II. — COUHBES d'égal RETARD

Dénnitlon de Ia surface d*égai retMPd. — Il nous reste maintenant à étudier les phénomènes produits par les variations périodiques de

Nous supposons la lame crisUlline, d'épaisseur e, traversée par un

rayon OM (fig. 67) faisant avec la normale à la lame un angle R. On a vu que Ton a sensiblement

\cos H

sin G' sin 0",

j équation dans laquelle il est superflu

i de rappeler que o— e est la différence

^'^^' 67- des temps employés parles deux rayons

polarisés à angle droit qui se meuvent suivant OM à traverser la lame; \

la longueur d*onde de la lumière monocbromali que considérée; n^, n^,

les inverses des grandeurs des axes d'élasticité a et c de la lame, 6' et

B" les angles que fait OM avec les axes optiques.

En appelant p la longueur OM, on a

P"^cos R

et

"" ^ ^—^ sin G' sin e^

Sous cette forme, on voit que o— e ne dépend pas de l'orientation du plan qui limite la lame, mais uniquement de celle de OM par rapport aux axes d'élasticité optique, ainsi que de la longueur p. Si donc nous supposons le milieu cristallin indéflni, Téqualion

ou

sin 6' sin 6" = k

est l'équation polaire, rapportée aux deux axes optiques comme axes

coordonnés, d*une certaine surface définie par la propriété suivante : « Si Ton prend un rayon vecteur OM de la surface, les deux vibrations rectangulaires qui partent simultanément de 0. et se propagent suivant OM, arrivent au point M avec une différence de marche qui est la même, quel que soit le rayon vecteur OM qui ait été choisi. » Cette surface est Sippelëe (Végal retard ou isochromatique*. L'équation peut en être mise sous la forme

p sinô'sin ô*=m, en posant

fn=:k

Supposons maintenant isolée dans le milieu cristallin indéfini uue lame limitée par deux plans parallèles dont Tun passera par le point 0 (fig. 68) qui sera considéré comme Torigine de toutes les ondes planea lumineuses. L'intersection du plan supérieur de la lame avec la surface d*égal retard est une courbe mn telle que les deux ondes planes vibrant à angle droit, qui sortent de la lame par chacun des points de cette courbe, en sortent avec un même retard relatif.

Si la lame est placée entre deux niçois croisés, et si l'on donne à k une valeur entière quelconque, la courbe est une courbe noire. En donnant à A: toute la série des valeurs entières, on obtiendra une série de surfaces d'égal retard correspondantes qui dessineront sur le plan supérieur de la lame une série de courbes noires.

On peut obtenir toute cette série de courbes en construisant une seule surface d*égal retard, celle qui correspond, par exemple, à A'=i. En effet, la surface correspondant à A ==2, est semblable à celle qui correspond à A = 1, et le rappor,t de similitude de toutes les longueurs est le nombre 2. En coupant cette surface par le plan placé à une distance e du centre on obtient donc une courbe semblable à celle qui serait obtenue en coupant la première surface par un plan distant du

centre de-, avec le même rapport de similitude égal à 2. De là, la

règle suivante qui permet d'obtenir, avec la surface d'égal retard correspondant à A= 1 , toutes les courbes successives : < Pour obtenir la courbe correspondant à Â=p, on coupe la surface correspondant k k=i par

* Bertin, Ann. de chimie et de physique, 3* s., t. LXIII, iSGl.

un plan distant du centre de - , et on agrandit cette courbe dans le

P rapport dep k 1 . »

Fi». 68.

Si la lame est placée sur le porte-objet du microscope à lumière convergente qui a été décrit plus haut, les courbes dessinées sur le plan supérieur de la lame par les intersections des diverses surfaces d*égal retard viennent former une image au foyer du collecteur.

Soit 00' une normale au plan de la lame, et supposons la courbe mn connue par son équation polaire rapportée au point 0' comme centre. La longueur 00' est Tépaisseur e de la lame. La direction de propagation On, après avoir traversé la lame en faisant un angle R avec la normale, en ressort en faisant avec celle-ci un angle l' et on a

sinl'=n^sin R.

ni, étant Tindice moyen de la lame cristalline.

Nous supposerons que la lentille du collecteur est plan convexe, et que la face plane est tournée du côté de la lame. En passant dans le verre, la direction de propagation se réfracte et vient faire avec la normale un angle I donné par la relation

n étant Tindice du verre.

