ÉLASTICITÉ
g I. -- DÉFORMATION DES SOUDES
Si on soumet un corps solide à des forces extérieures, celui-ci subit une déformation, et lorsque cette déformation est devenue permanente, il s*est établi un certain équilibre entre les forces extérieures et les forces intérieures moléculaires qui ont subi à cet effet des modifications convenables sous Tinfluence de la déformation même. Si cette déformation est très petite, lorsque les forces extérieures sont supprimées, les forces intérieures reprennent leur première valeur et le corps reprend sa première forme. On dit alors que Tèlasticité du corps est mise en jeu.
La déformation d*un corps quelconque, et plus particulièrement d'un corps cristallisé sous Tinfluence de forces extérieures est de deux natures : 1* Il y a déformation du système i*éticulaire formé par les cen« très de gravité des molécules ; 2* il y a déformation ou rotation de la molécule autour de son centre de gravité* Ces deux déformations sont évidemment liées Tune à l'autre, de telle façon que si la première est
i. Je me suis principalement aidé, dans la rédaction de ce chapitre, des beaux tra-« vmde M. B. de Saint-Venant. [Mém&ires diven, insérés dans le Journal de tnathé^ mottfuei, et ilotes ei appendice contenus dans la nouveile édition de Navier (1804;. |
donnée» la seconde Test aussi. Hais tandis que la première déformation se traduit par dea^ modifications observables dans la forme extérieure du corps, la seconde ne se traduit que par des modifications inobservables, d'une nature très complexe et très obscure, dans les propriétés physiques du corps. La relation qui lie ces deux déformations est d'ailleurs complètement inconnue.
Laissant de côté la déformation moléculaire, nous ne nous occuperons que de la déformation réticulaire au moyenne laquelle nous définirons la déformation complète du corps. La déformation réticulaire s*exprime par le déplacement qu'ont subi les nœuds. Ce déplacement est une fonction continue des coordonnées du nœud par rapport à des axes fixes. Cette fonction continue assigne des valeurs aux déplacements fictifs des points situés entre les nœuds, et l'on peut substituer au milieu discontinu un milieu fictif continu, dont le déplacement est exprimé par la fonction précédente.
DéBiiitton de la déformation réilonlalre. — Ellipsoïde de défor*
mation. — Supposons donc un corps solide ayant subi un£ déformation quelconque. Un point qui était primitiTement en 0 et que Ton prend
A x-y 8 P^^^ origine des coordonnées, est venu
— *-n occuper la position O^ et les projections de son déplacement sont u, v, u;. Un point B très voisin de 0, et dont les coordonnées sont a:', y', 2' (a/, y', 2' étant très petits), vient en B^; et les projections du déplacement BB^ sont u -h duy V + dv,w + dw. Si Ton donne à tout le corps une translation égale, parallèle et contraire au déplacement de 0, le point B prend la position A (x, y, z) et le déplacement de B par rapport à 0 supposé fixe, à pour projections du, dv, dw. 11 est évident que OA et OB se trouvent dans les relations convenables pour appliquer la théorie générale du chapitre précédent. Lorsque B décrit une sphère, A décrit donc un ellipsoïde, ou, en d'autres termes, si l'on considère la déformation d'un corps solide dans un très petit rayon autour d'un point 0 quelconque, les points qui se trouvaient avant la déformation sur une sphère décrite de 0 comme centre, se trouvent, après la déformation, sur un certain ellipsoïde. Il est clair d*ailleurs qu'on ne se trouve pas ici dans le cas de l'égalité symétrique, car« la déformation étant quelconque, on peut tordre le
corps autour d*une certaine droite, ce qui donne aux deux directions de Taxe de la torsion des propriétés différentes.
On peut, dans l'espèce, établir immédiatement les relations linéaires qui lient les coordonnées x, y, 2; de  aux coordonnées af^ tfy z* de B. On a en effet :
En comparant ces équations avec les équations (3) du chapitre I (p. 7), on voit que :
du dx*
^V=^+Py'
4^ du
^y dz
w -If.
On suppose maintenant très petites toutes les différentielles partielles de Uf v, w par rapport à x, y, 2, et on va chercher quel est, dans ce cas particulier, la signification physique dé ces divers coeflicients.
Si Ton suppose que le point B [x'j j^, z') est pris sur Taxe des z^ c'est-à-dire si l'on fait ^=0 et 2/= 0, les coordonnées du point  cor respondant, que l'on désignera pour éviter la confusion par x^, y^t %xy seront
x^=x%^^ yx=^^. «^=«'C.
La dilatation de l'unilé de longueur suivant l'axe des x est, pour les points de l'axe des x^
* 05' * dx
ou :
On trouverait de même :
et
Pour trouver la signification physique de (j on remarque d*abord que :
Soit A (ûg. A) la projection, sur le plan des ay d'un point A cor-
respondant d'un point pris sur Taxe des X. L'angle xOk estlrès petit, puisque la distance qui sépare deux points correspondants A et B est un infiniment petit du deuxième ordre.
