II. — FORCES ÉLASTIQUES
Ellipsoïde d'élasticité. — Si dans un solide déformé et en équilibre on considère un certain plan P (fig. i) qui le divise en deux parties M et N, la suppression de la partie N troublerait Téquilibrë qui ne pourrait être rétabli qu*en appliquant sur les divers points du plan P
^ des forces convenables. Les forces
qu*il faudra appliquer sur les ^ "^ ■ points d'un petit élément de sur-
face ûD pris sur ce plan et contenant le point 0, seront sensiblement parallèles et égales; elles doimeront donc une résultante parallèle et égale à leur somme, c*est-à-dire proportion-
F nelle à Taire &). Cette résultante F, divisée par &>, ou — est ce que Ton
appelle la force élastique exercée au point 0. Si OA représente en gran-
F deur et en direction -, et si Ton prend sur une normale au plan P,
&) menée en 0, une longueur OB représentant la grandeur de Taire w, le point A et le point B sont liés entre eux de la même manière que les points A et B du chapitre I. Loi^que B décrit une sphère, A décrit une ellipsoïde, ou, en d^autres termes, les forces élastiques exercées sur les divers plans qui se coupent en un même point, sont représentées en grandeur et en direction par les rayons vecteurs d*un certain ellipsoïde.
aiÂP. II. — ÉLASTICITÉ. 27
La définition qui vient d'être donnée de la force élastique est très simple, mais elle ne donne pas une idée nette des actions qui concourent à engendrer cette force. Dans un sujet aussi délicat et sur tous les points duquel les savants ne sont pas même entièrement d'accord, il importe de ne laisser dans l'esprit aucune ambiguïté, et il parait nécessaire de scruter de plus prés l'une des notions fondamentales qu'on rencontre au début de la théorie.
La force élastique» définie comme elle Ta^été plus haut, est évidemment une certaine résultante des actions que les dernières parties du corps cristallin exercent mutuellement les unes sur les auti*es. Or on a vu qu'un corps cristallisé est nécessairement constitué par des molé-^ cules identiques entre elles et groupées de manière que les centres de gravité ou des points analogues quelconques de ces molécules forment un système réticulaire. Chaque molécule est formée à son tour d'un nombre fini ou infini de petites portions de matière qui peuvent ne pas être identiques entre elles, dont on peut toujours supposer les dimensions assez petites pour pouvoir être négligées, et que nous appellerons les atomes.
Lorsque le corps est en équilibre, il y a équilibre entre les centres de gravité des molécules, et il y a aussi équilibre dans Tintérieur de chaque molécule, entre les atomes qui la composent. 11 faut ajouter que les centres de gravité des molécules sont nécessairement immobiles, car il serait impossible d'imaginer pour un point un mode vibratoire qui conservât au système réticulaire la symétrie accusée par les phénomènes de la cristallisation. On ne pourrait concevoir autre chose qu'une succession rapide de vibrations dans tous les sens qui annulerait llnfluence de la symétrie de la molécule et ferait disparaître la cause même de la symétrie du réseau. Les atomes, dans l'intérieur de la molécule, peuvent au contraire vibrer, car il suffit, pour sauvegarder la symétrie, que des atomes identiques aient des vibrations identiques suivant les différents axes et les différents pians de symétrie de même nature.
Le système réticulaire et la molécule sont séparément en équilibre, mais l'équilibre de l'un est intimement lié à celui de l'autre. On peut donc se borner à étudier l'équilibre du système réticulaire ; c*est du reste le seul que l'on puisse étudier aisément, car les forces mécaniques extérieures, au moyen desquelles nous pouvons modifier la forme d'un corps, agissent exclusivement sur le système réticulaire, et n'ont sur la molécule qu'une action indirecte dont nous ignorons entièrement le mécanisme.
L'équilibre du système réticulaire est déterminé par les actions mutuelles des nœuds de ce système ; mais ces actions mutuelles, si ofi peut encore les considérer comme s*exerçant entre deux nœuds suivant la droite qui les joint, ne peuvent plus être regardées comme fonctions de la distance seule des deux nœuds, puisque, cette distance restant constante, les actions peuvent varier par suite de la déformation des molécules dont les nœuds sont les centres de gravité.
Si on mène par un point 0 quelconque de ce milieu, un plan F qui le sépare en deux portions M et N ; on prend dans le plan F, autour de 0, une surface &)' infiniment petite, même par rapport à la distance «qui sépare deux nœuds voisins. On prend dans la partie H du milieu un nœud quelconque m et dans la partie N un nœud n tel que la ligne mn traverse Taire (ù\ Far suite des actions élastiques que met en jeu la déformation supposée du milieu, le nœud n exerce sur le nœud m une force dirigée suivant mn, et fonction de la distance mn. Si Ton joint m à tous les nœuds de N tellement placés que la ligne qui les joint à m traverse (ù\ les forces exercées par ces nœuds sur m auront une résultante qui passera par m, et dont la direction traversera a/ en un certain point jx auquel on pouiTa la supposer appliquée. Si l'on substitue successivement à m, dans la construction précédente, tous les nœuds de M, susceptibles d*être sollicités par les actions émanant des nœuds de N, toutes les résultantes appliquées en on' viendront se couper en des points infiniment peu distants les uns des autres, et pourront être considérées comme donnant une résultante unique R appliquée en &)'. Si Ton prend tout autour de &>' des aires égales, chacune de ces aires pourra être considérée comme sollicitée par une résultante égale et parallèle à R. Si donc on prend une aire o infiniment petite au point de vue physique, mais très grande par rapport à&)', chacun des éléments d/ de cette surface est sollicité par une force R, et Taire totale (ù pourra être considérée comme sollicitée par une résultante parallèle à R, et dont la grandeur contient autant de fois R que &> renferme de fois (ù\ c'est-à-dire que (a est sollicité par une force représentée par «F, F étant une certaine force fictive qui serait appliquée sur l'unité de surface du point F, au point 0 autour duquel a été tracée Taire gj.
Si Ton prend sur une normale au plan F menée en 0 une longueur représentant &>, et si Ton prend sur la direction de la résuhante (ùY une longueur proportionnelle à F, ces deux longueurs sont bien, comme il a été déjà dit plus haut, dans les relations réciproques auxquelles s'applique la théorie générale du chapitre 1. On se trouve d'ailleui^ dans
CHAP. n. - ÉLASTICITÉ. 29
le cas de l'égalité symétrique, car, en vertu de Tégalité de l'action et de la réaction, les actioi^ moléculaires, dont la force (ùF est la résultante sont égales et contraires suivant les deux directions opposées d'une même droite.
Les équations (3') du chapitre I donnent immédiatement, en y remplaçant, pour éviter la confusion, ^, Q/y (?' par X, Y, Z et les
9& ei."^ par N et T :
:m'T^-hn'Nj^-f-p'T^, m'Ty+n'T^+p'N,.
X, Y, Z sont les composantes de la force élastique F qui s'exerce sur le plan dont la normale fait avec les axes des angles ayant respectivement pour cosinus m\ n\ p'; N^, T«, T^ son<t les composantes, suivant les axes coordonnés des x, y, z de la force élastique qui s'exerce sur le plan des yz normal aux x; Tj, Ny, Tx sont les composantes de la force élastique qui s'exerce sur le plan des ;sx normal aux y; Ty, T^, N^ sont les composantes de la force élastique qui s'exerce sur le plan des xy normal aux z. .
L'égalité du cocflicient de n'idans X, et du coefficient de m' dans Y, montre que la composante suivant les y de la force élastique qui s'exerce sur le plan npimal aux x, est égale à la composante suivant les x de la force élastique qui s'exerce sur le plan normal aux y.
