CHAP. VIL - UYERSKS ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. S
les axes de la vibration circulaire droite tournent d*un angle égal à f dans le sens sinûtranum.
CfMnpostUaB ém ^mlmuni vUbratl«M« drealalres •Unnltaoées
ém Méiti «MM. — Lorsqu'un point est animé de plusieurs vibrations circulaires simultanées» de même période, de même sens, mais de rayons et d'anomalies différents, les composantes de la vibration résultante suivant OX et OY sont :
a; = rsin ( ^t: j —9) ^r'sin (âw» —9') + • y=rco8 (îzjf-ifj 4-»^cosf2î:ç — ç'j 4--
La vibration résultante est une vibration circulaire de même période et de même sens, dont le rayon est R et Tanomalie^. Si Ton pose, en effet :
«=R8in^SiçJ-.*V y=Rsiii^22ij— *V
ridentiflcation des deux expressions respectives de a; et jf ne donne que deux équations distinctes, toujours résolubles :
R cos 4> =r CO89+ r' COS9' +•.
R sin 4> = r sio 9 4- f sin 9'j 4- . •
Ces équations montrent que, pour obtenir R et <t^ il faut, à partir d'une origine quelconque, mener une ligne polygonale dont les côtés, de longueurs r, r^, etc., font avec une direction ari)itraire des angles respe4*/tivement égaux à f , (f\ etc. La direction qui, partant de l'origine, ferme le polygone, a pour longueur R et fait avec la direction arbitraire un angle égal à 4.
BétcnohMiitoa des dÈreetUmm et des grmméewrm des axes d*iiiie
vibraaoa elllptkiae. — Reprenons les équations de la vibration elliptique, rapportée à deux diamètres i*cctangulaires quelconques,
y=9sin^2i7^ +9—^ j
et cherchons à déterminer, la direction et les grandeurs A et B des axes de l'ellipse vibratoire, ainsi que l'anomalie ^ des vibrations axiales.
946 DEUXIÈME PARTIE. - CR1STALU)6RAPH1B PHYSIQUE.
Appelons OXSOY' (fig. 88) les directions positives des axes de Tellipse,
fi Fangle de OX' avec OX, compté à partir de
OX' dans le sens droit.
Les formules de transformation des coor* données donnent :
^=*cosptH-îf8injjt y'=i — xsm\k + y cos [jl.
Les équations de la vibration, rapportées aux nouveaux axes, sont donc :
ai'^pcosiAsinSTTf + 98in(Asin (iica,4-f — 4^)' î/'.^ — psinîi.8in2::;j,H-9C0SjjLsin (Sicç + f — ^ ).
Les équations de la vibration elliptique, rapportée à ses axes, sont d'ailleurs :
jc'^Asin (2it« — ^)^ y'=:Bcos /îx^ — 0).
En identifiant, «luel que soil t, ces deux systèmes d'équations, on trouve :
A cos ^ = jp cos (A + 9 sin (A cos (^ — <^) — A sin ^ = 9 sin |A sin {f — ^)
Bsin0= — ffsin{ji4- 9Cosjjlcos(ç — ^) H cos ^=9 cos \k sin {f — ^)»
En multipliant menihn* à membre la l^ et la «V, on obtient :
AR
sln*cos^=:p^cos2jjLCOs((p— ^J;'— - p* sin 2iJL+ n 9*8in 2{jicos*(9 — (|/) En multipliant mendire à membre la 2** et la 4*", on obtient :
— AB sin^cos*^ - f sin 2ji.sin* (f — ^) tl'o^ Ton conclut :
9jP9 COsSfACQB (^ — ,j,) ^(p« — f) sin i|A=: 0
CHAP. Vn. — DIYKRSES E8PBCBS DE YIBRATKNfS LDHINEUSES. 947 ou
On peut mettre cette expression sous une autre forme, m remarquant que, si Ton représente l'intensité p^+q* de la vibration par i, on peut poser
p^oosti ^rrsinn;
il vient alors
tgS|A=tgSaico9(9--4f).
Pour trouver les valeurs de A et B^ nous pouvons additionner membre à membre la 1'* et la ¥ équation d'abord, ce qui donne :
(À + fi) 0084=pOOS|A-f 9>iii(|i + f — 4^)
et retrancher ensuite la S* de la 9^» ce qui donne :
(A-HB)9in*=— |»8injii-i- ÇCos(jaH-9— 4») On en déduit sans peine t
ou, en se servant encore de l'angle auxiliaire «,
{k + B)«=: i + sio Sii8in(f»-^4>).
