VC082A
avec Taxe des z.
L'intersection de la surface par le plan xy aura de même, dans le voisinage du sommet y^ Téqualion
y* -|- a:» cos 2A = m*,
qui représente ^ne ellipse dont Taxe coïncidant avec celui des x a pour
longueur -
V cos 2A
L'hyperboloïde à une nappe,
x'cos2A4-t/* — s*cos2A=m*,
qui admet les deux sections principales précédentes, est donc osculateur de la surface d*égal retard, au sommet y, et peut être assimilé à cette surface dans le voisinage de ce sommet.
Lliyperboloïde se réduit à un plan, parallèle à xy^ pour le cas où cos2A = 0, c'est-à-dire A = 45**; c'est ce que montre bien la figure 72.
L'intersection de l'hyperboloîde par un plan parallèle à xz et ayant pour équation ^ = e, est une hyperbole équilatère dont l'équation est
cos 2A
CUAP. Yl. — LUMIÈRE CONVERGENTE. 221
Celle équation peut donc représenter les courbes d'intersection de la surface par des plans parallèles à xz, et peu distants du sommet y c'est-à-dire menés à une distance e du centre, peu différente de m ; à la condition, bien entendu, que Ton restreindra ces courbes à la partie
voisine du sommet y.
Sauf l'introduction du facteur — ^r* «î^tte équation est la môme que
celle qui représente l'intersection de la surface d'égal retard des cristaux uniaxes par un plan parallèle à l'axe, et peu éloigné du cercle de gorge. La bissectrice aiguë des cristaux biaxes joue, dans ce cas, le même rôle que celui de l'axe optique dans les cristaux uniaxes.
2* Section par un plan perpendiculaire à l'une des bissectrices de V angle des axes optiques. — L'intersection 3 par le plan passant par le centre s'obtient aisément en remarquant que Ton a (ttg. 76)
cos 0' = — CCS 6" == cos (0 sin A,
&) étant l'angle du rayon vecteur avec l'axe des x, ce qui donne pour équation polaire de la court^e Fig. 76.
1 — cos* (û sin* A
Cette courbe donne toujours p = m pour w = 90^, c'est-à-dire pour le point situé sur l'axe des y. Si l'on cherche toutes les valeurs de &), poui* lesquelles l'ordonnée parallèle aux y^ c*est-à dire p sin &>, est égale ù m, ces valeurs sont données par l'équation
m sm (I)
1 — cos* (0 sin* A
ou, en posant pour simplifier c«)' = ^ — w,
ces (!>' = i — sin* w' sin* A ,
tî2!2
OU
2 sin* — =: sin* w' sin* A = 4 sin* — cos* — sin* A. r r r
Divisant par sin* —> ce qui supprime la solution ci)'=0, il vient
COS« -TT = rr-r
2 ^2sin«A
(iette équation donne une solution pos^le lorsque 2 sin *A>>1, ou lorsque A]>45°. La courbe aura donc, au point situé sur Taxe des \j^ sa concavité tournée vers l'intérieur lorsque A>45*, c'est-à-dire lorsque le plan est perpendiculaire à la bissectrice obtuse; l'inverse a lieu
Fîg. 77.
lorsque A<45**, c'est-à-dire lorsque le plan est perpendiculaire à la bissectrice aiguë. Lorsque A= 45<>, les deux sections perpendiculaires aux bissectrices sont égales, et aucune d'elles ne présente de concavité tournée en dehors.
Si Ton coupe par un plan séparé du centre par une distance e, on se
bornera au cas où les rayons vecteurs font un petit angle avec la bissectrice perpendiculaire, ce qui entraîne la petitesse de e. On appelle r' et r" les distances respectives d*un point quelconque M de la courbe cherchée aux traces t et t'des axes optiques sur le plan de coupe (fig. 77) ; on appelle encore x' et x" les angles que font les rayons r' et r" avec: les axes optiques. On a
sinô'~"sina;'' siii 0" ~ sin x*'
d'où Ton tire, pour Téqualion de la surface,
sin a/ sin af
Si la distance e est petite, x' et x'' sont peu différents d*un angle droit et p peut être considéré comme égal à e. L'équation de la courbe devient alors
La courbe cherchée est ainsi, dans les conditions d'approximation où l'on s'est placé, une lemniscate dont i et t' sont les pôles.