On démontrerait directement ce théorème en isolant dans le corps un petit prisme dont les arêtes dx, dy, dz seraient parallèles aux axes coordonnés. Ce prisme (fig. 5) est en équilibre sous l'action de forces élastiques qui s'exercent sur ses faces, et, autour de Taxe des 2, il est sollicité à tourner par deux
couples, l'un ayant pour bras de levier dy^ et pour force dx dz T^,, l'autre ayant pour bras de levier ctr, et pour force dy dz T,y ; l'équilibre exige donc :
dy.dxdz t = dx.dijdz T^ ,
ou :
Fig. 5.
UeUipsoïde d*élasticUé étant rapporté à ses axes, a pour équation
en appelant A, B, G les composantes normales des forces élastiques qui s'exercent sur les plans perpendiculaires aux axes de l'ellipsoïde.
On sait (voir pages 14 et suiv.) comment, au moyen de la surface principale dont Téquation est :
on peut déterminer le plan sur lequel s*exerce une force élastique de direction donnée ou réciproquement. Loi*sque A, B, G sont de même signe, c'est-à-dire lorsque les plans perpendiculaires aux axes de rellipsoîde, subissent des pressions normales de même sens, ou lorsque ces plans sont tous tirés ou tous pressés, la surface principale est un ellipsoïde. Dans le cas contraire ce sont deux hyperboloîdes conjugués. Les plans tangents au cône asymptotique commun à ces deux hyperboloîdes sont des plans sur lesquels ne s'exerce aucune composante normale.
Pour les composantes des forces élastiques qui s'exercent sur les trois plans d'un triédre trirectangle dont les directions des aréles sont désignées respectivement par Ç, yj, ç, les formules (4) et (5) du chapitre I (page 8) donnent immédiatement :
^ ^ Ç j +2m^ nç T^ + 2mç p^ T^ H- 2nç p^ T^.
(5) T^ = ( -^n^n^\+ + ("»« PÇ + ^l P^) T^
g III. — RELATIONS ENTRE LES FOKCES ÉLASTIQUES ET U DÉFORMATION
C«ieflicieiits élastiques. — On isole, par la pensée, dans l'intérieur du milieu, un petit prisme rectangle dont les arêtes infiniment petites dxy dy, dz sont, avant la déformation, parallèles aux axes coordonnés. Sur chaque face du prisme déformé on peut supposer appliquées les forces élastiques correspondantes sous l'action desquelles le prisme estenéqui-*
aiAP. lï. - ÉUSTICITÉ. 51
libre. La déformation du prisme est comiue si l'on donne les longueurs très petites ix^ ^yy ^z qui représentent les dilatations de Tunité de longueur suivant les axes coordonnés, et les angles très petits a^, a^, a^ dont ont varié les dièdres ayant eLr, dy^ dz pour arêtes respectives, pourvu qu*on y ajoute la petite rotation qu*il faut donner au milieu tout entier pour amener les axes de Tellipsoïde de déformation en contact avec leurs droites correspondantes.
Ce dernier mouvement de rotation laissant aux molécules du corps leurs positions relatives ne développe aucune force élastique. On peut donc, lorsqu'il s'agit de déduire les forces élastiques de la déformation qui les engendre, négliger ce mouvement de rotation et considérer la
déformation comme complètement définie par les $ et les a.
Si l'on ne considère que des déformations suffisamment petites, on peut regarder les forces élastiques comme proportionnelles à la déformation, et l'expression de chaque composante de la force élastique comme composée de 6 termes dont chacun est formé d'un facteur, constant, ou ne dépendant que de la configuration du milieu au point
considéré, qui multiplie une des 6 quantités ^xt ^yy ^zt oc^, ay^ a^. Pour la symétrie des formules, on convient d'appeler :
Aj. le coefficient de q^ dans N^,
Byx
ly
etc.
Cjp, D^, F^ les coefficients respectifs de a^, a , a^ dans N^, C,.D^,F, - - - N,
C'^, C , C, les coefficieiils respectifs de S^, 3 8, dans T^
fS^g le coefficient de a, dans T^
tS^\ le coefficient de a. dans T,
etc.
Les forces élastiques qui s'exercent sur tous les plans passant par Torigine des coordonnées étant connues lorsqu*oit donne les 6 composantes N^, Ny, N^, T^, T , T^, et Texpression de chacune de c^s composantes contenant 6 coefficients, il faudra, dans le cas général, donner 36 coefficients pour qu'on puisse déduire les forces élastiques de la déformation qui les engendre.
Rédaction de* SB coefflciciits élastiquen A *i. — Mais OU peut '
faire voir, avec Green, qu*il n*y a, en réalité, que 21 coefficients .distincts au plus.
Les forces élastiques qui s*exercent sur les faces d'un petit prisme rectangle dont les arétes; parallèles aux axes coordonnés, sont égales à dx, dy, dzy ont produit, pendant une déformation très petite, un certain travail mécanique. 11 est facile d*en trouver Taccroissement différentiel. En effet, à une variation </x£{Sc de la distance des deux faces du prisme sur lesquelles s'exerce la pression normale dydz^^, correspond un travail dxdydzî^ (^ =xJN (^ , en désignant par d le volume du
prisme. A une rotation angulaire d (u) du plan zx autour de Taxe des x^
correspond un déplacement dzdQ)^ du point d'application, une force
àxdyl^^ et par conséquent \xn\TdiSd\\[dzdxdyl dy =^1 d1^ .
De même à un déplacement angulaire dl^ du plan zy correspond un
travail xS T d'^ , et la somme de ces travaux est égale à x;^ T Id'^
L'expression de l'accroissement différentiel du travail, rapporté à Vunilé de volume ^ est donc :
£/<î) = N dl -h>' dl -hN </$ -f-T a -f-T dd +T rfa . XX y y z z XX y y z %
Mais le travail total ^ dont d ^ est la différentielle ne peut être fonc^ tion que des $ et des a, c'est-à-dire qu'il dépend uniquement de
CUAP. n. - ËLASTiaTÉ. 53
de l'élat initial et de l*èlat final du corps, et qu'il est indépendant des états intermédiaires. 11 est facile de le démontrer. On suppose que pendant la déformation le corps reste toujours en
Fig. 6.
équilibre sous l'action antagoniste des forces extérieures et intérieures, et qu'en outre la température reste constante grâce à la présence d'un corps étranger qui fournit en entier à chaque instant la chaleur absorbée ou produite par la variation d'énergie intérieure. En passant de Fétat initial indiqué par l'indice 0 à l'état fmal indiqué par l'indice t , on a développé une quantité de travail égale à x;i(<l»i — $o) (x^ étant le volume du corps), et on a recueilli une quantité de chaleur égale à la diiTérencexïi (U^ — Uo) des énergies intérieures initiale et finale du corps. Si Ton ramène le corps à l'état initial en le faisant passer par une série de transformations différentes de celle qui a été réalisée d'abord, on devra fournir une quantité de chaleur précisément égala à xj (D^ — Uq), car l'énergie intérieure du corps ne dépend que de son organisation interne et de sa température. Quant au travail recueilli, il ne serait pas égal au travail dépensé dans la première série de déformations, si 4»i — 4»o n^ dépendait pas uniquement des états initial et final; mais celte hypothèse est inadmissible, car si elle était exacte, on aurait, à la suite des deux séries inverses de déformations qui ramènent toutes choses à l'état initial, créé ou détruit du travail, ce qui est impossible.
