusieurs vibrations elrcnlalres slnmltanées ém lèie seas. — Lorsqu*un point est animé de plusieurs vibrations circulaires simultanées, de même période, de môme sens, mais de rayons et d*anomalies différents, les composantes de la vibration résultante suivant OX et OY sont :
a; = rsin Mz j — 9 j +r'sin Tstc^ — ?')-+-•
y=rcos ^2x^—9) H-»-'cos (21:^—9'] H--
La vibration résultante est une vibration circulaife de môme période et de môme sens, dont le rayon est R et l'anomalie 4>. Si Ton pose, en effet :
x = Rsin/^2xj-*V y = R8in (^\—^\
ridentifleaiion des deux expressions respectives de x et y ne donne que deux équations distinctes, toujours résolubles :
R cos <ï> = r cos 9 + r' cos ç' -H. . R sin 4> = r sin 9 -H r' sin ^'j-f . .
Ces équations montrent que, pour obtenir R et 4», il faut, à partir d'une origine quelconque, mener une ligne polygonale dont les côtés, de longueui*s r, r', etc., font avec une direction arbitraire des angles respectivement égaux à 9, (fy etc. La direction qui, parlant de Torigine, ferme le polygone, a pour longueur R et fait avec la direction arbitraire un angle égal à ^.
IMternilaatlon des directions et des grandeurs des axes d*nne ▼iWation elliptique. — Reprenons les équations de la vibration elliptique, rapportée à deux diamètres rectangulaires quelconques.
yz=çsin^2x| +9 — 6 j
et cherchons à déterminer la direction et les grandeurs A et R des axes de TelUpse vibratoire, ainsi que Tanomalie ^ des vibrations axiales.
Appelons OX',OY' (fig. 88) les directions positives des axes de Tellipse» y, Y II l'angle de OX' avec OX, compté à partir de
OX' dans le sens droit.
Les formules de transformation des coor' données donnent :
i'=apcosjjt-|- y sinu y'= — .T sin ji 4- y cos jx.
Les équations de la vibration, rapportées aux nouveaux axes, sont donc :
Fj^. 88.
x'=pcosfAsin2z| + ^sinjjisin f2it=,-|-9 — (J;j. 2^' = — psinjAsinS^^p-f^cosiisin/ 2x| + 9 — t^ ).
Les équations de la vibration elliptique, rapportée à ses axes, sont d*ailleurs :
a;'=:Asin (^2zif^y
En identifiant, quel que soit t, ces deux systèmes d*équations, on trouve :
A cos ^ = p cos (1 H- 9 sin [A CCS (9 — ^) — Asin^=gsin)i8in(9 — t];)
Bsin^ = — j»sinjjL-|- 9COsji.cos(9 — <J/) B ces ^=ç ces p. sjn (9 — f^).
En multipliant membre à membre la i^ et la 5«, on obtient:
ABsin4>cos^=P9COs2jiLCOs(9-<j/)— - p*sin 2[jl4-û 9*sin2jjicos«(9 -6)
En multipliant membre à membre la 2' et la 4', on obtient :
— AB sin ^ cos ^ -- - 9* sin 2ji sin' (9 — f^) z
d'où Ton conclut :
%pq ces 2fxcos (9 — 4,) — (p« — ç«) sin 2pi=^ 0
CHAP. VU. — DIVERSES ESPECES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. S47 ou
On peut mettre celte expression sous une autre forme, en remarquant que, si. Ton représente Tintensité p*H-ç' de la vibration par 1, on peut poser
p = ces ti 7 = sin ti ;
il vient alors
tg2|JI. = tg2uC0s((p — (j;).
Pour trouver les valeurs de A et B, nous pouvons additionner membre à membre la 1'^ et la ¥ équation d*abord, ce qui donne :
(A-f B)cos^=|icos)i + çsin((i + 9 — ({;) et retrancher ensuite la 2* de la 3% ce qui donne :
(A -f- B) sin^ = — psinjji-l- çcos(pi-f 9— <J/) On en déduit sans peine :
(A + B)«=p« + q* +2pg 8in(9-t^) ou, en se servant encore de Tangle auxiliaire u, (A + B)«= 1 H- sin 2tt sin (ç — ^),
On obtiendrait de même (A — B)'; mais on peut le déduire immédiatement de (A + B)', en remarquant que l'intensité vibratoire restant la même, on doit avoir A*-hB*=p*-hç*, ou (A-hB)*+(A — B)«
On en conclut :
(A — B)«=:/>«-h9« — 2/içsin((p — (};).
ou
(A — B)« = 1 — sin 2tt sin (9 — <J/).