On obtiendrait de même (A-— B)*; mais on peut le déduire immédiatement de (A + 6)*y en remarquant que l'intensité vibratoire restant la môme, on doit avoir A«4-B«=j»«+f*, ou (A + B)«-f-(A — B)« = a(p*+?«).
On en conclut t
ou
(A -- B)« =: 1 — sin i» sin (9 -H|»).
drcidAirMi tsTcrM*. — Considérons une vibration elliptique dont les vibrations axiales sont :
x = Asin Sic s> ■ y = B cosSx s*
Nous pouvons considérer la vibration suivant l'aie dea te comme composée des deux vibrations
If = -y- siD Sic ij; f «" = *-j- sin H ^ »
et la vibration suivant Taxe des y comme résultant des deux vibrations composantes
î/'=-2- ces Sx ^. î/"= cos2x^-
Or a/ et y' sont les deux composantes d une vibration circulaire dex-
A-+-B trogyre de rayon — - — , etx", y" les deqx composantes d'une vibration
circulaire siniêtrogyre de rayon — ^ . D'où ce théorème : une vibration
elliptique peut être considérée comme composée de deux vibrations circulaires de sens inverse, qui, rapportées aux axes de l'ellipse, ont la même anomalie que celle-ci. Le rayon de la vibration circulaire droite est égal à la demi-somme algébrique des axes de l'ellipse; celui de la vibration circulaire gauche est égal à la demi-différence algébrique des mêmes axes.
Nous avons vu, dans le paragi*aphe précédent, que si OX et OY sont les directions de deux vibrations rectangulaires, dont les amplitudes sont sin u et cos u, dont l'anomalie relative de OY pari*apport à OX est^ — f , et qui équivalent à une vibration elliptique dont les axes sont OX' et OY', on a
, lg2iA=tg8iicos(<p — ^)
fji étant l'angle, compté dans le sens di*oit à partir de OX', que fait OX' avec OX.
Si Ton pose —r — = r, — 5 — = ri» r et rj étant les rayons des deux
vibrations circulaii^es inverses dont la vibration elliptique est la résultante, nous aurons
o i cos2tt cos2u
cos 2 [x = —========= = — = — : —
y'i 4- tg* 2ttco5* (9 — f^) \i\ — sin« U sin* (<p— <^) ^'''** On ti*ouverait de même
. o sin 2i< / , .
HécomposltloB d'une vibration rectlIii^B« en deux vibrations
cireniaires inverses. — Une vibration rectiligne peut être considérée comme une vibration elliptique dont l'un des axes, B par exemple, est égal à zéro. On déduit immédiatement de ce qui précède qu'une vibra-
CHAP. Ml. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 249 lion rectiligiie, dont Tanipiitude est A, peut être décomposée en deux
vibrations circulaires de sens contraire, ayant 5- pour rayon commun.
Les axes de ces vibrations circulaires, entendus comme nous en sommes convenus plus haut, sont : la direction de la vibration rectiligne pour Taxe des x, et les deux directions d'une perpendiculaire à cette vibration pour les axes des y,
Composaotes rectilli^es de deux vibra tloos circalaircs laversés. — Considérons deux vibrations circulaires de sens inverse. Tune droite, de rayon r, dont les axes sont OX et OY (fig. 89); l'autre gauche, de rayon r', et dont les axes sont 0\\ et OV; OX' faisant avec OX, un angle j^, compté à partir de OX, c'est-à-dire de Taxe des X de la vibration droite, dans le sens dextrorsum, et cherchons quelle est la composante de ces deux vibrations sui* vant une direction OA, faisant avec OXun angle égal à ^ compté à partir de OX dans le sens droit. On voit facilement que cette composante est égale à
Fig. 89.
Ircosp + r'coslp— X) JsinSx^-f T— r sin^-f-ï-'sin (g— yj 1 cosS-jc^.
L'intensité I de cette composante est
l=zr* + r'* + Sff'cos (2^ — -/).