On déduit de ce théorème que, dans l'expression de d$, les N et les T sont les dérivées partielles du premier ordre par rapport aux i et aux a d'une même fonction $. Les 36 coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont ainsi les dérivées partielles du second ordre, par rapport aux i et aux a, de cette fonction ^. Il y a donc, entre ces 36 coefficients, des relations du genre de celle-ci :
CRISTALLOGRAPHIB. T. H. 3
-=—=-= -P-j-. Le nombre de ces relations est égal à celui des combidxdy dydx ®
naisons deux à deux de six quantités» c'est-à-dire à quinze. Les 36 coefficients se réduisent donc à 21 coefficients distincts au plus.
Il est aisé, d'après ce qui précède, de former les expressions définitives des N et des T. On a en effet :
et par conséquent
^xy = V-
On aura évidemment de même :
Kz = ^»x «^ ^yi^^zy-
On a encore :
et par conséquent :
Cx = C',
On démontrerait de même que
On a enfin :
da^day ^
et par conséquent
xy yx
On démontrerait de même que
^ =c^ et ^ ==^^ .
Xi ^^ XX y% — ^^ ty
CHAP. n. - ÉLASTICITÉ. 35
Si Ton convient, pour abréger l'écriture, de représenter B par B ,
xz par à&y^ etc., les expressions définitives des Net des T seront en résumé :
^=BA + A^5yH-BA+ V,+ D^a^H- F^a, N.= Byax+B,ay-hA,5,H- C,a^H- D,a^H- F,8,
T, = FA+Fyaj, + F,8,+ ^ya,H- ci^^cOy + c?é,a..
Les coefficients A sont quelquefois appelés élasticités directes où
longitudinales ; les B élasticités latérales^ les c5^ élasticités tangentielles ou de rigidité; les autres sont les élasticités asymétriques.
Les six lignes horizontales et les six lignes verticales du tableau formé par les seconds membres de ces équations sont respectivement identiques. 11 en résulte évidemment que si Ton forme la somme
8,rfN,-»-8yrfNy + 8arfN,+a^dT,H-etc...,
le coefficient ded^^, qui est la première ligne verticale du tableau, est égal à N^. On a donc :
d^=:}i^djc -¥■ .... =:ixd^x+^yd^j^+. . . .
On en déduit encore :
2d^=d(N^8,) + rf(Ny3y)4- + rf(Ta:a*) +
et par conséquent en appelant ^^ le travail total produit par la déformation et rapporté à l'unité de volume,
2^i=2N*8x -f-ST^V
If^male* «Tiiibtillqaes donnaat les expressIoDS des N et T. —
On peut donner aux expressions des N et T une forme symbolique remai^-
quable, en employant un système de notations analogue à celui dont on a fait usage pages 9 et 24. On pose les expressions symboliques
N, = ;'x«=PxPx» T, = Pya = PyPa»
Pç = '"ÇPx^-"5Pu + PîfPa'
analogues à celles de la page 9 ; on remplace les ^ et les a par les symboles de la page 24, et on convient de désigner par a le coef*
flcient de d ou - a^ dans P^ ou T^; en convenant toujours que l'on
aura l'expression symbolique
xyyx X y y "•»
Les expressions (6) peuvent être alors remplacées par la formule générale :
Pxy=^xy[^xx^xx'^^yy^yy+ + "^^ xy dxy "^ )
formule dans laquelle a; et y sont des coordonnées quelconques qui peuvent être identiques, et dans laquelle il est permis d'inverser les deux facteurs. On remarquera que le deuxième facteur est constant, quel que soit p . Si l'on pose d'une manière générale
P«=M^*^*+"y^y +«»''»)' on pourra encore écrire :
Pxy — PxPy •
Si l'on applique ces formules à une coordonnée prise par rapport à des axes rectangulaires quelconques (i n^ C> on aura :
pç=aç(açe/j+ J, PÇr=PçPïi-
On se propose maintenant de chercher les coefficients a, qui conviennent aux axes S» vi» C^ quand on connaît ceux qui conviennent aux axes x^ y, x. Pour y arriver, dans l'expression :
déduite de la formule de la page 9, en remplaçant ^ par p, on remplace pg^ Pf, ptf par leurs valeurs en dg, cfy, if«, on a :
ormule qui s'identifie avec la valeur précédente de p^, si Ton pose
c'est-à-dire si Ton admet que a^ est la projection sur l'axe S de la force
symbolique a, dont les composantes sont a,, a,, a«. Le second facteur du deuxième membre devient alors en effet, dans les deux équations, le travail de la force a correspondant au déplacement symbolique d dont les projections sont dg, d^, dg.
La formule générale de transformation cherchée est donc
dans le deuxième membre de laquelle il faut remplacer les expressions Oj^f 0, par leurs valeurs symboliques en a«, a,, etc.
Forées élaatlqaee dans les mUlenx qui peeeédeat des éléments
de symétrie. — Quelle que soit la nature des éléments de symétrie qui se rencontrent dans la structure du milieu considéré, on ne peut rien en déduire touchant la position ou la grandeur relative des axes des ellipsoïdes de déformation ou d'élasticité. En effet, les d et les a, les N et les T ne dépendent pas seulement de 1a nature du milieu, mais encore des causes extérieures, plus ou moins dissymétriques, qui déforment le corps et mettent en jeu son élasticité.
Les coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont au contraire indépendants des 9 et des a* et ne dépendent que de la nature du milieu; ils doivent donc être affectés par la symétrie de celui-ci.
Plan de symétrie. — Système binaire. — Supposons, par exemple, qu'il y ait dans le milieu un plan de symétrie perpendiculaire à l'axe des z. Si l'on imagine une déformation telle que l'ellipsoïde de déformation ait l'axe des z pour l'un de ses axes, on aura a, = 0, a^ = 0. Le plan des zy étant de symétrie pour l'ellipsoïde de déformation et pour le milieu, on se trouve ramené au cas examiné dans le chapitre I,
et reliipsoîde d'élasticité admettra le même plan de symétrie. On doit donc avoir, dans ce cas particulier, 1^=0 et Ty=:0. Donc, pour traduire dans les expressions Texistence d'un plan de symétrie perpendiculaire aux 2, il est nécessaire et suffisant de faire en sorte que ces expressions donnent Tx= 0 et Ty = 0 pour ax= 0 et «y = 0. Cette condition revient à égalei* à zéro les coefficients des quantités autres que a^ et «y dans les expressions de T^ et Ty. .Les expressions des forces élastiques se transforment donc comme suit :
N«=Ax5a:4-B,îy4-By8, -hF,a,, Ny = B, ^g. 4- Ay 3y -I- l^x^z "H Fy a* , N, = Byî,H-Ba:8y 4-A,3a-hF,a,,
\= (0zax+tPê?y(iy,
T,= F,5,-f-Fy8y4-F,84-c^,aa.
Ces équations qui conviennent aux corps cristallisés dans le système binaire, ne contiennent plus que treize coefficients distincts.
Système terbinaire, — Lorsque le corps appartient au système terbinaire, il faut modifier les expressions (7) de manière que pour
«e, ss 0 et «,= 0, on ait Tx= 0 et T, = 0, ce qui donne :
K = A, 8x 4- B, îy 4- By 8, , T, = t9ê?x xi
(8) \ Ny = B, 5^ 4- Ay 8y + B, 8, , Ty = ^\j Oy ,
N, = By 8x 4- B, 8y + A, 8, , T, =cP^. a, ,
Il n'y a plus que n^/* coefficients distincts.