DécomposItloM d*iiiie 'HbratloM eUlptlqne em deux vlbratloMS drcuialres iiiTenies. — Considérons une vibration elliptique dont les vibi*ations axiales sont :
.r=:Asin2x«> y = Bcos2î: =•
Nous pouvons considérer la vibration suivant Taxe des x comme composée des deux vibrations
a:'= — |— sin 2r ;j; » :r" = — j- sm 2iç = »
et la vibration suivant Taxe des y comme résultant des deux vibrations composantes
y'^— 2" COSSZÇ. y"= g— 008 Sic ;j..
Or af ety* sont les deux composantes d'une vibration circulaire rfcr-
A-f-B trogyre de rayon — - — , et a/\ y" les deux composantes d'une vibration
circulaire sinittrogyre de rayon — ^ . D'où ce théorème : une vibration
elliptique peut être considérée comme composée de deux vibrations circulaires de sens inverse, qui» rapportées aux axes de Tellipse, ont la même anomalie que celle-ci. Le rayon de la vibration circulaire droite est égal à la demi-somme algébrique des axes de Tellipse; celui de b vibration circulaire gauche est égal à la demi-différence atgébrique des mêmes axes.
Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, que si OX et OY sont les directions de deux vibrations rectangulaires/dont les amplitudes sont sin u et cos u, dont l'anomalie relative de OY parrapport à OX estij/— ç, et qui équivalent à une vibration elliptique dont les axes sont OX' et OY', on a
lg2iJi.= tg2ttcos(9 — 4»)
jx étant l'angle, compté dans le sens droit à partir de OX', que fait OX' avec OX.
Si l'on pose — ;^ — =: r, — ^ — = r,, r et r, étant les rayons des deux
vibrations circulaires inverses dont la vibration elliptique est la résultante, nous aurons
o 1 cos2ii cos2ii
cos 2[ji= — — — — = - —
yl + lg«2Mcos*(ç — ^) vi— 8in*2ttsin*((p— (|;) *"'t
On ti*ouverait de même
sinSti smïu.=
'nV=-4;:;rCûs(9-.^).
d'MM vIbratiMi recUUcse en émmx irlbratlMM circulaires laveracs. — Une vibration rectiligne peut être considérée comme une vibration elliptique dont l'un des axes, B par exemple, est égal i xéro. On déduit immédiatement de ce qui précède qu'une vibra*
CHAP. VU. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 249 tion rectiligne, dont Tamplitude est A, peut être décomposée en deux
vibrations circulaires de sens contraire, ayant ^ pour rayon commun.
Les axes de ces vibrations circulaires, entendus comme nous en sommes convenus plus haut, sont : la direction de la vibration rectiligne pour Taxe des x, et les deux directions d'une perpendiculaire à cette vibration pour les axes des y.
CoBipoaaatcs rectlll^aes de dcax wlbratloas clrc«telrea teverM«. — Considérons deux vibrations circulaires de sens inverse, Tune droite, de rayon r, dont les axes sont OX et OY (fig. 89); l'autre gauche, de rayon r', et dont les axes sont OX'i et OY'; OX' faisant avec OX, un angle j^, compté à partir de OX, c est-à-dire de Taxe des X de la vibration droite, dans le sens dextrorsum^ et cherchons quelle est la composante de ces deux vibrations suivant une direction OA, faisant avec OXun angle égal à /3 compté à partir de OX dans le sens droit. On voit facilement que cette composante est égale à
Fig. 89.
Ircosp-f r'coslg— x) JsinSx^ + T— r sin 3 + 1-' sin (g— yj 1 cos2ic^. L'intensité 1 de cette composante est
1= r« -f r"» -f 2n-'cos (2p — yj.
