CHAP. VIII. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES
Nous nous bornons à considérer la variation dV pendant la traversée du paquet, de sorte que 2e^sin2 y et Jledcos2y sont des quantités très petites. On peut donc remplacer cos2û par 1, puisque Terreur, qui est du deuxième ordre, est multipliée par une quantité très petite; on peut d*ailleurs toujours remplacer sin2Q par 20, puisque l'erreur commise n'est que du 3® ordre : on a ainsi
dfU = '^le^ sin2Y — — ûSeS ces Sy •
Dans le 2« membre, le i*»'" terme est du 1®' ordre de grandeur, et le 2« terme du 2® ordre. Le !«' terme s*annule à la sortie du paquet, puisque nous avons vu que, pour un paquet,
SsB sin 2y = 0 ;
on aura donc, pour la variation dV produite par la traversée du paquet <ïonsidéré :
rfU = — —ûSeS cos 2y.
Or, si nous nous reportons à ce qu*on a vu plus haut, nous verrons que S£(îcos2y représente AdE, A étant le retard causé par le paquet, c'est-à-dire la longueur On qui ferme la ligne polygonale 012... n de la figure 96. Nous pouvons donc écrire :
2ic (a) <nj= — — SArfE.
Occupons-nous de dù\ l'expression générale s'appliquera encore ici en substituant à y la valeur y — Q, que Ton peut supposer constante pendant la traversée d*un paquet. On aura donc
dû=Ç^U-fu-i-y]£3cos2(Y-û)
Nous appelons u la valeur très petite de l'accroissement r/U, qui se produit après la traversée d'un certain nombre de lames du paquet. La valeur totale de dû, après la traversée de toutes les lames du paquet, est ainsi :
dû = ^D268cos2(Y— û)-|.^2(u + j)68cos2(y — û).
280 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGMPHIE PUYSIQIE.
Le signe ^ indique la somme des termes analogues à celui qui esl écrit, et se rapportant successivement à chacune des lames qui composent le paquet. En développant les cos2(y — 0) et remarquant que Ton peut faire sin ^J Q — 2Q, et cos20 = 1, puisque cos20 esl multiplié partout par des facteurs du 1" ordre de grandeur, nous aurons, en supprimant toujours les termes du 5® ordre :
,/û ::= !f cSeg CCS 2y + ^ 2 fii + V ) s^ ces 2y + ^ûUSsS sin 2y •
Comme nous venons de le faire remarquer, on a Ile$cos2y = \dEy
et S6^sin2y = 0. Quant ^^^ ~r ^ (''+ "g- ) £cîcos2y, il représente rdE (Y. p. 273) ; on aura donc :
(b) dû=— UArfE + r(iE.
Les équations (a) et (b) sont les équations différentielles simultanées en U, û, d\, dû, qu'il s*agit d'intégrer pour obtenir les expres-% sions de U et û.
Pour ne pas embarrasser inutilement les calculs, nous poserons
-— A = ^ ; les équations deviendront alors :
</U=— ût|/dE,
Si Ton élimine dE entre ces deux équations, on obtient
— ^QdQ = m + r)(AJ, ce qui donne par l'intégration
la constante étant nulle, puisqu'on doit avoir U = 0, pour û = 0. On tire de cette équation
CHAP# VlU. — LAMES MENCES SUPERPOSÉES. 281
Transportant cette valeur de U dans Texpression de dO^ il vient
ou
dQ = ±^dE^'~Q^
i^p , ^ dCl
il faut prendre le signe 4-, puisque pour v{;= 0, on doit avoir do. = -\-rd^. L'intégration donne
(bE = arcsin!lû, r
la constante étant encore mille, car on a û = 0 pour E==0. Cette expression peut se mettre sous la forme
12 = -sintbE.
Portant dans l'expression de tflj, il vient
(/D==— rsint|;E.dfE, ce qui donne, en intégrant,
U=7Cosd^E + C. .
On doit avoir U = Opour E = 0, c'est-à-dire C = — ,etparcon-
séquent
r ^. 2r . \IE
En remplaçant ^ par sa valeur — A, les deux expressions de û et U se mettent sous la forme
sm — EA (4) Û = rE
282 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTÀLLOGRAPfflE PHYSIQUE.
sin'^EA
(5) U=: — rE
On déduit facilement de ces deux expressions
(6) U = -ûtg^EA, ou
(7) U cos^EA + û sin^EA = 0.
Remarques sor les valeurs de U et de û. — Les valeurs de U et
de û sont proportionnelles à r et à l'épaisseur E de la pile. 11 faut se rappeler que r a pour expression
et qu'il est ainsi proportionnel à l'épaisseur dE du paquet, à l'aire «o qui dépend de la nature et de l'arrangement des lames de paquet, et qu'il est enfin en raison inverse du carré de la longueur d'onde X, si l'on néglige la dispersion cristalline des lames qui composent le paquet. La vibration rectiligne incidente a été supposée parallèle à l'une des sections principales de la pile, celle pour laquelle la vibration est en retard de A sur la vibration dirigée suivant la section principale perpendiculaire. Si la vibration était dirigée suivant cette seconde section perpeildiculaire,û aurait la même valeur absolue et le même signe; mais U, qui conserverait la même valeur, aurait un signe contraire, puisque A changerait de signe.
Les deux vibrations rectilignes incidentes dirigées suivant les deux sections principales de la pile donnent donc, à l'émçrgenccdes ellipses dent les grands axes respectifs ont tourné l'un et l'autre, et dans le même sens, du même angle û, par rapport à la vibration incidente. Mais ces deux ellipses sont de sens différents ; si l'une est dextrogyre, l'autre est lévogyre, et inversement.
Soit, rapportée à Tune des sections principales de la lame, la vibration incidente
«s=psm2TCs*