Systèmes sénaire^ ternaire et quadratique. — Lorsque le milieu appartient à Tun de ces systèmes, si l'ellipsoïde de déformation est de révolution autour de Taxe principal (que l'on peut supposer être celui des 2), l'ellipsoïde d'élasticité sera aussi de révolution autour du même axe ; en d'autres termes, les choses se passeront comme si tous les plans passant par l'axe des z étaient des plans de symétrie du milieu ; les formules des N et des T seront donc de même forme dans les trois systèmes cristallins. Il suffit de les obtenir pour le cas du système quadratique» par exemple.
Poar y parvenir on remarque d*abord, dans le but de simplifier les calculs ultérieurs, que si Taxe quadratique est dirigé suivant l'axe des s, et si deux axes binaires de même espèce sont dirigés suivant les axes des X et des y y tout doit rester identique, dans les expressions (8), lorsqu'on permute
8x et ly y «x et Oy , Nx et Ny
On en déduit :
(9) A^=Ay, B^ = By et fSé^=^^y.
Les trois relations ainsi obtenues sont nécessaires, mais ne suffisent pas pour exprimer que le milieu possède la symétrie du système quadratique. On s'est en effet borné à écrire que lorsque d^ = i^ et oi^=ia^j on a N« = Ny et 1^ = 1^, mais cette condition peut être remplie sans qu'il existe nécessairement des plans de symétrie bissecteurs des plans zy et zx*
Pour traduire complètement la symétrie du corps, on change d'axes coordonnés en conservant l'axe des 2, prenant pour axe des Ç la bissectrice de l'angle â!:2(, et pour axe des i^ celle de l'angle xy> Les expressions des nouveaux N et T auront les mêmes formes que celles des expressions (8) modifiées parles relations (9).
On aura ainsi :
Nç = Aç 8ç H- Bç 8^ + Bç 8r« Les formules (2) donnent
8,=:2(^« + ^y — *0' Ces valeurs, transportées dans Nç, donnent :
^l = — 2 — ox + — 2 — 8y 4- Bç 8, H g — Os-
On peut avoir une autre expression de Nç, caries formules (4) donnent:
Nî=5(N, + N, + 2T,),
et par conséquent :
N| = — 2 — Sx + —g— oj, + B, 0^ + cP&,a,. En identifiant les deux expressions de N^, on trouve t .
A5 = .A^. B, = B,. .9^,= <(Ar^Bj). et par conséquent :
Des calculs analogues faits avec les expressions des autres N et T ne donneraient aucune relation nouvelle. Les expressions des N et T, lorsque l'axe des z est un axe de symétrie principal, sont donc :
INx = Ax îx + B, 5y + Bx 3., T^ = dPê?^ a^.
Ny = B. ^x + A, Sj, 4- B^ S.. Ty =cP€^, oy.
avec cinq coefficients distincts.
Système cubique. — Pour passer.au système cubique, il suffira d*écrire que la forme des expressions (10) est la même suivant les axes des Xj des y et des z^ ce qui conduit aux relations :
Les expressions des N et des T deviennent donc, en supprimant les indices devenus inutiles,
N,=:A5,4-B(3y + 8J T^=^(A-B)ax-
(i4)(Ny = A5, + B{3, + 3j Ty=^(A-B)a,
N, = AS, -H B (3^ + 3y) T, =5(A - B) a,
avec deux coefficients distincts seulement. On a souvent à s*occuper, dans la physique mathématique, des corps
CllAP. H.-~ ÉLASTICITÉ. 41
isotropes tels que le verre, dont les propriétés sont identiques suivant toutes les 'directions. La structure des corps isotropes peut être comparée à celle d*un tas de poussière formé de grains polyédriques très petits et identiques entre eux. Trois directions rectangulaires quel conques pourront, dans un semblable milieu, être regardés comme des axes quaternaires, puisque le milieu, quelle qu'en soit la position dans l'espace, est toujours identique à lui-même. Si l'on fait en sorte que l'ellipsoïde de déformation soit une sphère, l'ellipsoïde d'élasticité en sera une aussi. Les formules des N et des T seront donc les mêmes pour les milieux isotropes que pour les solides cristallisant dans le système cubique.
Co«fiacleDts éiaatiqoea inverses. — Des expressions linéaires des N et T en fonction des i et des a, on peut déduire des équations, linéaires aussi, et donnant les i et les x en fonction des N et des T. On obtient ainsi 56 nouveaux coefficients qui se tireraient des 21 anciens. Les relations de la page 55 montrent d'ailleurs que les i et les T sont
les coefticients différentiels de la différentielle de ^ considérée comme fonction des N et des T. On réduirait donc à 21 les 56 nouveaux coefficients accentués par des équations entièrement analogues à celles qui ont réduit à 21 les 56 coefficients non accentués.
Pour écrire aisément les expressions qui donnent les 3 et les a en fonction des N et T, nous conviendrons de changer, dans les expressions (6) qui donnent les N et T en fonction des $ et des a, N en ^, T en a, et réciproquement, en accentuant les coefficients. Nous appellerons ces coefficients accentués, coefficients élastiques inverses^ en réservant la dénomination de directs aux coefficients non accentués.
Formoles sjmbollqaes exprlmamt les coefflcients élastiques
directs on Inverses. — Quant aux formules qui serviront à trouver les
coefficients inverses A' B'... cK:' > éo correspondant à un certain système de coordonnées quand on connaît ceux qui correspondent à im autre, on peut encore se servir des formules symboliques de la page 57.
mais avec quelques modifications. En effet, les formules
^j "' ^'x Nr+ . . . 4- r/^ T^ H- . . .
ne peuvent être mises sous la même forme que les équations (6)l, qu*en substituant aux C des coefficients C tels que
Les- formules :
Oy, = 28y, = C'^ N^ H- . . . + c5^'x T, + ^', Tv 4- . . .
ou
8y,= T^^-^ " '-^ f^^''xT, + | J^',Ty+ . ..
=C\ N, + . . . -h Jo^é, T^ + ir^', r + . . .
ne peuvent être mises sous la même forme que les précédentes qu'en prenant
Les formules symboliques de transformation donneront les C'', D", F'',
Ç-^ , cS ; il faudra donc, pour employer les formules, diviser par 2 les
C, D', F' et par 4 les 'S^' et M qui y entrent ; puis doubler les C. D',
F' et quadrupler les ^S^ et dIS donnés par les formules.
11 résulte ainsi de ce qui précède, que les simplifications provenant de la symétrie du corps, seront identiques avec celles qu*on a déjà
trouvées pour les A, B, 6^9 SS^ etc.; mais en tenant compte des changements qui viennent d*étre reconnu nécessaires. C*est ainsi que lors* que Taxe des z est un axe de symélrie principal, les formules de changement d'axes ont donné l'expression
qui se transformera, changeant cP&, en- c-Pc^,, en
cP^', = 2(a',-^B'J.
Nous désignerons dorénavant les expressions qui, dans chaque cas de symétrie particulière, donnent les ^ et a en fonction des N et T, par les mêmes numéros que ceux qui désignent les expressions^correspon--
CHAP. n. — ÊLASTIOTÉ. 45
dantes donnant les N et T en fonction des d et des a, mais enaecentuant
ces numéros.
g 4. ÉQUILIBRE D'ËUSTICITÉ.
i^vatloDS exprlniABt l'éqvlllbre d'élasticité. — Pour appliquer la
théorie qui précède, il faut pouvoir résoudre le problème suivant : Un corps étant en équilibre sous l'action des forces élastiques intérieures et d'un système donné de forces extérieures, trouver la déformation du corps, ou réciproquement. 11 est aisé de poser les équations difTérentielles qui résolvent le problème.
Soit un petit prisme dont 3 arêtes, coïncidant avec les axes coordonnés, sont égales à dx, dy, dz. La face coïncidant avec le plan des yz est sollicitée par une force élastique qui, appliquée à la surface dont l'aire est dydz^ a pour composantes :
f^^dydz, f/iydx, T^ydx.