8inl = -sinr, n

CUAP. VI. — LUMIÈRE CONVERGE>TK. 205

Si 0| est le centre de la surface' sphérique de la lentille, l'image du faisceau qui traverse la lame suivant On se produit sur la direction 0,n(, faisant un angle I avec la normale et en un point n^ tel que Oinj = F, distance focale de la surface.

L*image de la courbe mn est ainsi déterminée par Tintersection d'une sphère ayant 0^ pour centre et F pour rayon, avec un cône dont le sommet est 0|, et tel qu*à une génératrice On du cône Omn, faisant un angle R avec la normale, correspond une génératrice On, située dans le plan qui passe par On et la normale et inclinée sur la normale d*un angle I donné par la relation

sinl = — sinR.

Si Tangle R reste suffisamment petit, on pourra considérer l'intersection de la sphère et du cône comme comprise dans un plan parallèle à mn, et dont la distance Ofi\ = D à 0^ sera peu différente de F. On aura alors à peu près, en appelant r^ la distance 0^0^,

et comme on peut assimiler tgl et tg R respectivement à sini et sinR, il viendra

ne

Si l'on reste dans cet ordre d'approximation, on obtiendra donc la courbe mifii, en traçant une courbe semblable à mn par rapport au

point 0, avec pour rapport de similitude.

Nous allons examiner successivement la forme que prennent ces courbes, dans les cristaux uniaxes et dans les cristaux biaxes.

CRISTAUX UNIAXES.

Sarface d'éf^ai retard. — Dans les cristaux uniaxes, l'équation de la surfacç d'égal retard est

p sin* 6 = m = A: •

Elle est, bien entendu» de révolution autour de l'axe du ci*istal, et

Téquation précédente peut être aussi considérée comme celle de la

courbe méridienne. Cette courbe est facile à construire graphiquement.

On décrit un cercle ayant m pour rayon {fig, 69j; et Ton mène

Fig. 69.

un rayon vecteur qui coupe le cercle en n; par le point n' où la tangente au cercle en n rencontre la perpendiculaire à Taxe menée par 0, on mène une droite parallèle à Taxe qui vient rencontrer le rayon vecteur en M; M est un point de la courbe. On a en effet

sin 0

0M = -2îL. = liîil^

siii 0 'w

Il est aisé de voir que cette courbe se compose de deux branches ; chacune d'elles est tangente au cercle, en un point qui est un sommet; elle tourne d*abord sa convexité vers Taxe, puis, après un point d'inflexion situé sur le rayon vecteur qui fait avec la perpendiculaire à l'axe un angle égal à 51^^46', elle tourne sa concavité vers Taxe et prend une forme parabolique.

En appelant &) Tangle complémentaire de 6, l'équation de la surface devient

p cos' cû= m, ou p \/l — 2 sin' <i)=m,

CBAP. YI. - LIMIÈRE CONVERGENTE. 205

pour les valeurs sufQsamment petites de o qui permettent ^'extraire la racine par approximation. En rapportant à des axes coordonnés rectangulaires qui seront Taxe principal comme axe des z et deux droites rectangulaires tracées dans le plan du cercle comme axe des x et des y, et en remarquant que

sin*(o = ^ et p«=x« 4- ^« -}-««, il \ient

pour l'équation de la surface. Celle-ci est donc, dans le voisinage du

cercle de gorge, un hyperboloîde de révolution à une nappe dont la

courbe méridienne est une hyperbole équilatére.

Lames perpendieniaires * l'axe. — Supposons une lame découpée

dans un cristal uniaxe perpendiculairement à Taxe; Tintersection de

la surface d*égal retard par le plan supérieur de la lame est un cercle

dont le rayon est r. On a sin 9 = - et p=y|J^gt^ ces valeurs de 6 et

de p, portées dans Téquation de la surface, donnent une relation dont on peut déduire la valeur de r, et qui est

Si Ton se borne à considérer les cercles visibles qui sont donnés par des rayons dont l'inclinaison sur Taxe est suffisamment petite, on peut négliger r" devant e*. H vient alors

Le rayon r, du cercle tracé dans le plan de réticule est grandi dans

n le rapport D— , il aura donc pour valeur

en remplaçant m par sa valeur.