3® Intersection par un plan perpendiculaire à un axe optique, — Soit 0'
Fig. 78.
(fig. 78) le point où Taxe optique rencontre le plan de coupe, p un rayon vecteur quelconque, dont la projection sur ce plan a une longueur r et
fait avec la trace du plan des axes un angle égal à u ; on appellera e la distance 00' qui sépare du centre le plan de coupe. On a
m r=?sinO=;T-p-
sinô
En nous bornant au cas où 6' est petit, c*est-à-dire où e esl grand, on a sensiblement 6''=2A, et la courbe est un cercle dont le ravon
est -: — ^. Cela montre que les cylindres circulaires, dont les asymptotes et rintersection par le plan des axes optiques sont des génératrices, sont des cylindi*es asymptotiques à la surface.
La discussion qui précède donne une idée très précise de la forme de
la surface d*égal retard. Cette surface qst formée, comme le montre la figure 79, par deux espèces de tuyaux dont les axes sont parallèles aux axes optiques et qui viennent se raccorder vers le centre.
liSmcs taillées perpendlealalrcmeiit à une bissectrice, e*est-àdlre à Tan des axes d'élasticité a ou C, — Ce qui vient d'être dit
sur la surface d*égal retard dans les cristaux à deux axes rend très aisée l'explication des courbes obscures ou lumineuses que des lames taillées dans ces cristaux présentent en lumière convergente.
Nous supposerons d*abord la lame taillée perpendiculairement ù Tune des bissectrices de Tangle formé par les axes optiques et nous examinerons d'abord le cas où les niçois sont croisés à angle droit.
L^inlcnsité de la lumière en un point quelconque est alors donnée par la formule
l = siii*2a 8in*i: "T — '
OL étant Tangle que fait avec la vibration du polariseur celle des des deux sections principales du point considéré qui correspond à la durée o de propagation.
Les franges forment une série de lemniscates noires correspondant
aux valeurs entières do — ^l-=t. Les pôles ou traces des axes opti-
ques sont noirs, car ils correspondent à A=0 ou à un retard nul ; la courbe la plus rapprochée de cette trace correspond à X: = 1 ou à un retard égal à A; celle qui suit à A = 2« etc. Pour le centre de la ligure, le retard est celui qui se produirait, en lumière parallèle, pour un faisceau de propagation normale; il est donc égal à r=:e (n^ — nj si
la bissectrice est positive ; à r = £ {n^ — n^^, si la bissectrice est négative. Le nombre entier de fois \ qui est compris dans r, donne le nombre des franges obscures comprises entre le centre et le pèle de Tun des axes. Ces franges sont, dans ce cas, des courbes ovoïdes for^ mées de deux parties symétriquement placées autour des pôles de chacun des axes optiques.
Lorsque - est entier, une frange noire correspondant à ce retard r
passe au centre de Timage, et forme une espèce de 8 dont le point de croisement est au centre. C'est le cas que représente la figure 80.
Les franges qui correspondent à des retards plus élevés ne sont plus disloqués en deux parties distinctes et entourent à la fois les deux
pèles.
Les franges ne varient pas lorsqu'on fait tourner la lame entré les niçois croisés. Hais les courbes incolores qui sont noires changent de forme et de position. Lorsque la ligne des pèles des axes bissèque l'un des angles droits formés par les vibrations du polariseur et de l'analyseur, ces courbes sont des hyperboles équilatères ayant pour asymptotes ces vibrations; pour axe transverse, la ligne de pèles; et pour sommets ces pôles eux-mêmes (fig. 80). C'est dans cette position que
CRISTALLOGRArniE, T. il. 15
220 UEUXIÈME PARTIE. - CRISTALLOGRAPUIE PllYSlOLE.
l'image est la plus régulière et la plus nette et qu'on l'observe habituellement.