La face parallèle est sollicitée par une force dont les composantes sont :
Quant à la force non moléculaire qui agit sur le petit parallélipipède, on peut la supposer proportionnelle au volume dxdydz = dvj et nous appellerons ses composantes Xo, Yo, Zo; l'équilibre du prisme exige que la somme des projections des forces sur Taxe des x soit nulle. On trouve ainsi la première des équations suivantes, dont les deux autres s'obtiennent par des considérations analogues en remplaçant successi* vement l'axe des x par ceux des y et des z :
dN, dT, dT„
,,^, , dl^ dN„ dT-
dx dy dz
Ces équations, qui doivent être satisfaites en tous les points du corps en équilibre d'élasticité, sont les équations indéfinies d'équilibre auxquelles doivent satisfaire les fonctions N et T.
Les forces Xo, Y^» Z^ agissant en tous les points du corps et qui sont le plus habituellement celles de la pesanteur, sont généralement abstraiteg^ c*est'à-dire qu'on ne compte la déformation qu*à partir de celle qu'ont produite les forces XofYoZ^ que Ton peut alors supposer nulles.
Ces équations, dans lesquelles n*entrent pas les forces réellement extérieures, appliquées à la surface du corps, et qui le déforment en le tirant, en le comprimant ou en le tordant, ne suffisent évidemment pas pour résoudre le problème; il faut y ajouter d'autres équations dites définies^ parce qu'elles ne s'appliquent qu'à des points particuliers du corps.
Si l'on prend d'une manière générale une portion flnie du corps, pour laquelle on connaît les forces qui agissent en chaque point de la sur* face, il faudra écrire que la force extérieure appliquée en un certain
point de la surface sur un élément &> de cette surface, fait équilibre aux forces intérieures qui agissent intérieurement sur cette même surface. Si X, Y, Z sont les composantes de la force élastique F et XpYpZp les composantes de la force extérieure F^, rapportée à l'unité de surface, l'équilibre exige que les équations suivantes soient satisfaites :
X=m'N,H-n'T,4-pTj^ = X„
{U) ^Y=m'T, + n'Ny-i-pT', = Yi.
Z=mTy -h ni, + p'iN, = Z, ;
équations auxquelles il faudra en ajouter trois autres exprimant que la somme des moments des forces extérieures prises par rapport à 3 axes rectangulaires est égale à la somme des moments des forces intérieures.
Lorsqu'on donne la déformation, il est très facile d'obtenir les forces extérieures qui peuvent la produire, puisqu'on déduit les forces intérieures de la déformation au moyen des équations (7), et les forces extérieures des forces intérieures au moyen des équations précédentes. Le problème est plus complexe dans le cas,qui est presque toujours celui de la pratique, où l'on se donne les forces extérieures et où il s'agit de remonter à la déformation. On ne connaît pas alors de moyen de résoudre la question d'une manière générale, et l'on ne peut qu'employer une méthode de tâtonnements dans chaque cas particulier. Celte méthode consiste à essayer de satisfaire aux équations par une déformation que certaines considérations font considérer comme vraisemblable; la déformation est bien celle que l'on cherche, si, combinée avec les forces
CQâP. II. — ËLASTICITË. 45
extérieures données, elle vérifie les équations de l'équilibre élastique.
Cas d*aae tractIoD oo d*ane preanlon. CoefBelenUi d'élaatleité
loBffitndimiie. — On appliquera d*abord cette théorie au cas simple d'un corps homogène quelconque, de forme prismatique, sollicité sur ses bases par une force normale (pression ou traction) égale à p par unité de surface. On rapporte le corps à 3 axes rectangulaires x^ y^ Zf dont Tun z est parallèle à Taxe du prisme.
Il est aisé de voir qu*on a partout :
T, = 0 Ty = 0 T, = 0, d*où Ton tire :
*x = pB'y ^y=pB', *, = pB',
En effet, les valeurs de N et de T satisfont évidemment aux équations (13) lorsqu'on y abstrait X^, Y^, Z^, et aux équations (14). Les i et
les a satisfont également aux équations (3) et (4), puisque toutes les dérivées sont nulles.
Si Ton observe avec précision la dilatation d[ du prisme, ou le rap*
port de rallongement de ce prisme à sa longueur; si l'on mesure en outre le rapport p qui existe entre le poids qui sollicite le prisme et Taire de la section droite, [on aura :
On a donc ainsi le moyen de déterminer expérimentalement le coefificlent A'^ correspondant à une direction z arbitrairement choisie*
L'inverse de ce coefficient est désigné ordinairement dans la théorie de la résistance des matériaux sous le nom de module de Vëlasticiti longitudinale; on le désigne par E,.
Si l'on prend dans le corps 3 axes rectangulaires fixes, Ç, y}, C, la formule symbolique connue donnera immédiatement l'expression de A'^
en fonction des coefficients qui se rapportent aux axes (, m^ Ç. On trouve ainsi t
m*A'ç4-p«n«(2B'ç-HP^'ç)-l-2iipm«(C'ç-».^'ç) +2np(n«C', +^«0^) A'^= /4-n^A'ç+m«p«(2B',4-çi^',) +2mp««(I>',4-^',) +2iiip(m«D'ç+.p«D'ç)
en effaçant les indices des m, n, p, qui seraient tous ;*.
lies 15 coefflcients distincts de cette expression pourront être calculés au moyen de 15 observations de A', suivant 15 directions différentes. Il
sera impossible de déduire d'observations semblables les 21 coefficients distincts des expressions (6). On ne pourra les obtenir qu*en ajoutant aux expériences d'allongement des expériences de torsion. Aux expériences d'allongement nécessaires pour déterminer A'^ ou
n-* on a essayé de substituer des expériences de flexion bien plus corn-
modes, parce que, en diminuant suffisamment Tépaisseur de la lame
fléchie et augmentant sa longueur, on peut f ■ — i* produire des flèches assez grandes pour
A être mesurées avec précision. 11 sulfit de À\ . ^ placer la lame sur le tranchant de deux P^^ 7 couteaux Z et V (fig. 5), de charger la
lame en son milieu d*un poids porté par l'intermédiaire d*un autre couteau A, et de mesurer avec un microscope la quantité dont A s'abaisse.
Avec des solides isotropes, ou a en effet :
. Pi* '■"iSE,!*
en appelant f la flèche, / l'écartement des deux appuis sur lesquels la lame est posée, P le poids dont la lame est chargée en son milieu, I le moment d'inertie de la section autour d'une certaine ligne qui, lorsque la lame a pour section droite un rectangle, peut être regardée comme
* Il est aisé de voir que si Ton prend sur chaque direction C une longueur égale à iT= =a ^Es, on pourra remplacer dans l'expression de A' , m, n« p par 57=, i^t
n=, '« y, s représentent les coordonnées de l'extrémité du rayon vecteur. La surfaoe ainsi obtenue est du 4* degrés
CHAP. II. — ÉIASTiaTÉ. 47
coïncidant avec une parallèle au côté du rectangle reposant sur les
bh* appuis. Dans ce cas» on a I=-t3» et la formule devient:
48 £ bh^
Malheureusement cette formule ne s'applique qu'aux corps isotropes ou cubiques; pour les autres corps cristallisés, on n*a pas encore pu établir, si ce n*est dans des cas particuliers, la formule qui lie la flèche aux dimensions du prisme et aux constantes élastiques.