La distance de A à 0 est Q/ \ on aura donc :
FiiT. i.
anyle .lOA „= Kjf,
ou, puisque x et x' ne diffèrent que d'un infiniment petit du deuxième ordre,
angle xOk^=z^z= Q ^y.
Les angles seront positifs lorsqu'ils seront comptés des x positifs aux y positifs, négatifs dans le sens contraire.
Si l'on projette de même en A sur le plan des xy un point A correspondant à un point pris sur Taxe de y y on aura :
angle t/OAy= 'jL ^ () ^,,,
Les angles seront encore positifs lorsqu'ils seront comptés des y positifs aux vT positifs et négatifs dans le sens contraire. On a donc :
i)0«-A^OA^=r.rOA,4-//OA,.
La différence
angle xOy — angle A ^.OA
est la diminution subie après la déformation par Tangle des axes coordonnés X et y. En appelant a^ cette diminution, on aura :
LfOrsque les axes seront rectangulaires» a^ pourra être considéré aussi
comme la diminution du dièdre rectangle formé par les deux plans coordonnés xz et yz.
On aura de même pour les variations du dièdre dont les arêtes sont parallèles aux x et aux y
**— ^ ^-^ ^ ^y dx^ dy
Les équations (4) et (6) du chapitre I (page 8) donnent immédiatement» en y introduisant les d et les a :
+ nçn^8j, + |4-(m^pç+mçp^)4
L*équation (7) (page 9) devient :
1 =3^ 8^ -f y* 8y + «* 8,+a:y a, 4- «2 «^ +yx a^^.
Cest l'équation d'une surface du second degré dont les rayons vec-
teurs sont égaux à -1=. Cette surface est un ellipsoïde si les d^, a^, a,,
sont positifs. Dans ce cas, toutes les dilatations sont donc positives. Si Tune des dilatations i^, *,, *, est d'un signe contraire à celui des deux autres, la surface se compose de deux hyperboloides conjugués. L'un correspond aux dilatations négatives, l'autre aux dilatations positives. Le cône asymptotique commun à ces deux hyperboloides comprend}
34 DEUXIÈME PilRTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
toutes les directions pour lesquelles la dilatation est nulle, et auxquelles ne correspondent que des déplacements tangentiels. Les 3 axes de ces hyperboloîdes conjugués sont les directions pour lesquelles les a. sont nuls, c'estrà-dire que ce sont les droites auxquelles correspondent les axes de rellipsoîde de déformation.
La grandeur du petit volume dxdydz est devenue, après la déformation, dx{l+ij^).dy (l-h^J. d%{i + d^. ou, à cause de la petitesse
de d, dxdydz. (l4-^,4-^„4-^,)f La sonmie ^,+^,4-d, = B est donc la dilatation de Tunité de volume. Cette somme est constante, quels que soient les axes coordonnés choisis, comme cela doit nécessairement être
et comme il est faci le de le déduire de la constance de yO^ -f- v&^ + y^, (page 8).
En employant le ipême genre de notations symboliques qu'à la page 9, on peut poser :
et les deux formules (1) et (2) sont représentées par la formule symbolique unique :
dans laquelle il est loisible d'intervertir l'ordre des facteurs, puisque <2^=<2y,, et dans laquelle ( et jq représentent deux coordonnées quelconques qui peuvent être identiques.
En posant symboliquement :
on peut donc écrire :
CondliloBS pour qoe six quantités puissent représenter les i et les a caractéristlqnes d'nne certaine déformation. — - Les six quantités à et a, fonctions de x^ y, z, dépendant des différentielles partielles de trois quantités u, Vj w^ ne sont pas complètement arbitraires. 11 doit donc y avoir entre les différentielles de ces six fonctions des relations exprimant qu'elles sont susceptibles de représenter la défor-
CHAP. n. - ÉLASTiaTÉ. 25
mation d*an corps. Il est très aisé de trouver ces relations en éliminant» par la différentiation, u, v, w entre les six équations qui donnent les valeurs des d et des a en fonction des différentielles partielles de tt, Vy w.
Si on porte dans Texpression de a, les valeurs de u et v déduites de celles de ^ et ^ , on a :
En différentiant deux fois par rapport à d^r et dy^ on a la première des trois équations ci-dessous» dont les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue :
^dydz d*z dx*
d^i»d% d*^z dydz dz* dy*
Si Ton prend les différentielles ^> ^i ^> on a
^ '^ dz dy dx
doLz d'tt d^v
dz dz dy dz dx ddy dhi dho
dy dy dz dy dx
doLx dFv dho
dx dxdx dxdy*
d*où l'on tire :
^ dhi dût* ju^^ ^*
dzdy Ibî dy dx
En différentiant les deux membres de cette équation par rapport à dx,
et remarquant que , , , =~-^> on obtient la première des trois ^ ^ dzdydx dydz
équations ci^lessous» dont les deux autres s'obtiennent de la même façon:
" (hjdz
2 '-^■" = (Ixdz
dx \ (hj dz dx
ddx dx dij \dx dz
dx, (/a,/\ ilr. du /'
ilxdif
d IdXj: dx,, dz \ dx dtj
ax-