Le rayon du cercle est donc proportionnel à \h c*est-à-dire plus grand pour la lumière rouge qne pour la lumière violette; il est en

raison inverse de ye, c'est-à-dire d'autant plus petit que Tépaisseur de

la lame est plus grande; il est en raison inverse de sjn^ — n^, c'est-à-dire

d'autant plus petit, toutes choses égales, que la lame est plus biréfringente. Les lames donnent des cercles de même diamètre lorsque, e (n — w J a la môme valeur ; on peut donc appeler e (n^ — n J l'épaisseur

optique de la lamCv

Le rayon du cercle est enfin proportionnel à ^E A toute valeur de k égale à zéro eu à un nombre entier correspond une valeur de

sin* TT -r— ^^ ^*^* ^^* è?2ilô à zéro. A toute valeur de k égale à la

13 5 moitié d'un nombre impair, •^, ^, q> etc., correspond une valeur de

sin' TT k égale à 1 . Lorsque les niçois sont croisés, la série des valeurs entières de k donne une série de cercles pour lesquels l0=O, et par

conséquent de cercles noirs; la série des valeurs de k égales à

3 , K> o 9 6t<^M donne une série de cercles disposés entre les précédents

et pour lesquels lo=l, c'est-à-dire pour lesquels l'intensité lumineuse

est la même que celle de la lumière incidente, et qui ont d'ailleurs la couleur de la lumière raonochromatique employée. Il est inutile d'examiner le cas des niçois parallèles, car chaque point a alors l'intensité complémentaire de celle qu'il a dans le cas précédent; c'est-à-dire que les cercles noirs deviennent les cercles d'intensité maximum et inversement.

Si, au lieu de représenter le premier retard par 1, on le représente par 2, la série des valeurs de A: qui donne les anneaux noirs est représentée par celle des nombres pairs,

0, 5, 4, 6, 8, etc.

et la série des valeurs de k qiii donnent les cercles d'intensité maximum, l'est par celle des nombres impairs,

1, 5, 5, 7, etc.

Les rayons des cercles noii*s successifs sont donc comme les racines carrées des nombres pairs; ceux des cercles lumineux, comme les racines Carrées des nombres impairs. La valeur zéro fait partie de la l''* sérié;

CHAP. ÏI. — LUMIÈHE CONVKBGENTE. 207

si on laisse de cAté celle valeur, on voil que le cercle qui a le plus petit rayon est un cercle lumineux antre deux niçois croisés et un cerciu noir entre deux niçois parallèles.

Dans chacune de ces séries de cercles, l'écartement de deux rcrcles

Dn. / i 1

successifs tend vers l'expression -3— V/ : -7-. Lorsque k est

2« V E(n, — ïij} \/k

un peu grand, cette expression varie très lentement, et les cercles sonl presque ëquidistants.

La figure 68 représente les anneaux noirs directs qu'on observe entre deux niçois croises, avec la croix noire qui les traverse.

La figure 7] représente les anneaux noirs complémentaires que l'on observe entre deux niçois parallèles avec la croix lumineuse qui les traverse.

Lorsque les niçois ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires, il y a deux croix dont les bras sont parallèles et perpendiculaires aux vibrations du polariseur et de l'analyseur. Dans les quatre secteurs formés par dea bras tous deux parallèles ou tous deux perpendiculaires à ces vibrations, les franges sont des portions d'anneaux directt; dans les quatre autres secteurs, les franges sont des portions d'anneaux complémenUiiret. . . . ,

ij^mtm paraUMea * l'axe. — La partie visible du phénomène est loiÛour» donnée par des rayons peu inclinés sur la normale, c'est-à-

308 DEUXIËUE PARTIE. — CliUiTALLOGRAPlUE PBV$[QUE.

dire sur une perpendimlaire à l'axe du cristal; il est par conséquent

inutile de considérer une autre portion de la surface d'égal relard que

celle qui avoisine le cercle de gorge. Cette surface peut donc être ici regardée comme un hypcrboloide de révolution. Les sections faites par le plan supérieur de la lame sont des hyperboles équilalètes dont les asymptotes sont inclinées de 45* sur l'axe du cristal. Les équations de ces hyperboles, rapportées à leurs axes, sont :

L'axe transverse réel de l'hyperbole est dirigé perpendiculairement à l'axe lorsque m* >('; parallèlement à l'axe, au contraire, lorsque m*<^i*. Si l'on prend l» satisfaisant à la double condition

l'hyperbole noire la plus rapprochée de \'B.\a, entre deux niçois croiaës, correspond au retard f^ pour les courbes dont l'ave réel est perpendiculaire à l'axe du cristal, et au retard k — 1 pour celles dont l'axe réel est parallèle h l'axe du cristal. La première série d'hyperboles correspond à la série de retards^, ^'-f-l. /;'+2, etc.; la deuxième série cor-

CHAP. VI. — LUMIÈRE COiNVERGENTE. 209

respond à celle des retards k' — \ , k' — 2, W — 3, etc. Les asymptotes, sauf des cas très particuliers ne sont comprises ni parmi les courbes noires, ni parmi les courbes lumineuses.

