CRISTAUX A DEUX AXES

Sarlkce d*égttl retard. — L' équation polaire de la surface d'égal retard est

^ sin 6' sin ô" ' n^.— n^ sinQ'sinO

ô' et 6" sont, comme on le sait, les angles que fait le rayon vecteur avec

les deux axes optiques où kX est égal à o — e; n^ein^ étant les deux inverses de a et de c.

Nous allons discuter la forme de cette surface.

1^ Intersection de la surface par un plan perpendiculaire à Vaxe moyen des y.

On suppose d'abord le plan passant par l'origine et coïncidant avec le plan des xz. L'équation polaire de l'intersection est identique à celle delà surface. On peut construire cette courbe par un procédé graphique très simple. On décrit le cercle de rayon m (fig. 75) ; on trace les axes

Fi{r. 73.

optiques 01, 01', qui font entre eux un angle égal à 2A, et les axes d'élasticité Ox, 0^. SoitOM un rayon vecteur quelconque, qui fait avec les axes 01 et 01' des angles égaux à 9', 6'': on mène le rayon Om symétrique de OM par rapport à Oj:, et 0I| perpendiculaire à 01. Par le point m où Om rencontre le cercle, on mène une perpendiculaire sur Om jusqu'à

sa rencontre en m' avec OIj; on a Om'= ;;. Par m' on mène une

sin 6

perpendiculaire à Om' jusqu^à sa rencontre avec le rayon vecteur en M,

on a

sinO' sinO'sinO"

et M est un point de la courbe cherchée. Lorsque 8' = 0, on a p=;=oo,

La distance Hp=p du point H à Taxe optique 01 est égale à psin6\ et l'équation de la courbe donne

p=:psin 6'=-r-ri* '^ ^ sin 0

Lorsque 6'=0, on a6"=2A .-r— ^ est donc la limile vers laquelle tend

sm iSA.

p lorsque ff tend vers zéro etp versTinfini. En d'autres termes» la courbe

a des asymptotes parallèles aux axes optiques et séparées de ces axes par

une distance normale égale à . ^ » Il est aisé de voir d'ailleurs qu'il

sm 2A

y a des branches de la courbe dans les angles aigus et dans les angles

obtus de ces asymptotes. La même construction s'applique au deux

branches, mais si 2 A est la valeur de l'angle des axes qui convient à l'une

des branches, 180 ^ — 2A est celle qui convient à l'autre.

La distance du centre à laquelle les asymptotes se croisent sur l'axe

d'élasticité est égale à . q. . . ou ^ . ,. r ; la distance du

^ sm 2 A sm A 2 sm 'A cos A

centre à laquelle se trouve le sommet de la courbe est . ^.« Lorsque

2 cos A>-1 ou cos A>^, ou encore A<;60°, le sommet de la courbe

est plus éloigné du centre que le point de croisement des asymptotes, et toute la courbe est renCermée dans l'angle formé par les asymptotes ; le contraire a lieu lorsque A >> 60^, et la courbe a nécessairement alors des points d'inflexion.

Lorsque, pour l'une des branches de la courbe, A est compris entre 60® et 45®, il est compris pour l'autre entre 45® et 30® ; les deux liranches, pour lesquelles on a A>60®, sont inférieures aux angles des

asymptotes. La figure 74 montre Tintersection, par le plan dos zc. de la surface d'égal retard dans un cristal pour lequel A=45^

Fig. 74.

Lorsque, pour Tune des branches de la courbe, A est compris entre 0° et 50°, il est compris entre 60° et 90° pour Tautre; la branche comprise dans Tangle aigu est intérieure, celle qui est comprise dans Tangle obtus est extérieure aux angles des asymptotes. La figure 74 représente l'intersection par le plan des zx de la surface d*égal retard dans un cristal pour lequel A =20®.

Etudions la forme de la surface dans le voisinage du sommet situé sur Taxe des y. Nous supposerons, pour fixer les idées, que Taxe des ;; est la bissectrice aiguë ; c*est le cas de la figure 75.

Si Ton coupe la surface parle plan 2y, le retard o — e correspondant

à un rayon situé dans ce plan et incliné d'un angle R sur Taxe y, est.

Fig. 75.

d'après une formule trouvée page i87,

0 — e= ^ ' ^^' il — cosU sin«R).

cos R ^ '

et comme — ^ est égal à p, i*équation polaire de la courbe contenue

dans le plan zy est

p(l — cos»Asin*R) = m.

Portons au carré les deux nombres, et négligeons le terme en sin^ R devant celui en sin'A, on obtient

p«(l — 2cos«Asin«R) = m*,

qui représente la courbe dans le voisinage du sommet y. En rapportant à des axes parallèles à ceux des y et des s, cette équation prend la forme

y% — z* cos 2 A = m*.

Puisque cos 2A est positif, cette équation est celle d*une hyperbole dont Taxe transverse, qui a pour longueur m, coïncide avec Taxe des y

et dont Taxe imaginaire, qui a pour longueur > coïncide