IZ

Les deux syslèiues d'équalioiis (7)} et (4) expriment des conditions de compatibilité nécessaires, auxquelles doivent satisfaire, pour un corps

quelconque déformé, les six fonctions cî et a représentant une déformation, très petite aulour de chaque point.

^ II. — FORCES ÉLASTIQIKS.

Ellipsoïde ci*éia»tl«lt4^. — Si dans un solide déformé et en équilibre on considère un certain plan P (fig. i) qui le divise en deux parties M et N, la suppression de la partie X troublerait l'équilibre qui ne pourrait être rétabli qu'en appliquant sur les divers points du plan P

^ des forces convenables. Les forces

qu'il laudra appliquer sur les "" points d'un petit élément de surface o pris sur ce plan et contenant le point 0, seront sensiblement parallèles et égales; elles donneront donc une résultante parallèle et égale à leur somme, c'esl-à-diie proportion-

Y nelle à l'aire o). Cette résultante F, divisée par w, ou — est ce que Ton

appelle la force élastique exercée au point 0. Si OA représente en gran-

deur et en direction -, et si l'on prend sur une normale au plan P,

menée en 0, une longueur OB représentant la grandeur de l'aire w, le point A et le point W sont liés entre eux de la même manière que les points A et W du chapitre 1. Lorsque \\ déc-rit une sphère, A décrit une ellipsoïde, ou, en d'autres termes, les forces élastiques exercées sur les divers plans qui se coupent en un même point, sont représentées en grandeur et en direction par les rayons vecteurs d'un certain ellipsoïde.

(mP. II. — ÉUSTICITÉ. 27

La définition qui vient d*être donnée de la force élastique est très simple, mais elle ne donne pas une idée nette des actions qui concourent à engendrer cette force. Dans un sujet aussi délicat et sur tous les points duquel les savants ne sont pas même entièrement d*accord, il importe de ne laisser dans Tesprit aucune ambiguïté, et il parait nécessaire de scruter de plus près Tune des notions fondamentales qu'on rencontre au début de la théorie.

La force élastique, définie comme elle Ta été plus haut, est évidemment une certaine résultante des actions que les dernières parties du corps cristallin exercent mutuellement les unes sur les autres. Or on a TU qu'un corps cristallisé est nécessairement constitué par des molécules identiques entre elles et groupées de manière que les centres de gravité ou des points analogues quelconques de ces molécules forment un système réticulaire. Chaque molécule est formée à son tour d'un nombre fini ou infini de petites portions de matière qui peuvent ne pas être identiques entre elles, dont oiv peut toujours supposer les dimensions assez petites pour pouvoir être négligées, et que nous appellerons les atomes.

Lorsque le corps est en équilibre, il y a équilibre entre les centres de gravité des molécules, et il y a aussi équilibre dans l'intérieur de chaque molécule, entre les atomes qui la composent. Il faut ajouter que les centres de gravité des molécules sont nécessairement immo^ biles, car il serait impossible d'imaginer pour un point un mode vibratoire qui conservât au système réticulaire la symétrie accusée par les phénomènes de la cristallisation. On ne pourrait concevoir autre chose qu'une succession rapide de vibrations dans tous les sens qui annulerait 1 Influence de la symétrie de la molécule et ferait disparaître la cause même de la symétrie du réseau. Les atomes, dans l'intérieur de la molécule, peuvent au contraire vibrer, car il suffit, pour sauvegarder la symétrie, que des atomes identiques aient des vibrations identiques suivant les différents axes et les difTérents plans de symétrie de même nature. Le système réticulaire et la molécule sont séparément en équilibre, mais l'équilibre de l'un est intimement lié à celui de l'autre. Ou peut donc se borner â étudier l'équilibre du système réticulaire ; c'est du reste le seul que l'on puisse étudier aisément, car les forces mécaniques extérieures, au moyen desquelles nous pouvons modifier la forme d'un corps, agissent exclusivement sur le système réticulaire, et n'ont sur la molécule qu'une action indirecte dont nous ignorons entièrement le mécanisme.

L*ëqiiilibre du système rèticulaire est déterminé par les actions mutuelles des nœuds de ce système ; mais ces actions mutuelles, si on peut encore les considérer comme s'exerçant entre deux nœuds suivant la droite qui les joint, ne peuvent plus être regardées conune fonctions de la distance seule des deux nœuds, puisque, cette distance restant constante, les actions peuvent varier par suite de la déformation des molécules dont les nœuds sont les centres de gravité.