La grandeur du demi-axe transverse de chaque hyperbole, tracée sur le plan du réticule, est

ne > n Y («,-n,)s«

Puisque la première courbe visible correspond à

k est le plus souvent un assez grand nombre, car t[n^ — n^ est généralement grand par rapport à \, Cette remarque est importante : car on sait qu'avec la lumière blanche les phénomènes d'interférence disparaissent pour de grands retards; il en résulte que les franges ne sont visibles, en général, dans les lames parallèles à Taxe, qu*avec de la lumière monocbromatique.

Pour fixer les idées, supposons que la lame soit une lame de quartz de0™'",5 d'épaisseur, éclairée par la lumière jaune du sodium. On a

et

d'où Ton déduit

6(n^--iO 0.0046 X "0.00053""^'

Les premières hyperboles visibles, de part et d'autrn des asymptotes, correspondent donc à des retards égaux à 9 et 8 longueurs d'onde ; ces retards, avec la lumière blanche, ne donnent guère que du blanc, Si l'on avait, au contraire,

les premières hyperboles correspondraient à des retards égaux à 1 et 0. Les hyperboles seraient visibles, et l'une d'elles, étant noire, pourrait être confondue avec l'hyperbole incolore d'un cristal à deux axes. H est

CRISTAUOGIUPHIB, T. U. 14

vrai que, à mesure que e devient plus petit, les axes transverses des hyperboles deviennent plus grands, et que les hyperboles peuvent ainsi disparaître du champ.

Snperpofiltloii de de«x lames peiyendlealalres à l*axe.<^Nous

avons vu, en parlant des phénomènes produits par la lumière parallèle, que le^choses se passent, avec deux lames perpendiculaires à Taxe et superposées, comme dans le cas d*une lame unique dont Tèpaisseur optique serait égale à la somme algébrique des épaisseurs optiques des lames. La môme conclusion s'appliquera encore aux phénomènes de la lumière convergente, si Ton ne considère que des rayons peu différents de la normale.

Lorsque, en superposant une seconde lame à une première, la somme algébrique des épaisseurs optiques est de môme signe que l'épaisseur de la première, cette superposition équivaut donc à une augmentation d'épaisseur de la première lame» lorsque la seconde est de môme signe optique ; à une diminution dans le cas contraire. Dans le premier cas, les anneaux sont rétrécis ; dans le deuxième cas, ils sont dilatés. En superposant à une lame de signe inconnu une autre lame de signe connu, comme une lame de quartz par exemple, on a donc un moyen expérimental de déterminer le signe de la première.

11 reste toutefois dans certains cas quelque incertitude sur la question de savoir si l'épaisseur optique de la lame connue reste toujours plus faible en valeur absolue que celle de la lame inconnue. L'incertitude ne peut se présenter que lorsqu'on observe un élargissement des anneaux ; mais elle peut être levée en observant alors les anneaux de la lame de quartz en premier lieu, et en superposant ensuite la lame inconnue ; si l'élargissement des anneaux est encore obtenu, on est sûr que les deux cristaux sont de môme signe.

Snperposltlon de deux lames parallèles à l*axe, de même natore et de même épaisseur, mais dont les seetlons principales sont

croisées * ang^ie droit. — Considérons, dans la première lame, d'épaisseur e, le cône des rayons qui contractent, en le traversant, le retard A,, et dessinent sur sa surface supérieure une hyperbole équilatère dont nous supposerons l'axe transverse, de longueur R, perpendiculaire à Taxe optique.

Il y aura, dans la deuxième lame, une hyperbole équilatère identique et superposée à la première, mais dont l'axe transverse, toujours de longueur R, sera parallèle à l'axe optique. Le cône de rayons qui, partant

CHAP. VI. — LUMIÈRE COxNYERGENTE. 2H

du centre de cette deuxième lame, tracerait cette hyperbole sur sa surface supérieure, contracterait dans cette lame un retard égal à A,. Ce cône est semblable au premier, et les rayons du premier cône, en traversant la deuxième lame,^ ajoutent au retard A:^, le retard — A,, le signe — tenant compte de ce que les sections principales des lames sont croisées à angle droit. Les rayons ont donc tous contracté un même retard définitif, égal à ki — k^y après avoir traversé les deux lames, et riiyperbole équilatére d*axe transverse égal à 2R qu'ils tracent sur la surface supérieure, est la courbe d*égal retard correspondant au retard K = A-, — A^.

