CHAP. YJU. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES

Nous nous bornons à considérer la variation dV pendant la traversée du paquet, de sorte que Jleisin2y et Jltdcos2y sont des quantités très petites. On peut donc remplacer cos2Q par 1, puisque l'erreur, qui est <iu deuxième ordre, est multipliée par une quantité très petite; on peut d'ailleurs toujours remplacer sin 2Q par 2Q, puisque Terreur commise n'est que du 3« ordre : on a ainsi

<nj = ;^26Î sin2Y — -T^ ûSeS cos 2y •

Dans le 2« membre, le l*"" terme est du 1^' ordre de grandeur, et le 2* terme du 2*^ ordre. Le l^*" terme s'annule à la sortie du paquet, puisque nous avons vu que, pour un paquet,

2*8sm2Y = 0;

on aura donc, pour la variation dV produite par la traversée du paquet considéré :

2ic (/U = — ---ûI£5cos2y.

Or, si nous nous reportons à ce qu*on a vu plus haut, nous verrons que ^edcos2y représente \dE, A étant le retard causé par le paquet, c'est-à-dire la longueur On qui ferme la ligne polygonale 012... n de la figure 96. Nous pouvons donc écrire :

(a) d[]z=—^Z\dE,

Occupons-nous de dQ; l'expression générale s'appliquera encore ici en substituant à y la valeur y — Û , que l'on peut supposer constante pendant la traversée d'un paquet. On aura donc

rfÛ=Çru + u-HY)eBcos2^;-û)

Nous appelons u la valeur très petite de l'accroissement dV, qui se produit après la traversée d'un certain nombre de lames du paquet. La i Taleur totale de dû, après la traversée de toutes les lames du paquet, I -est ainsi :

(iû = Ço268cos2(Y— û) + Y2:(u + y)68cos2(Y-û).

Le signe S indique la somme des termes analogues à celui qui est écrit, et se rapportant successivement à chacune des lames qui composent le paquet. En développant les cos2(y — 0) et remarquant que Ton peut faire sin ^2 û -= 2û, et cos20 = 1, puisque cos 2û est multiplié partout par des facteurs du 1^' ordre de grandeur, nous aurons, en supprimant toujours les termes du 5<^ ordre :

rfû== yCSeS cos2y + -r^2(tt + y)^^*^^^^ï + T'^^^'^ ^*° ^' Comme nous venons de le faire remarquer, on a £e^cos2^ = A<ŒI, et Itdsiniy = 0. Quant à -y 2 ^i/H- -^ ) «^cos2y, il représente rdE

(V. p. 273) ; on aura donc : *

2x (b) dû = -:- UAdE + rdE.

Les équations (a) et (b) sont les équations différentielles simultanées en U, d, d\j dû, qu'il s'agit d'intégrer pour obtenir les eipressions de U et d.

Pour ne pas embarrasser inutilement les calculs, nous poserons

•— A = ^ ; les équations deviendront alors :

</U = — û(]KiE, dQ = \}f^E'j-rdE.

Si l'on élimine dE entre ces deux équations, on obtient

— (^ûrfû = (U(j; + r>/U,

ce qui donne par l'intégration

la constante étant nulle, puisqu'on doit avoir U=0, pour û = 0. Od tire de cette équation

GHÂP. Vm. ~ LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 281

Transportant cette valeur de U dans Texpression de ifO, il vient

ou

il faut prendre le signe +» puisque pour ({; = 0, on doit avoir da = -j- r efE. L'intégration donne

AE=arcsinlû, r

la constante étant encore nulle, car on a £2:^0 pour E=0. Cette expression peut se mettre sous la forme

û = -sind/E.

Portant dans Texpression de (flJ, il vient

rfU= — rsinij/E.dE, ce qui donne, en intégrant,

U=r7costtEH-C.

On doit avoir U = Opour E = 0, c'est-à-dire C = — ,etparconsèquent

U = (1— cosd;E) = — --sin'-V-

2/r En remplaçant ^ par sa valeur — A, les deux expressions de H et U

se mettent sous la forme

sm -- El

sin'^EA

(5) U=— rE-

On déduit facilement de ces deux expressions

(6) U = -ûtg^EA,

^7) Ucos^EAH-ûsin^EA = 0-

Remarques sur les walenr» de U et de Û. — Les valeurs de U et

de û sont proportionnelles à r et à l'épaisseur E de la pile. 11 faut se rappeler que r a pour expression

r=— «orfE, A

et qu*il est ainsi proportionnel à Tépaîsseur dE du paquet, à Taire s, qui dépend de la nature et de Tarrangement des lames de paquet, et qu'il est enfin en raison inverse du carré de la longueur d*onde X, si Ton néglige la dispersion cristalline des lames qui composent le paquet. La vibration rectiligne incidente a été supposée parallèle à l'une des sections principales de la pile, celle pour laquelle la vibration est en retard de A sur la vibration dirigée suivant la section principale perpendiculaire. Si la vibration était dirigée suivant cette seconde section perpendiculaire, Q aurait la même valeur absolue et le même signe; mais U, qui conserverait la même valeur, aurait un signe contraire, puisque A changerait de signe.

Les deux vibrations rectilignes incidentes dirigées suivant les deux sections principales de la pile donnent donc, à l'émergence, des ellipses dont les grands axes respectifs ont tourné l'un et l'autre, et dans le même sens, du même angle û, par rapport à la vibration incidente. Mais ces deux ellipses sont de sens différents ; si Tune est dextrogyre, l'autre est lévogyre, et inversement.

Soit, rapportée à Tune des sections principales de la lame, la vibration incidente

xr=psm2TC=i*