¥ibratloii elliptique prodalle par une lame erislalUne sunnon-
tam un polariseur reetiiigae. — Soit une lume Cristalline dont les sections principales sont Oo et Oe (fig. 90) , surmontant un polariseur
TT
dont la vibration, dirigée suivant OL, fait un angle a avec Oo et - — a
avecO^, ce qui suppose l'angle a compté à partir de OL dans le sens dexti*orsum. Après la traversée de la lame, la vibration rectiligne du polariseur devient elliptique, et les deux composantes de la vibration sont, en prenant Oo comme axe des x, Oe comme axe des y,
950 DEUmÈNE PARTIE. - CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
= cosasin27:U— M
y = sîn(isin
Pour appliquer ici les équations générales établies plus haut, il faudra changer « en «« et ^^ ^ <p en Sw —y- . Nous aurons ainai pour Tangle fi. que fait'avec Oo l'axe A de la vibration elliptique.
tg2jx=tg2acos27r^-^.
L'angle /ul est compté à partir de Oo dans le sens sinistroraum.
Quant aux axes A et B de l'ellipse, ils sont donnés par les équations
(A 4- B)« = 1 + siti Sa sin 2i; 2~ ,
- L (A — B)«= \ — sin 2(x sin fe ^^.
^^^' ^' Cette vibration elliptique se décomposera
en deux vibrations circulaires inverses, l'une droite dont le rayon est
Q , l'autre gauche, dont le rayon est —5 — •
La vibration elliptique est dextrorsum si A et B sont de même signe, c'est-à-dire, si (A + B)* est plus grand que (A — B)*, ou , en d'autres termes, si le rayon de la vibration circulaire dextrorsum est plus grand que celui de la vibration circulaire sinistrorstim , et inversement.
Pour qtie la vibration elliptique soit dextrorsum, it faut et il suffit
0 — e que sin 2a et sin Stt -'Y' soient de même signe. Supposons que la
vibration Oo soit la plus lente à se propager dans la lame, c'est-à-dire que
o-tf^e 4 ^ o-*^a
0 — e soit positif, et admettons en outre — r— •< 5» où sin 2w — r—
positif et ex < 00^. L'ellipse est dextrorsum t\ at est positif, linistrot^ ^
CIÏAP. Vn. - DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 25i
sum dans le cas contraire. On peut énoncer cette règle en disant que, lorsque le retard de la lame est égal à un nombre entier de Ion-* gueurs d*onde augmenté d*une quantité plus petite qu'une demi-longueur d*onde, le sens du mouvement vibratoire elliptique est celui du chemin que Ton parcourt en allant de la vibration du polariseur à celle des deux vibrations» transmises par la lame» qui est la plus lente à se propager. On sous^entend que Ton considère, parmi les directions des deux vibrations, celles qui font en^re elles un angle aigu.
Des valeurs de (A H- B)* et (A — B)- on déduit aisément celles de Aet B', qui sont :
2A*= 1 + s/l — sin« 2u sin* (<p — <»>) 2B« = 1 — v^i — sin«2usin*(9 — (j;).
De la valeur de tg 2;x on déduit les valeurs de sin !2ja et cos 2|x, qui sont :
sin^!/,
2,j^- sin2ticos(y — tj;)
\/i — sin* 2ti sin* (ç — ^)
cos2tt
Y^i — sin* 2ttsin* (ç — Ç;)
En fonction de A' et de B*, ces expressions prennent les formes suivantes :
. a sin 2a . ,v
a cos 2»
Des 4 équations que donnent Â, B, ^, on dédutt aisément :
sin tt sin (A sin (^ — ^)
lg4>— —
cos ticos[AH- sint<sin2i.cos(9 — ^)
On peut multiplier haut et bas par sinju, remplacer sin* fi et sin 2;x par leurs valeurs en fonction de A' et B*, et on obtient
é jt. . / .\A* — cos* a
â5S DEdXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGHAPHIE PHYSIQUE.
Cmm oA la lame crlsuailae est très mlaee. — Si la lame Cristalline est extrêmement mince, de telle sorte qu'on puisse négliger le
ô— e cube de Stt — : — , les expressions de A, B, d; et u se simplifient.
On a
^=l''\\/^-'^^'"''^' '*"' 2a = ^ (0 - ey sin« 2a
d*oîi Ton tire
Quant à |ui, on a
A=:l-^,-j(o-c)«sin*2a
B = - (o — c) sin 2i A
tg2|A = tg2ari-.^'(o-e)«]
d*où Ton tire
Si Ton pose a — fA = u» 6) est l'angle dont le grand axe de la vibration elliptique a tourné en traversant la lame, et l'on peut écrire
^t 2ic B '
0) = :J^ (o — c)« sin 2a cos 2a = -r- (o — c) « cos 2a.