Lorsqu'à partir de celte position, on fait tourner la lame, les hyperboles se dërorment ; elles gardent toujours pour asymptotes les vibrations du polariseur el de l'analyseur ; elles passent toujours par les pâles des axes optiques, où elles semblent s'amincir en quelque sorte,
comme il a ëlé expliqué plus haut, mais ces pdles ne sont plus des sommets de la courbe.
Loi-sque la ligne des pôles est parallèle à l'une des vibrations du polariseur ou^ de l'analyseur, les hyperboles se sont transformées en une croix noire dont les bras, parallèles à ces vibrations, sont en quelque sorte amincis aux pôles (Hg. 64, p. 198).
Lorsque les niçois sont parallèles eiiti-e eux, les hyperboles incolores gardent la même forme que dans le cas des niçois crorsés à angle droit, mais au lieu d'avoir une intensité nulle, elles ont une intensité maxima; en lumii-re blanche, elles sont blanches.
L'intensité étant alors donnée par la formule
l = siii' 2ï cos*:: ~~^ '
i'AikV. VI. — LUMIÈRE CONVERGENTE. 227
les franges noires correspondent aux valeurs de — - — égales à
g, ^ et en général -^ — .
Ces franges noires, que nous appellerons comptémentaires^ occupent la même place que celles qui, avec les niçois croisés à angle droit, ont une intensité maxima.
Lorsque les niçois sont croisés dune façon quelconque, il y a, comme on Ta vu, deux hyperboles incolores, mais non pas noires, qui passent toutes les deux par les pôles des axes optiques, et ont respectivement pour asymptotes : l'une, la vibration du polariseur et la droite perpendiculaire ; Tautre, la vibration de l'analyseur et la droite perpendiculaire.
Lorsque la ligne des pôles tombe dans un des angles formés par les vibrations du polariseur et de l'analyseur, ou par les perpendiculaires à ces vibrations, la teinte du point central de l'image est directe (page 196). Dans ce cas, en dehors de l'espace compris entre les deux branches d'hyperbole qui passent par un même pôle, c'est-à-dire dans la partie non hachée de la figure 62, les franges noires sont des portions de lemniscates directes. Entre les branches d'hyperboles, c'està dire dans la partie hachée de la figure 62, les franges noires sont des portions de lemniscates complémentaires.
L'inverse a naturellement lieu lorsque la teinte du centre de l'image est complémentaire, c'est-à-dire lorsque l'axe des pôles tonibe dans un des angles qui ont pour un côté une des vibrations du polariseur ou de l'analyseur, et, pour autre côté, une droite perpendiculaire à l'une de ces vibrations.
On peut chercher quelle est, dans le plan des axes optiques, la loi de l'écartement des franges. Si l'on se reporte à la figure 75 et si l'on mène le p correspondant au point d'une frange noire situé dans le
plan des axes optiques et compris entre le centre et le pôle de l'un de ces axes, on aura
a = pK - n,) sine'sin(2A- 0') = 1 ii^Ji-^^ [cos 2 (A - 6^ - cos 2A].
' Cette équation donne l'angle (Â — 6') que fait, avec la normale à la lame, le faisceau qui» dans le plan des axes optiques, contracte un retard égal à /:X. On en tire
A) cos« (A — 0') ■ ^ cos (A — Ô') — cos* A = U
ot
cos
A-0'; = n-7 V + V/ri r« + ^®' ^'
d'où Ton déduit
L*cxpression — • r est toujours petite, car k n*cst jamais très
très grand, et X est très petit. Supposons en eflet, pour fixer les idées, X:=0-,0005, 6 = 0",5, II— n^=:0,01, * = !; •
on aura
On peut donc négliger le cube de cette expression et écrire
k\ ik*X* 8in*A — sin«(A— 0')= ^ — rCosA+ -r- ;•