Il faut donc, pour déterminer les constantes élastiques des cristaux, mesurer directement rallongement ou le raccourcissement qu 'éprouve, sous l'action d'une force connue, un prisme de longueur et de section données, découpé dans le cristal suivant pne direction cristallographiquement connue. La difûcultè provient de l'extrême petitesse de la longueur à mesurer; mais on pourrait sans doute, comme l'a depuis longtemps indiqué H. Cornu, surmonter cette difficulté en ayant recours à la belle méthode d'observation imaginée par M. Fizeau et appliquée par lui à la mesure des dilatations thermiques des corps cristallisés; nous la décrirons plus loin.
Cas d'oDe prensloD BDlffonne Mir tontes les faces. — - Il est
intéressant d'examiner le cas d'un corps que presse uniformément sur sa surface une pression égale à p par unité de surface. Il est aisé de voir qu'on a alors dans tout le corps :
On aura donc :
*, = -(«'. +A'y 'hK)P *, = -(D'x + D'y +D', ) p **= -(^ + «x + ^\)P «z = - (K + F'y +F'. ) P-
Si le corps a la forme d'un cube dont les arêtes soit parallèles à ^, y, 2;^x« ^i* iy seront les dilatations des arêtes, a^» a„» a, les rétrécissements des angles dièdres de ce cube. Les a seront tous nuls ^ les axes coordonnés sont des axes de symétrie.
Cas d*ini corps cjlliidriqae solUelcé * la torsion» — Les phénomènes d'extension, de compression ou de flexion ne pouvant suffire à
déterminer tous les coefficients qui définissent les propriétés élastiques d*un corps donné, et cette détermination exigeant le concours des phénomènes de torsion, il est nécessaire d'étudier ceux-ci avec soin.
On suppose un corps prismatique ou cylindrique, sollicité extérieurement sur l'une des bases par un couple de forces dont le moment est H, et sur l'autre base par un couple égal et contraire, qui peut être remplacé par la réaction duc à l'encastrement de cette base. On prend l'axe du prisme pour axe des 2, et pour axes des x et des y deux droites rectangulaires quelconques situées dans la base encastrée.
Si l'on suppose dans tout le corps : 1
les équations indéfinies (13) sont satisfaites si l'on a:
Les équations définies à la surface, dans lesquelles on peut faire X0=:O, T^=0, Z^=0 en négligeant le poids dii prisme, le sont aussi,
à condition qu'on ait
•p étant tiré de l'équation en x^ y du contour de la section. En effet,
les forces extérieures agissant sur la base peuvent être remplacées par des forces égales, /*, agissant tangentiellement en chaque point du contour. L'équilibre d'un élément infiniment petit de la base pris sur le contour, et pour lequel m' = 0, w'=0, />'=!, exige, en vertu des équations (14),
T„ — Xi, T — Yj,
d'où l'on tire :
Ix Y, dy
Ty-X,- dx'
Quant à la déformation, la nullité de T^ et des trois N montre que les d et les a sont fonctions linéaires de T^ et T . En différentiant par
rapport à «, on aura donc, à cause de -p — 0, -^-« = 0, et d'une ma-
CHiP. U. — ÉLASTIQTÉ. 40
niëre générale,
dz ^' dz ^*
équations dans lesquelles on peut mettre à ^ et a un quelconque des indices or, y, z.
Les équations (3) donnent donc :
équations satisfaites lorsque T^ et T^ et par conséquent les a et les d
sont fonctions linéaires de x et de y. Les équations (4) donnent :
dy \dy dx J 0 = 0,
équations satisfaites, lorsque Ton pose :
dx dy '
30 étant une certaine constante.
La condition que T^ et T soient des fonctions linéaires de a: et de y exige d*ailleurs que le contour soit une ellipse, car si Ton remplace T, et Ty par ces fonctions linéaires dans l'équation Tjix'-T^dy=iO,
cette équation, intégrable en vertu de Téquation - *'= — -j— , donne
par rintégration une équation du deuxième degré qui ne peut être que celle d'une courbe fermée et par conséquent d'une ellipse. Dans les expressions de T et T en x et y, il ne doit point entrer
d'ailleurs de constante, si Ton admet qu*à lorigine des coordonnées les à et les a sont nuls.
On peut donc poser :
T^ = gx-hhy, T^ =/i'x-f^y.
ou, en vertu de
rfT dT
-T^ -f- -r^ = 0, c'est-à-dire A = — A', ay dx
T, = (jfx + h, Ty =^hx 4- g y.
L*équation de l'ellipse qui forme le contour de la section est donc :
On peut toujours supposer Tellipse rapportée à ses axes, et si Ton appelle l et l' les moments principaux d'inertie on a :
\z=z i ji^d{ù=T.-^ r= j y*d(ii=zr^^f
et l'ellipse, dont les demi-axes sont a et b, aura pour équation :
Identifiant les deux équations de l'ellipse, il vient
d'où l'on tire :
T, = Ll'x, Tj, = - Lïy.
Si l'on porte dans l'équation -f — ^ = 29, on obtient :
L(l'çi:€'^+ Ici^é'j, ) = 2ô,
ou :
en posant
iê "26'
CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 51
Si Ton écrit maintenant que, dans la base, la somme des moments des forces intérieures est égale à celui des forces extérfeures, on aura :
ou:
Si Tellipse est un cercle de rayon r, on a 1 = 1 = -^, et il vient
tSS\ -f- aSé/y
Le moment M étant indépendant de Torientation des axes ;r et 2^ dans
la section, il faut que c5^ -f- cpé? soit constant, quelle que soit celte
orientation. Ceci peut donc être considéré comme la démonstration d*un théorème intéressant qu'on vérifierait aisément au moyen des formules
qui donnent c5^ et c9^ en fonction des coefGcients rapportés à des
axes fixes.
Il ne reste plus qu*à chercher la signification physique de 0, On va, pour y arriver, chercher les expressions des déplacements finis u, v, w, de chaque point de corps en fonction des x, y et z. On sait que l'on a :
ts du ^ du ^ du
On en déduit, par une intégration :
tt = ^ a^ H- nyx -h f(y,z).
On a d'ailleurs :
dx d^ d%\dx^ dyj
52 DEUXIÈME i'AKT]Ë. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,
d'où l*on déduit encore en intégrant :
On a en outre :
dv du ^ « . .
dv , du
équation qui, combinée avec la précédente, donne:
2 ~ = 205+ p^ 4- q^y + F(a:,y), 2 ~ = - 26*+ PrC-hq^-f (x.y).
En diflérentiant les expressions de v et n, on trouve :
dy dy
Ces deux équations, comparées aux deux précédentes, donnent :
Dans ravant-dernière équation, le premier membre étant indépendant de X, il doit en être de même du deuxième, ce qui entraine la condition :
F {x,y) = q^ + (p. — 2n)a;+.«Ky).
La seconde équation donnerait de même :
F {^*y) = — P«-^ + (2ni — 9,) y -f (f(x). Des deux dernières équations on obtient aisément :
et par conséquent, en intégrant :
CHAP. U. — ÉLASTiaiÉ. 55
Avec cette valeur de F {x, y), les équations qui donnent 2 ■ ' ^*
et 2 ^5^î^2i), deviennent:
dx
On en déduit par Tintégration :
f^(x,z) =z^zx + - (p, — n) x« + X, (z) .