Si l'on compte l'origine du temps un instant o après le moment où la vibration tombe sur la lame, la phase « acquise par la vibration elliptique est donnée par Téquation
^ 2?: , , ^^' — co8*x
tg<l>:=:-tg — (O-C)
OU
<^=-2x^^^in«a.
Si l'on compte l'origine du temps à partir de l'instant où la vibra-
A Br:
lorsque a=
lorsque a =
CHAP. VII. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 253 tion incidente vient rencontrer la lame, la nouvelle anomalie sera
^+-7-^' ^^ ^' ^*^" appelle la phase correspondant à Tanomalie
Oh — ^ 0, on aura
9=0 — (o — c)sin*a=:ocos*a+ csin^a.
FrodnciloB d'une ^ibrallon clrcalalre au moyen d*nne lame 4nari d*onde. — Si l'on a
on a et
La lame cristalline, que Ton dit alors quart d'onde^ donne ainsi naissance, dans ces conditions, à une vibration circulaire, droite dans le premier cas, gauche dans le second.
On peut donc avec une lame quart donde produire une vibration circulaire.
On prend ordinairement des lames de gypse ou de mica biaxe qui se lèvent très aisément en lames très minces ; les lames de mica sont préférées parce qu'elles sont moins fragiles. L'épaisseur d'une lame de
mica qui produit un retard égal à - > lorsque X correspond au jaune
moyen, est d'environ 0°"",032. Mais on ne mesure pas ordinairement cette épaisseur; on préfère choisir parmi de nombreuses lames de clivage celles qui donnent entre les niçois croisés et dans la lumière
blanche la couleur correspondant à - ^O'^^IST, c est-à-dire un gris
bleu. On s'assure en outre que deux de ces lamelles, superposées parallèlement, donnent la couleur correspondant à ,> ou un jaune paille. On peut enfin s'assurer rigoureusement» au moyen du compensateur
décrit page 180, si le retard d'une lame correspond bien à ^ •
Le mica blanc biaxe est négatif, et les lames de clivage sont perpendiculaires à la bissectrice aiguë. La ligne des pôles des lemniscates,
qu*on appelle souvent Taxe du mica, correspond donc à la direction de Taxe c ot, par conséquent, à la vibration la plus lente à se propager. Si Ton considère la direction de la vibration du polariseur, et celle de l'axe du mica qui fait avec elle une angle de 45^, le sens de la vibration circulaire est celui du chemin qu'on fait en allant de la vibration du po* lariseur à Taxe du mica.
Transfonmitl^ii d'une vlbmiion ellipili|ac on «ae vibration tiligac Ml aMyea d'aae lame ««art d'anile. — Les vibrations axiales d'un rayon elliptique ayant pour équations
X = A sin 2x y,
y=Bo08 8r J =Bsin U-r i+ f )
diffèrent l'une de l'autre par une anomalie égale & -i ou , ce qui équivaut, par on retard égal à ^ •
Si donc on fait en sorte que Tune des vibrations axiales soit retardée
de rb-ri les deux vibrations deviendront concordantes, ou ne seront en
retard Tune par rapport à l'autre que de - . Dans l'un et Tautro cas
ces*deux vibrationsperpendiculaires pourront être regardées comme les
composantes d'une vibration rectiligne.
La vibration elliptique aura donc été transformée en une vibration rectiligne.
Il suffit, pour produire cet effet, de placer sur le passage de la vibration elliptique, une lame quart d'onde dont Tune des sections principales coïncide avec l'un des axes de l'eUipse. Admettons que la lame quart d'onde soit une lame de mica et que l'axe de la lame soit parallèle à Taxe A de l'ellipse supposée dexirorsum (fig. 91), la vibration
suivant le petit axe subira un aeoroiatement égal à |. et les équations des vibrations axiales deviendront
Hg. ai.
it;=A8in5*:|,
y= — BsinSitL
CUAP. m -^ mVRliSES espèces de VIBRilIONS LUMINEUSES. 255
elles équivaudront à la vibration rectiligne OV, qui fait avec 0\ un angle fi donné par la relation
L^anglep est compté à partir de OY; dans le sens direct lorsque tg^ est positif; dans le sens gauche lorsque tg/u^ est négatif.