Si on mène par un point 0 quelconque de ce milieu, un plan P qui le sépare en deux portions H et N ; on prend dans le plan P, autour de 0, une surface (ù' infiniment petite, même par rapport à la distance qui sépare deux nœuds voisins. On prend dans la partie M du milieu un nœud quelconque m et dans la partie N un nœud n tel que la ligne mn traverse Taire- &)^ Par suite des actions élastiques que met en jeu la déformation supposée du milieu, le nœud n exerce sur le nœud m une force dirigée suivant mn, et fonction de la distance mn. Si l'on joint m à tous les nœuds de N tellement placés que la ligne qui les joint à m traverse &>', les forces exercées par ces nœuds sur m auront une résultante qui passera par m, et dont la direction traversera tù* en un certain point jui auquel on pouiTa la supposer appliquée. Si Ton substitue successivement à m, dans la construction précédente, tous les nœuds de M, susceptibles d*étre sollicités par les actions émanant des nœuds de N, toutes les résultantes appliquées en &>' viendront se couper en des points infiniment peu distants les uns des autres, et pourront être considérées comme donnant une résultante unique R appliquée en &)'. Si Ton prend tout autour de cù' des aires égales, chacune de ces aires pourra être considérée comme sollicitée par une résultante égale et parallèle à R. Si donc on prend une aire m infiniment petite au point de vue physique, mais très grande par rapport à&)', chacun des éléments a>' de cette surface est sollicité par une force R, et Taire totale o) pourra être considérée comme sollicitée par une résultante parallèle à R, et dont la grandeur contient autant de fois R que &> renferme de fois (ù\ c'est-à-dire que ta est sollicité par une force représentée par (k)F, F étant une certaine force fictive qui serait appliquée sur Tunité de surface du point P, au point 0 autour duquel a été tracée Taire &).

Si Ton prend sur une noimale au plan P menée en 0 une longueur représentant &), et si Ton prend sur la direction de la résultante &)F une longueur proportionnelle à F, ces deux longueurs sont bien, comme il a été déjà dit plus iiaut, dans les relations réciproques auxquelles s'applique la théorie générale du chapitre I. On se trouve d'ailleurs dans

le cas de l'égalité symélrique, car, en vertu de l'égalité de l'action et de la réaction, les actions moléculaires» .dont la force uF est la résultante sont égales et contraires suivant les deux directions opposées d'une même droite.

Les équations (3') du chapitre I donnent immédiatement, en y rem-

plaçant, pour éviter la confusion, ^, <^//, (T par X, Y, Z et les /Ô et ^ par iN et T :

„^'N,4.n'T,+/>'Ty, m'T^-t-n'Ny-hp'T,, :m'Ty-hn'T^-M>'N,.

X, Y, Z sont les composantes de la force élastique F qui s'exerce sur le plan dont la normale fait avec les axes des angles ayant respectivement pour cosinus m', n', p'; Nx, T,, T, sont les composantes, suivant les axes coordonnés des a?, y, z de la force élastique qui s'exerce sur le plan des yz normal aux x; T,, Ny, T, sont les composantes.de la force élastique qui s'exerce sur le plan des 2X normal aux y; T,, T^^, N^ sont les composantes de la force élastique qui s'exerce sur le plan des xy normal aux z.

L'égalité du cocfQcient de n' dans X, et du coeflicienl de m' dans Y, montre que la composante suivant les y de la force élastique qui s'exerce sur le plan normal aux x, est égale à la composante suivant les x de la force élastique qui s'exerce sur le plan normal aux y.

On démontrerait directement ce théorème en isolant dans le corps un petit prisme dont ks arêtes dx^ dy^ dz seraient parallèles aux axes coordonnés. Ce prisme (fig. S) est en équilibre sous l'action de forces élastiques qui s'exercent sur ses faces, et, autour de l'axe des 2, il est sollicité à tourner par deux

couples, l'un ayant pour bras de levier dy, et pour force dx dz Ty^, l'autre ayant pour bras de levier dx^ et pour force dy dz T^y ; l'équilibre exige donc :

dy.dxdz T„^ = dx.dydz T^p^ ,

Fig. 5.

Vellipsoïde crélasticité étant rapporté à ses axes, a pour équation

A^ ■^ir^'^ir^ — *^

en appelant A, B, C les composantes normales des forces élastiques qui s'exercent sur les plans perpendiculaires aux axes de Tellipsoïdc.