¥lbratloM elliptique produite par vne lame eristalllae aimnoMtaat «a polariseiir rectiiii^ne. — Soit une lame cristalline dont les sections principales sont Oô et Oe (fig. 90) , surmontant un polariseur
dont la vibration, dirigée suivant OL, fait un angle a avec Oo et 5 — oc
avecOe, ce qui suppose l'angle a compté à partir de OL dans le sens dextrorsum. Après la traversée de la lame, la vibration rectiligne du polariseur devient elliptique, et les deux composantes de la vibration sont, en prenant Oo comme axe des x, Oc comn^e axe des y.
a; = cosasin 2;u II — M
Pour appliquer ici les équations générales établies plus haut, il fau-
dra changer « en «, et ^ — ç en Stt — :— , Nous aurons ainsi pour l'angle jsa que fait avec Oo Taxe A de la vibration elliptique,
tg2jjL=tg2acos2ic%-î-
L*angle a est compté à partir de Oo dans le sens sinisirorsuni.
Quant aux axes A et B de Tellipse, ils sont donnés par les équations
(A-|-B)« = i -|-8in2asin2ic (A — B)«= 1 — sin 2a sin 2ic
Cette vibration elliptique se décomposera en deux vibrations circulaires inverses, l'une droite dont le rayon est
*— i— , l'autre gauche, dont le rayon est ^ •
La vibration elliptique est dextrorsum si A et B sont de même signe, c'est-à-dire, si (A + B)» est plus grand que (A — B)», ou, en d'autres termes, si le rayon de la vibration circulaire dextrorsum est plus grand que celui de la vibration circulaire sinistrorsum , et inversement.
Pour que la vibration elliptique soit dextrorsum, il faut et il safGt
que sin 2a et sin 2?: —r— soient de même signe. Supposons que la
vibration Oo soit la plus lente à se propager dans la lame, c'est-à-dire que
0— e soit positif, et admettons en outre — j— < r» ou sm 2^ -r^
positif et a < 90<*. L'ellipse est dextrorsum si a est positif, sinistror-
aîAP. VII. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEDSES. 261
sum dans le cas contraire. On peut énoncer cette règle en disant que, lorsque le retard de la lame est égal à un nombre entier de longueurs d*onde augmenté d une quantité plus petite qu'une demi-longueur d*onde, le sens du mouvement vibratoire elliptique est celui du chemin que Ton parcourt en allant fie la vibration du polariseur à celle des deux vibrations, transmises par la lame, qui est la plus lente à se propager. On sous-entend que Ton considère, parmi les directions des deux vibrations, celles qui Tout entre elles un angle aigu.
Des valeurs de (A -f- B)* et (A — B)* on déduit aisément celles de A* et B*, qui sont :
2A*= t -f v/l — sin« 2tt sin* (9 — f^) 2B« = 1 — v^l — sin*2ttsin*((p — (j/).
De la valeur de tg 2;x on déduit les valeurs de sin 2;a et cos 2jji, qui sont :
sin2u=!i"^"^^<y~^)
\fi — sin* 2m sin* (9 — tj^)
cos 2tt
y i— sin* 2ttsin*^9 — tj^)
En fonction de A* et de B*, ces expressions prennent les formes suivantes :
. û sin2ii , ,.
Des 4 équations que donnent A, B, ^, on déduit aisément :
sinttsin(jLsin(9 — (];)
lg4> = ~
costtcos(ji-j- sin tt sin [A cos (9 — ^)
On peut multiplier haut et bas par sin^x, remplacer sin* jji et sin 2;x par leurs valeurs en fonction de A* et BS et on obtient
Cm o* la lame crUlalltae est très mlaee. — Si la lame cristalline est extrêmement mince, de telle sorte qu'on puisse négliger le
cube de 2;: — r— , les expressions de A, B, ^j; et ^ se simplifient.
On a
^^^ï'^ly^'^ ^(o-«)* sin« 2a= 1 ^ 1 (o -.«)*sin«2a B'^-5Y/i-^*(o-e)*sin»2a=^](o^e)«sin«2a
d*où Ton tire
A = l~i -(o-e)«sin«2a
B = ^' (o — e) sin 2i Quant à |u(, on a
tg2|^ = tg2ari-"*^(o-e)«l
d*où Ton tire
2(a— m) 2ir*
Si Ton pose a — ft = &>» « est Tangle dont le grand axe de la vibration elliptique a tourné en traversant la lame, et Ton peut écrire
w= ri (o— e)« sin 2acos2a= -- (o — f) jjC0s2a.