Or on a :
. ^__</P . dw__df^{x,z) . ^^ . df^(x.y)
''i—dz'^d^—dr^^''*'^—dr'
et comme a^ est indépendant de ^, il faut que Ton ait :
-g^ + n^-O, ou
puisqu'aucune constante ne peut entrer dans l'expression des u, v, w. On trouverait, par un calcul tout à fait analogue :
X («) = — 2 *"*' • Les expressions de u et v sont donc, en définitive :
tt= 2 ^•4-nxy + 2(gi — njt/ — e«y — jmjs»,
On peut maintenant se demander quelle est la torsion subie par une ligne supposée parallèle à Taxe du cylindre avant la déformation. Soit, après la déformation, m (fig. 7) la projection d*un point quelconque
du corps sur le plan desxyt fn! la projection d'un autre point qui, avant la déformation, se trouvait sur la môme parallèle à Taxe des z que m et était séparée de celui-ci par une distance dz, L*angle m'Ont est
.jnn.
Fig. 8.
ce que Ton appellera la torsion subie par Télément dz; on le représentera par dx. Les accroissements des coordonnées x et y y en passant de m à m\ sont égaux aux accroissements du et dv correspondant à Taccroissement dz. Si Ton écrit que la surface du triangle 0mm' est égale à celle du triangle Opm! moins celle du triangle 0/>m, on aura:
Si l'on remplace |dans cette expression -r- ^^ j- P^ leurs valeurs tirées des expressions de u et de v, il vient :
et en intégrant :
p«rfT=:(/z[e(x»-f y«)-f (m^-.n^)a;],
T est Tangle (rapporté à la demi-circonférence) dont la longueur verticale z s*est tordue autour de Taxe des z. En remplaçant m, et n, par leurs valeurs, on peut écrire :
rc, y + iiv.
p*(rc5^',4- usé^)
Si la section est circulaire, on a :
C, y H- IVax
T=ez-f-6
Les points de Taxe du cylindre, pour lesquels â; = 0, y = 0, subissent les déplacements :
ils restent donc dans un plan vertical passant par Taxe des z^ et dont la trace sur le plan des xy a pour équation :
La courbe qu*afTectent les points situés sur Taxe est une parabole ayant pour équation :
p===gV^m%Tn%I*'
p étant la distance d*un point quelconque à Taxe des z.
On peut considérer le déplacement total très petit de chaque point comme étant la superposition de deux autres. L'un de ceux-ci est une translation égale et contraire à celle du centre de la section qui contient le point, c'est-à-dire exprimée par
l'autre a pour projections sur les axes, u -f- u\v -f- 1/, et w. Les premiers déplacements donnent une sorte de flexion de tout le cylindre, parallè-
lement au plan dont l'équation est y= —^ x; les autres produisent une
torsion uniforme autour de l'axe des z exprimée par l'équation :
Si l'axe des z est un axe de symétrie, on a G^== 0, D's=:0, et Taxe du cylindre reste vertical. La torsion autour de l'axe des zest exprimée par l'équation précédente. 11 est alors très facile de mesurer 6 avec exac-
titude, car il suflit de placer aux extrémités d'une môme génératrice du cylindre, de longueur /, de petits miroirs tangents au cylindre et placés en regard d'une échelle graduée. On observe, après la torsion, par la méthode de Gauss, l'angle formé par les plans des deux miroirs; cet angle divisé par / est égal à 0. Connaissant ^ et le moment H des forces qui tordent, on obtient, si le cylindre est circulaire, la valeur de
ç5^a.+ ci^y» et si le cylindre est elliptique, une relation entre ces deux
quantités. Dans ce dernier cas, il suffirait d'observer successivement avec deux cylindres elliptiques dont les grands axes seraient à angle droit par rapport aux axes cristallographiques du corps. Taxe du cylindre gardant la même direction, pour obtenir séparément ^S^x et tÇÙ^» Si le corps a trois axes de symétrie rectangulaires, l'observation de la torsion de cylindres circulaires taillés suivant la direction de chacun
des axes donnerait cP^? +c5^^, tSé\ H- <l^.» ci^\, 4-c5^,. d'où l'on déduirait facilement zS^^ > dP&> et c5^ •
Cas daos lesqaels on peut réduire * tS les Si eoefflelents
de Creen. — Le raisonnement que nous avons employé après Green pour réduire de 56 à 21 le nombre des coefficients élastiques distincts dans le cas le plus général, ne s'appuie que sur l'équation du travail, et laisse complètement indéterminé le mode d'action des centres de ravité moléculaires, auxquels on suppose le corps réduit. Si l'on supopsait négligeables les variations qui peuvent se produire, pendant la déformation, dans l'orientation et la forme de la molécule, il serait permis de considérer les centres de gravité des molécules comme exerçant, suivant une direction déterminée, des actions toujours identiques, et qui ne varient qu'avec la distance des autres centres sur lesquels elles s'exercent. Dans cette hypothèse» on démontre sans peine que les 21 coefficients de Green pourraient être réduits à 15, au moyen des 6 relations :
a z* jf y* X «'
Cette réduction, qui avait été considérée par Gauchy, dans ses premiers travaux, comme pouvant toujours être faite, est analytiquement remarquable. Elle établirait en effet une dépendance entre les coefficients qui régissent la torsion et ceux qui régissent l'extension. Des
obseiwalionsd'extension suffiraient à déterminer, si elle pouvait être opérée, toutes les constantes élastiques, et la surface du 4" degré, qui représente la variation des A ou des E, suffirait à représenter toutes les propriétés élastiques du corps.
Voici par quel raisonnement élémentaire, on peut, avec M. de Saint- Venant, démontrer l'exactitude, les hypothèses convenables étant faites, de la réduction dont il s'agit.
Soient deux molécules séparées par la distance mn.
Une dilatation d, déplace n, par rapport à m, d'une longueur niti
parallèle à 2 et exprimée par :
nn, ^8 rcos (r,«).
Un rétrécissement angulaire «^ ou a , déplace n par rapport à m, d'une longueur nn^ parallèle à 2 et égale à :
nu, = a,, rcos (r.x).
Si les actions intermoléculaires ne dépendent que de la distance^ les «ctions développées entre les molécules m, n dans la direction mn par ces deux déformations seront donc K étant une certaine constante, représentées par :
K5, rcos(r,«) et Ka^r cos (r,a:).
Si l'on cherche la force élastique exercée sur un plan quelconque que l'on désignera par ç, et la composante de cette force suivant x^ composanteque l'on désignera par P , cette composante sera la somme
qx
des projections, suivant l'axe des ^, des actions exercées entre deux molécules m et n situées de part et d'autre du plan. Tous les termes de cette somme qui contiennent j^ ont la forme : '
K8, r cos (r,2) ces (r,a:), et le coefficient de i^ dans P est
2Kr cos (r,«) cos (r,*).
On trouve de même que le coefficient de ol„ ou a^ dans P^, est
2Kr cos (r,x) cos (r,«) ; ces deux coefficients sont donc identiques.
On trouve ainsi que le coefficient de 3;^ dans V^j^ ou N^, c'est-à-dire
By, est égal au coefàcient de a^z ou Uy dans P^, ou Ty, c'est-à-dire çS^ .
Des raisonnements analogues au précédent permettraient d'établir cinq autres relations, au moyen desquelles le nombre des constantes élastiques serait réduit à 15.
Le cas hypothétique qu'on vient d'examiner n'est pas celui des corps cristallisés. Il était cependant intéressant de l'étudier» car l'écart que l'observation constatera entre les valeurs réelles des constantes et celles qu'elles auraient si les coefficients pouvaient être réduits à 15, sera en quelque sorte une mesure des variations que produisent, dans la forme et Torientation des molécules, les déformations élastiques.