On sait (voir pages 14 et suiv.) comment, au moyen de la surface principale dont l'équation est :

on peut déterminer le plan sur lequel s'exerce une force élastique de direction donnée ou réciproquement. Lorsque A, B, C sont de même signe, c'est-à-dire lorsque les plans perpendiculaires aux axes de l'ellipsoïde, subissent des pressions normales de même sens, ou lorsque ces plans sont tous tirés ou tous pressés, la surface principale est un ellipsoïde. Dans le cas contraire ce sont deux hyperboloïdes conjugués. Les plans tangents au cône asymptolique commun à ces deux hyperboloïdes sont des plans sur lesquels ne s'exerce aucune composante normale.

Pour les composantes des forces élastiques qui s'exercent sur les trois plans d'un triédre trirectangle dont les directions des arêtes sont désignées respectivement par Ç, /;, ç, les formules (4) et (5) du chapitre I (page 8) donnent immédiatement :

(m'-vX +n«rN -hp\^.

(O) Tv = ( -I- :^ j^ 1/ • \ \ T, i Z, • Ci I T,J If

g m. — RELATIONS ENTI\E LES FOUCKS ÉLASTIQUES ET LA DÉFOHMATIOX

CoefflcieatM élaNtlques. — On isolo, par la pensée, dans l'intérieur du milieu, un petit prisme rectangle dont les arêtes infiniment petites dx, dy, dz sont, avant la déformation, parallèles aux axes coordonnés. Sur chaque face du prisme déformé on peut supposer appliquées lesforces élastiques correspondantes sous l'action desquelles le prisme estenéqui-

CHAP. IL - ÉLASTiaiÉ. 51

libre. La déformation du prisme est comiue si l'on donne les longueurs très petites ^x« ^^t ^» qui représentent les dilatations de Tunité de longueur suivant les axes coordonnés, et les angles très petits a^» «y, a, dont ont varié les dièdres ayant dx, dy^ dz pour arête; respectives, pourvu qu'on y ajoute la petite rotation qu*il faut donner au milieu tout entier pour amener les axes de l'ellipsoïde de déformation en c<Mitact avec leurs droites correspondantes.

Ce dernier mouvement de rotation laissant aux molécules du corps leurs positions relatives ne développe aucune force élastique. On peut donc, lorsqu'il s'agit de déduire les forces élastiques de la déformation qui les engendre, négliger ce mouvement de rotation et considérer la

déformation comme complètement définie par les ^'et les ol.

Si l'on ne considère que des déformations suffisamment petites, on peut regarder les forces élastiques comme proportionnelles à la déformation, et l'expression de chaque composante de la force élastique comme composée de 6 termes dont chacun est formé d'un facteur constant, ou ne dépendant que de la configuration du milieu au point

considéré» qui multiplie une des 6 quantités ix^ ^y, ^zf ^xi ^y» oc^. Pour la symétrie des formules, on convient d'appeler :

A^ le coefficient de 8^ dans N^,

C^. D^, Fj. les coefGcients respectifs de a^, a , a^ dans N^, VDy.F^ - - - Ny

C'^, C'y, C, les coelTicients respectifs de 8<p, Oy, S, dans T^

F'^t F'y, F', — — — Ty

çS^g le coefficient de a^ dans T^ eP^ — a T

— Ny.

c7c . !♦- coolïiciont do a. clans T,

CA) xjx — ^.r ~" %

Ole.

Les forces élastiques qui s'exercent sur tous les plans passant par Torigine des coordonnées étant connues lorsqu'on donne les 6 composantes Nj., N , N^, ïj., T^^, T^, et l'expression de chacune de ces composantes contenant G coefficients, il faudra, dans le cas général, donner 5G coefficients pour qu'on puisse déduire les forces élastiques de la déformation qui les engendre.

Béduction de» 38 coeflicleat» élastiques A tl. — Mais On peut

faire voir, avec Green, qu'il n'y a, en réalité, que 21 coefficients distincts au plus.

Les forces élastiques qui s'exercent sur les faces d'un petit prisme rectangle dont les arêtes, parallèles aux axes coordonnés, sont égales à ef.r, rii/, àz^ ont produit, pendant une déformation très petite, un certain travail mécanique. 11 est facile d'en tiouver l'accroissement différentiel. En effeè, à une variation (/.rr/Cx de la distance des deux faces du prisme sur lesquelles s'exerce la pression normale Axjdz^^, correspond un travail dxdijih^ à =x.>iN (J , en désignant par iJ le volume du