Si Ton compte Torigine du temps un instant o après le moment où la vibration toinbe sur la lame, la phase 4» acquise par. la vibration elliptique est donnée par Téquation
tg*=-lgy(o-e) j^
ou
*=~2zî^^in*a.
Si l'on compte l'origine du temps à partir de Tinstant où la vibra«
lorsque a=
lorsque a =
CUAP. Yll. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 953 tioQ incidente vient rencontrer la laine, la nouvelle anomalie sera
^+Y^> ^^ ^^ ^*^^ appelle la phase correspondant à Tanomalie
9> -f -- o, on aura
ç=o — (o — e)sin*a=ocos*a+ esin'a.
l^rodneitoii d'une Ytbratton clreulatre au moyen d'une lame ^■arC d'onde. — Si Ton a
on a et
La lame cristalline, que Ton dit alors quart d'onde, donne ainsi naissance, dans ces conditions, à une vibration circulaire, droite dans le premier cas, gauche dans le second.
On peut donc avec une lame quart d onde produire une vibration circulaire.
On prend ordinairement des lames de gypse ou de mica biaxe qui se lèvent très aisément en lames très minces ; les lames de mica sont préférées parce qu'elles sont moins fragiles. L'épaisseur d'une lame dé
mica qui produit un retard égal à - > lorsque A correspond au jaune
moyen, est d'environ G?"*, 032. Mais on ne mesure pas ordinairement cette épaisseur; on préfère choisir parmi de nombreuses lames de clivage celles qui donnent entre les niçois croisés et dans la lumière
blanche la couleur correspondant à ■. r^O^'^IS?, c'est-à-dire un gris bleu. On s'assure en outre que deux de ces lamelles, superposées parallèlement, donnent la couleur correspondant à ^ > ou un jaune paille. On peut enfin s'assurer rigoureusement, au moyen du compensateur décrit page 180, si le retard d'une lame correspond bien à - •
Le mica blanc biaxe est négatif, et les lames de clivage sont perpendiculaires à la bissectrice aiguë. La ligne des pôles des lemniscates.
954 DEUXIÈME PAHTIE. - CRISTâLLOGRAPIUE PHYSIQUE.
qu*on appelle souvent l*axe du mica, correspond donc à la direction de Taxe c et, par conséquent, à la vibration la plus lente à se propager. Si l*on considère la direction de la vibi^ation du polariseur, et celle de l'axe du mica qui fait avec elle une angle de 45"*, le sens de la vibration circulaire est celui du chemin qu*on fait en allant de la vibration du polariseur à Taxe du mica.
Transforaiattoii d*ane vibration clltptkiite on nne vibration reetlllgne an moyen d*nnc lame qnart d*onde. — Les vibrations axiales d*un rayon elliptique ayant pour équations
x=Asin27:7p, y=Bcos2:: ^ =Bsin ( 2^f +5 )»
diffèrent l'une de Tautre par une anomalie égale à ^> ou , ce qui ^i-
vaut, par un retard égal à ^ •
Si donc on fait en sorte que lune des vibrations axiales soit retardée
de ±:-> les deux vibrations deviendront concordantes, ou ne seront en
retard l'une par rapport à l'autre que de 1 * Dans Fun et l'aulre cas
ces deux vibrationsperpeiidiculaires pourront être regardées comme les
composantes d'une vibration rectiligne.
La vibration elliptique aura donc élé transformée en une vibration rectiligne.
11 suffit, pour produire cet effet, de placer sur le passage de La vibration Fig. 9J. elliptique, une lame quart d'onde dont
Tune des sections principales coïncide avec l'un des axes de l'ellipse. Admettons que la lame quart d'onde soit une lame de mica et que Taxe de la lame soit parallèle à l'axe A de l'ellipse supposée dextrorsum (fig. 91), la vibration
suivant le petit axe subira un accroissement égal à |. et les équation» des vibrations axiales deviendront
x— AsiiiSi:^» y = — BsinSîri;»
CUAP. Vil. ^ DIVEKSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 255 elles équivaudroQt à la vibration rectiligne OV, qui fait avec Ok un angle /x donné par la relation
L*anglejx est compté à partir de OV; dans le sens direct lorsque tg^ix est positif; dans le sens gauche loi^que \g[i est négatif.