Folavlv^im ai nimljFceiuMi elv^nlulrea* «^ La combinaison d*une lame quart d onde superposée à un polariueur rectiligne, de manière que les sections principales de la lame soient à 45** de la Yibration du po** lariseur, est ce qu*on appelle un polariseur circulaire. Un semblable appareil ne laisse en effet émerger de la lame que des vibrations circulaires.
Le polariseur circulaire pourra être droit ou gauche suivant que les vibrations circulaires auxquelles il donne naissance sont droites ou gauches. Si A est Tamplitude de la vibration rectiligne incidente, le
rayon de la vibration circulaire émergente est -^*
Si Ton retourne un polariseur circulaire de manière que la lumière entre par la lame et sorte parle polariseur (qui devient un analyseur), on a un analyieur cireulaire^ qui ne se laisse traverser que par des vibrations circulaires d*un sens déterminé. Gela résulte évidemment de la réversibilité du rayon lumineux dont Tintensité est la même à Témergence et à Tincidence. 11 faut remarquer que la vibration circulaire qui soi*t de Tappareil lorsqu^il fait fonction de polariseur, tourne A la direction d avoi du rayon une certaine face ; et lorsque Tappareil fait fonction d'analyseur, c*est la face opposée de la vibration qui est tournée vers Taval du rayon. Comme le sens de la vibration change suivant celle des deux faces de la vibration qui est tournée vers Taval du rayon* il en résulte que le même appareil qui, comme polariseur, produit des rayons circulaires droits, ne laisse passer, comme analyseur, que des rayons circulaires gauches. ""En d'autres termes, en retournant un polariseur circulaire droite qjï obtient un analyseur circulaire gauche^ et réciproquement.
En superposant deux appareils identiques, Tun servant de polariseur, Tautre d'analyseur circulaires, on produit robscurité'.
1 . C'est ainii que si Ton a deux écrous identiques, et si on les superpose , en re^ tournant Tun d'eux sens dessus-dessouf; une vis, qui tourne dans le premier} est arrêtée par le second.
Si R est le rayon de \a vibration circulaire transmise par un ana^ lyseur circulaire, Taniplitude de la vibration rectiligne émergente
est R y/^.
Pour la production de ce phénomène, comme pour celle de tous les phénomènes dans lesquels inteniennent les polariseurs ou les analyseurs circulaires, on peut donner à ces appareils des azimuts quelconques sans que les phénomènes soient modifiés, puisque les vibrations circulaires ent toujours les mêmes équations, quels que soient les deux diamètres rectangulaires auxquels on les rapporte, pourvu que Ton change convenablement Forigine des temps.
liame crl«t«llUié«, placée entre un polarlaenr reetlllgne et nm «■alyseiir eirenlalre, o« entre un polarisenr elrenlalre et «■ aaaiysewr reetUI|pie, et exan^aée dans la laailére parallèle. —
Plaçons une lame cristalline entre un polariseur rectiligne et un analyseur circulaire. Le polariseur et la lame laissent passer une vibration elliptique équivalant, comme on Ta vu plus haut, à deux vibrations circulaires. Tune droite, dont le rayon est^ i /i-|-sin2a sin2Tr "y"
et Tautre gauche, dont le rayon est ^ i / j gin 2a sin 2?: — r— ; « «st
Tangle compris entre la vibration du polariseur et la section princi-
pale de la lame correspondant à la vibration de vitesse -« cet angle
étant compté dans le sens droit à partir de la vibration du polariseur. L*analyseur circulaire arrête Tune de ces vibrations et laisse passer Tautre. Si l'analyseur est droit, Tintensité de la vibration rectiligne
émergente est ^^ fi -h sin 2a sin Stt — t— ); s'il est gauche, cetle intensité est 5 1 ! — sin 2a sin 2;: — r— )• Si Ton suppose a=45«, ces intensités deviennent ^ ( 1 -f- sin 2:: — r— ) et
1/. . « 0 — ^\ . ./tt 0 — e\ /|f o—e\
jf 1— sm27r-T-- jousmM j4-7r -r— j et cosM - +-îf -r— j. Avec
la lumière blanche, la teinte est donc celle que Ton obtiendrait avecime lame cristalline dont le retard serait celui de la lame employée aug-