Mais l'étude que nous venons de faire présente un autre genre d'intérêt, car il est aisé de voir que l'hypothèse qui lui sert de base se réalise dans les corps dits isotropes. Dans ces corps en effet l'homogénéité ne peut être conçue qu'en admettant que, suivant toutes les directions, se rencontrent en môme nombre, sur une même longueur très petite, des molécules ayant toutes les orientations possibles. Gela revient évidemment à admettre que l'orientation et la forme de la mole-, cule sont sans influence sur les propriétés physiques du corps. Dans les corps isotropes, pour lesquels l'ellipsoïde d'élasticité est nécessairement une sphérie, les 2 constantes élastiques A et B, qui restent distinctes dans les corps cristallisés à symétrie cubique, se réduisent à une seule, puisqu'on doit avoir :
ou :
Observations de M. Toigt snr l'élasCleité du sel famine. —
La science ne compte encore qu'un très petit nombre d'observations laites en vue de déterminer les constantes élastiques des cristaux. H. Yoigt^ a cependant, assez récemment, publié d'intéressantes observations sur l'élasticité du sel gemme qui cristallise dans le système cubique.
H. Yoigt a mesuré, par la méthode de la flexion, les coefficients
i. Pogg., Ann,, Erganzûngsband, t. Vil (1875-1876).
d'élasticité E correspondant à trois directions, la première c coïncidant avec un axe cubique, la seconde d, avec un axe dodécaédrique ou binaire, la troisième o, avec un axe octaédrique ou ternaire. H. Voigt a trouvé :
Ces trois nombres devraient être identiques en vertu de la théorie, on voit qu*ils dilTërent d*une manière fort notable, et que E^ est surtout très différent des deux autres. L'écart relatif entre E^ et E^ est de
plus de 20 pour 100.
Pour relier ses observati<!bs entre elles, H. Yoigt s'est servi de formules données par Neumann et qui ne diffèrent des nôtres qu'en ce que
le coefficient ^S^ est supposé indépendant de A et de B et non plus
égal à — 5 — C'est à ce résultat qu'on arrive en effet lorsqu'on écrit dans
les formules que les cristaux cubiques possèdent trois plans de symétrie respectivement normaux à trois axes perpendiculaires et identiques entre eux, sans tenir compte de la symétrie qui existe par rapport aux six plans normaux binaires. Cela revient, en d'autres termes, à supposer dans l'espèce actuelle que la symétrie du sel gemme est seulement terbinaire avec une quasi égalité et non pas une identité complète des trois axes binaires.
Quoi qu'il en soit, les formules de Neumann représentent bien les observations, car M. Voigt trouve
Ec
Ed
Eo
calculé
observé
H. Voigt a ajouté aux observations faites sur la flexion, des observations sur la torsion de prismes rectangles dont les axes étaient aussi dirigés suivant les trois directions précédemment définies. En combinant entre elles toutes les données expérimentales, M. Voigt a déduit pour les constantes élastiques du sel gemme les nombres suivants :
cS^ 115,
l*unité de force étant le kilogramme et Tunité de longueur étant le millimètre.
En admettant que le sel gemme est réellement cubique, et en supposant exacts les coefficients A et B, la théorie exigerait
La différence entre ce nombre et celui qui est donné par Tobservation s'atténuerait si Ton tenait compte de ce que H. Yoigt a employé, pour
calculer tS^ des formules données jadis par Cauchy pour la flexion des prismes rectangulaires et que H. de Saint-Venant a démontrées être inexactes. D*après M. de Saint-Venant, la différence entre les résultats donnés par la formule et les résultats exacts s*éléve, lorsque le prisme est un rectangle dont un côté est de 3,5 à 3,8 fois plus grand que l'autre, comme il arrive dans les observations de M. Voigt, à 0,885.
Si Ton faisait cette correction à la valeur de ^S^ observée par M. Voigt,
on trouverait cJ^ = 128 qui se rapprocherait de la valeur théorique, un peu plus que le nombre donné par H. Voigt.
Quoiqu'il en soit, l'inégalité, qui parait bien constatée, de E suivant les différentes directions contredit formellement la théorie, à moins que le sel gemme, au moins sous le rapport élastique, ne jouisse pas réelle- ment de la symétrie cubique. Nous verrons eneffet plus loin que le plus grand nombre des cristaux cubiques ne possèdent, au point de vue optique, qu'une symétrie inférieure à celle qui semblerait devoir leur appartenir; le sel gemme est précisément dans ce cas. 11 serait fort intéressant que de nouvelles expériences vinssent faire la lumière sur celte partie encore obscure de la science.
Expérienees de M. Groth sur l*élaallclté du sel i^inBie. —
M. P. Groth* a employé, pour trouver les modules d'élasticité E du sel gemme, suivant différentes directions, un procédé ingénieux et qui est d'un emploi plus commode que celui de H. Voigt. Il pose, sur une même planchette élastique une barre d'acier, dont l'élasticité est connue, et la petite barre cristalline dans laquelle on veut la mesurer. On fait vibrer la barre d'acier au moyen d'un archet, les vibrations se transmettent à la barre cristalline, et les deux barres exécutent des vibrations concordantes. Du sable fin, répandu sur la surface des deux barres, permet de mesurer la distance de deux nœuds, d'où l'on peut
i. Pogg., Ann„t 1875.
CHAP. 11. — ÉLASTICITÉ. Cl
déduire, par une formule connue, le rapport de leurs coefficients d'élasticité. Les mesures faites par H. Groth sont assez d*accord avec celles de M. Voigt, et la facilité relative du procédé qu*on lui doit permet d'espérer qu'on pourra étendre à un grand nombre d'espèces cristallines, les expériences faites sur le sel gemme ^
Expériences anelennes de Savart. — Le procédé de M. Groth a
quelque analogie avec celui qui a été employé jadis par Savart, dans une série d'expériences célèbres *.
Savart faisait vibrer non pas de petites barres cristallines, mais des plaques découpées dans le cristal suivant différentes directions, et dont il étudiait l'état vibratoire au moyen de sable répandu sur leur surface. On connaissait encore bien moins que maintenant une théorie générale de la vibration des plaques, et la théorie de l'élasticité cristalline était encore à naître. Savart, avec une remarquable intuition des phénomènes, considéra un cristal comme un corps n'ayant pas la même élasticité suivant différentes directions. Il commença donc par expérimenter sur un corps non cristallisé, mais qui ne possédait pas les mêmes propriétés dans tous les sens, et dont on connaissait assez bien le mode de structure intérieure. Le corps choisi fut une bille de bois, découpée dans un tronc aussi régulier que possil)le. On découpait les plaques dans cette bille, soit perpendiculaires, soit parallèles à l'axe du tronc, soit inclinées d'une manière quelconque. En comparant ensuite le mode de vibration de ces plaques ligneuses avec des plaques découpées suivant certaines directions dans des cristaux de quartz ou de calcite, Savart montra que l'élasticité varie dans chacune de ces substances lorsqu'on fait varier la direction de la plaque. Entre autres résultats intéressants il constata que les plaques découpées dans le quartz parallèlement aux faces p ne vibrent pas comme celles qui sont découpées parallèlement aux faces e g.
Le procédé de Savart, quelque ingénieux qu'il soit, est trop imparfait pour donner des résultats numériques précis. 11 ne peut guère servir qu'à donner une idée des variations qui se produisent avec la direction dans l'élasticité des cristaux. Nous n'entrerons donc pas sur ce sujet dans de plus longs détails.
- i. Les Annal(i8 de Poggendorf (t. 152) contiennent une série d*expériences faites sur l'élasticité de la calcite, par M. Baumgarten. Ces eipériences sont faites, comme celles de y. Yoigt, par le procédé de la flexion, et ne conduisent par conséquent à aucune donnée précise sur les constantes élastiques de la calcite. 2. Annales fie chimie et de physique, t. I, 8-40, 1829.