Polarluenr» et MUil^rneuM cirenlalreii. — La combinaison d*une lame quart d*onde superposée à un polariseur rectiligne, de manière que les sections principales de la lame soient à 45<> de la vibration du polariseur, est ce qu*on appelle un polariseur circulaire» Un semblable appareil ne laisse en effet émerger de la lame que des vibrations circulaires.
Le polariseur circulaire pourra être droit ou gauche suivant que les vibrations circulaires auxquelles il donne naissance sont droites ou gauches. Si A est Tamplitude de la vibration rectiligne incidente, le
rayon de la vibration circulaire émergente est -^«
Si Ton retourne un polariseur circulaire de manière que la lumière entre par la lame et sorte par le polariseur (qui devient un analyseur), on a un analyseur circulaire^ qui ne se laisse traverser que par des vibrations circulaires d*un sens déterminé. Gela résulte évidemment de la réversibilité du rayon lumineux dont Tintensité est la même à Téroergence et à Tincidence. Il faut remarquer que la vibration circulaire qui sort de Tappareil lorsqu*il fait fonction de polariseur, tourne à la direction davo/ du rayon une certaine face; et lorsque Tappareil fait fonction d'analyseur^ c'est la face opposée de la vibration qui est tournée vers Taval du rayon. Comme le sens de la vibration changé suivant celle des deux faces de la vibration qui est tournée vers l'aval du rayon» il en résulte que le même appareil qui» comme polariseur, produit des rayons circulaires droits, ne laisse passer, comme analyseur, que des rayons oirculaires gauches. En d'autres termes, en retournant un polariseur circulaire droite on obtient un analyseur circulaire gauche^ et réciproquement.
En superposant deux appareils identiques, Tuu servant de polariseur, l'autre d'analyseur circulaires, on produit l'obscurité*.
1. C'est ainsi que si Ton a deux écrous identiques, et si on *les superpose , en re^ tournant l'un d'eux sens deslus-dcssous, une vis, qui tourne danslepremieriest arrêtée par le second.
Si R est le rayon de la vibration circulaire transmise par un analyseur circulaire, Tamplitude de la vibration rectiligne émergente est R v^â.
Pour la production de ce pbénomène, comme pour celle de tous les phénomènes dans lesquels interviennent les polariseurs ou les analyseurs circulaires, on peut donner à ces appareils des azimuts quelconques sans que les phénomènes soient modifiés, puisque les vibrations circulaires ont toujours les mêmes équations, quels que soient les deux diamètres rectangulaires auxquels on les rapporte, pourvu que Ton change convenablement Torigine des temps.
cristallisée, pUicée entre va polarlse«r reetUl^ae et ■■ mwkmïjmemr elrevlalre, on entre an polarisenr elrenlnlre et ■■ nnnijsenr reetUl^ne, et exnndnée émnm In Inndére |MM«lléle. —
Plaçons une lame cristalline entre un polariseur rectiligne et un analyseur circulaire. Le polariseur et' la lame laissent passer une vibration elliptique équivalant, comme on Ta vu plus haut, à deux vibrations circulaires. Tune droite, dont le rayon est^ 1 /i-hsin2« sinSrr — r-
et l'autre gauche, dont le rayon est ^ i A sîq 2a, sin 2tz — t— ; a est
Tangle compris entre la vibration du polariseur et la section principale de la lame correspondant à la vibration de vitesse -, cet angle
étant compté dans le sens droit à partir de la vibration du polariseur. L'analyseur circulaire arrête lune de ces vibrations et laisse passer Tautre. Si l'analyseur est droit, l'intensité de la vibration rectiligne
émergente est 5 ( i H- sin 2a sin Îtt — — j; s'il est gauche, cette inlen-
Site est 5 1 J — sin 2a sin 2ir -r— 1-
Si Ton suppose a=45% ces intensités deviennent ^ ( 1 4- sin 2w — r— 1 et
Ul — sinSîc^Y^j ^" ^*" Vî "^^ ^?) ®' ^^ Vï H-^^Y^)' Avec
la limiière blanche, la teinte est donc celle que Ton obtiendrait avecune lame cristalline dont le retard serait celui de la lame employée aug-
