CHAPITRE I. — SUR LES PROPRIÉTÉS PHYSIQUES

gine, les coordonnées x, y, z de K, et a/, y\ z* de B, sont de très petites quantités; d*aiileurs les coordonnées x^ y^ z sont des fonctions continues de x', y', 2' et réciproquement; on peut donc poser :

x=F,{x\y,z') y=f^{x\tf,z') z=Y^{sf,y,7f).

Si Ton développe x, y, z suivant la série de Haclaurin, en remarquant que x=0, t/ = 0, 2 = 0, lorsque x\ y\ z' sont nuls à la fois et se bornant aux termes du premier degré en x\ y\ z\ on aura :

j/=AV-f-ByH-CV, a=AV-f-BY-4-CV,

équations du premier degré, dans lesquelles A, B, C, etc., sont des fonctions qui dépendent de la nature et de l'arrangement du milieu dans un très petit rayon autour de 0, mais sont indépendantes de ^, y', 2'. ^

Les trois équations (1) peuvent se mettre facilement sous la forme :

!x'==Aja; 4-B|y -f-C,5, y=k\x-^B\y^C\z, 2' = A V -h B'i^ -+- CV-

En lyoutant membre à membre ces trois équations élevées au carré, il vient :

x«2A,« i xyZkfii

{2)r'«=<{ +!/*2B,« 4-2} -\-xzlkfii

+ 2«2C,* ( +yzlbfi^

en désignant par / la longueur OB.

Cette équation représente un ellipsoïde, puisque les coefficients de ^*> y^f 2* sont essentiellement positifs. On en conclut donc que si, laissant constante la longueur de OB ou r', on donne successivement à la direction OB toutes les valeurs possibles, le point B décrit une spbére, tandis que le point A décrit un ellipsoïde.

Lorsque Tellipsoïde est rapporté à ses axes, on a :

(^) 2A,B,=0, 2A,Ci = 0, 2B,C,=0.

Si Ton prend 0B = /= 1, x', j/, 2' deviennent les cosinus m\n\p'

des angles que OB fdit avec les axes. Soient deux directions perpendiculaires (m'i, n\y p\) et (m'„ n'„ p',), on a :

m\ m',-f n'4n',-hp'ip', = 0;

et remplaçant les cosinus par leurs valeurs tirées des équations (!'), il vient, en tenant compte des équations (2') .

^i^t 2A J -h y,y^ SB* 4- z,z^ SC' = 0,

équation qui, si Ton y regarde x^, y^ Zy^ comme des coordonnées variables, représente dans l*ellipsoïde le plan diamétral conjugué du diamètre (a:,, y„ 5,).

Si donc on considère toutes les directions (m'^, n\, p'^ perpendiculaires à la direction (m',, n'„ /i'j), lés rayons vecteurs de Tellipsoïde < qui correspondent à toutes ces directions, seront compris dans le plan diamétral conjugué du rayon vecteur (x^y y,, 2,), qui correspond à la direction [m\, n',, ;/,).

Comme chaque rayon vecteur correspond à une direction unique (ces quantités étant liées par des relations linéaires), la proposition inverse est également vraie.

On en déduit que les trois axes de l'ellipsoïde ont pour correspondantes trois droites rectangulaires *.

Avant d'aller plus loin, il est bon, pour donner plus de clarté à la théorie, de modifier les notations des coefficients qui entrent dans les équations (1).

Si Ton supose que le point B est situé sur Taxe des x, on a y' = 0 ets' = 0 et les équations (1) deviennent :

X=:kjfy y=:k'x\ z = k''xf.

Les quantités A, A', A'- sont donc les coefficients qui, multipliés par a/, donnent les projections, suivant les axes coordonnés, de la longueur OA, lorsque la droite correspondante est dirigée suivant la partie positive de Taxe des x, 11 ne faut pas oublier que la grandeur de xf est dans l'espèce, la grandeur même de OB, qui est constante.

Le coefficient A se rapporte à la projection dirigée suivant l'axe des x, ou normale au plan perpendiculaire à la droite correspondante ; on lui

*■ J'emprunte la démonstration de ce théorème au beau mémoire sur Télasticité p\ibUé par M. Peslin, dans les Annales des mines, 7« s., t. VIII (1875).