Les courbes d*égal retard sont donc encore comme dans le cas d*une seule lame des hyperboles équilatères dont les axes sont dirigés suivant les axes optiques de chacune des lames. Il y a cependant entre les deux cas une différence très importante. Nous avons, en effet, dans la première lame, dont Taxe transverse est perpendiculaire à Taxe optique

R« = m« — e« = *Î9« — e« en posant, pour abréger,

On en déduit

Dans la deuxième lame dont l'axe transverse est parallèle à l'axe optique, on a

d'où l'on tire

On a donc

K = A,~A, = -f\/£«-t-R''-Ve*-R')>>

Si 11 = 0, ce qui réduit les hyperboles à leurs asymptotes, on a

donc

c'est-à-dire que les asymptotes correspondent à un retard nul et seront toujours figurées en noir entre deux niçois croisés.

312 DEUXIÈME PARTIE. - CRISTALLOCRAPllffi PHYSIQUE.

Dans la lumière homogène, les premières hyperboles noires, de part et d'autre des asymptotes, correspondront à des retards numériques t égaux à 1, 2, S, etc. Les Iiyperboles et les asymptotes

seront donc toujours visibles, même dans la lumière blanche, où l'on ;iura les deux asymptotes noires séparant des hyperboles colorées.

Si l'on emploie le même procède d'approximation que pour les lames perpendiculaires & l'axe, on regardera R comme petit par rapport à e, ce qui permetira de prendre la valeur approchée des deux radicaux de l'expression cî-dessus, et donnera

L'ase transverse r de l'hyperbole tracée sur le plan supérieur de la ilcuxième lame, par le cAoe des rayons qui éprouvent le relard K étant égal k âfi, on aura

r* = fkçt ou r = a V^mi,

ai l'on continue à appeler m le produit de rique K.

- par le retard oumé-

Dans le cas d*iine seule lame d'épaisseur e, perpendiculaire à Taxo

optique, le rayon r du cercle correspondant au retard K est r=\Jmt, Les axes transverses de nos hyperboles équilatëres suivent donc les mêmes lois de variation que les rayons des cercles dans les lames normales à l'axe.

A égalité de retard, et lorsque l'épaisseur de chacune des lames parallèles est égale à celle de la lame normale, Taxe transverse de l'hyperbole est double du rayon de cercle.

La figure 70 représente les courbes noires, vues entre deux niçois croisés, avec deux lames uniaxes, parallèles à Taxe, croisées à angle; droit, et éclairées par de la lumière monochromatique.

Cas de deux lameii identiques taillées dans «ne direction qneleonqtie et snperp<»sées de manière que les seetlons principales

soient croisées * angle droit. — Supposons taillée dans le cristal une lame inclinée d'une Façon quelconque sur l'axe optique, le plan supérieur de cette lame coupe la surface d'égal retard suivant une courbe symétrique par rapport à la projection de l'axe optique sur le plan.

Considérons d'abord la surface d'égal retard qui correspond à un relard numérique égal à A et passe par le centre du plan. Ce centre est un sommet de la courbe, et la tangente eu ce point est perpendiculaire à la projection de l'axe optique. Si nous nous bornons à une très petite région autour de ce centre, nous pourrons réduire la courbe à cette tangente.

L'origine des coordonnées étant au centre du plan, nous prenons pour axe des y la projection de l'axe optique, et nous choisissons pour partie positive de cet axe la direction qui s'éloigne de l'axe, pour partie négative la direction qui pénètre dans l'intérieur de la swface et va rencontrer l'axe.

La surface qui correspond au retard numérique k-i-8 enveloppe la surface de retard k, et, si l'on reste dans les mêmes limites d'approxima-

tion, coupe le plan suivant la droite parallèle à l'axe des ^, dont l'équation esiy=p8; p étant un certain coeflicient constant. La surface qui correspond au relard k — ^ couperait de même le plan suivant la droite y = — pi.

Tout rayon qui, partant du centre du plan inférieur de la lame, ren-

contre le plan supérieur en un point d'ordonnée y^ a donc subi un retard égal à ^,

Pour la deuxième lame identique, mais croisée à angle droit, la conclusion sera la môme, sauf à remplacer y par x.

Soit maintenant un rayon partant du centre du plan Inférieur de la première lame, et perçant le plan supérieur de la deuxième en un point dont les coordonnées sont ^, y ; il percera le plan supérieur de la pre-

mière lame en un point de coordonnées ^* ^» et aura contracté un retard égal à ^. En traversant la deuxième lame, il sera parallèle au rayon qni, partant du centre inférieur de cette lame, percerait la sur-