XX X X
prisme. A une rotation angulaire d (j^ du plan zx autour de l'axe des.r, correspond un déplacement </5fi (^ du point d'application, une force
dxdyT , et par conséquent un travail //^Jjv///T // (^; =:i'^T d C- •
De même à un déplacement angulaire d Q du plan zrj correspond un
travail '^T d (j , et la somme de ces travaux est égale à !•'> T [à (j^
L'expression de raccroissement différentiel du travail, rapporté à Vîiniié de volume^ est donc :
di[^z=y (7o +>' d^ 4-N do 4-T a -h T dx -f-T dx .
XX !( y iî XX y y z z
Mais le travail total <i>dont d cp est la différentielle ne peut être fonction que des â et des a, c'est-à-dire qu'il dépend uniquement de
CHAP. n. -ÉUSTiaTÉ. 55
de l*état initial et de Tétat final du corps, et qu*il est indépendant des étals intermédiaires. Il est facile de le démontrer. On suppose que pendant la déformation le corps reste toujours en
Pig. 6.
équilibre sous Faction antagoniste des forces extérieures et intérieures, et qu'en outre la température reste constante grftce à la présence d*un corps étranger qui fournit en entier à chaque instant la chaleur absorbée ou produite par la variation d'énergie intérieure. En passant de Fétat initial indiqué par Tindice 0 à Tétat final indiqué par l'indice 1 » on a développé une quantité de travail égale à tj ((|>t — ^o) ('^^ étant le volume du corps), et on a recueilli une quantité de chaleur égale à la diflèrence xi (U| — Uq) des énergies intérieures initiale et finale du corps. Si Ton ramène le corps à l'état initial en le faisant passer par une série de transformations différentes de celle qui a été réalisée d'abord, on devra fournir une quantité de chaleur précisément égale à vi (U^ — llo)» car l'énergie intérieure du corps ne dépend que de son organisation interne et de sa température. Quant au travail recueilli, il ne serait pas égal au travail dépensé dans la première série de déformations, si 4i — $0 ^^ dépendait pas uniquement des états initial et final; mais celte hypothèse est inadmissible, car si elle était exacte, on aurait, à la suite des deux séries inverses de déformations qui ramènent toutes choses à l'état initial, créé ou détruit du travail, ce qui est impossible.
On déduit de ce théorème que, dans Texpression de <{4», les N et les T sont les dérivées partielles du premier ordre par rapport aux 9 et aux a d'une même fonction (|>. Les 36 coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont ainsi les dérivées partielles du second ordre, par rapport aux i et aux a, de cette fonction 4». Il y a donc, entre ces S6 coefficients, des relations du genre de celle-ci :
CKtSTALLOGRAPRIE. T. H. 5
j— jr = -r-T-' Le nombre de ces relations est éfçal à celui des combidxdy dydx °
naisons deux à deux de six quantités, c*est-â-dire à quinze. Les 56 coefficients se réduisent donc à 21 coefficients distincts au plus.
Il est aisé, d'après ce qui précède, de former les expressions définitives des N et des T. On a en effet :
d^, " " ' de, d^y " 'y' <%'" ''^' <ioycfoL, y' '
et par conséquent
On aura évidemment de même :
On a encore :
d7.r '' doi^d^^ '' dB^ ^' dàxdiXx
et par conséquent :
On démontrerait de même que On a eniin :
et par conséquent
On démontrerait de même que
CHAP. n.— ÉLASTICITÉ. 35
Si Ton confient, pour abréger l'écriture, de représenter B par B^,
par ^y, etc., les expressions définitives des Net des T seront en résumé:
N^=A,S^+B,8y + ByS,+ C^«^+ D^a^-I. P,a,
Les coefpcients A sont quelquefois appelés ^lasticUç^ directe^ pq
longitudinales; les B élasticités latérales, les c5^ élasticités tangentiéUes ou de rigidité; les autres soqt les élasticités asymétriques.
Les six lignes horizontales et les six lignes verticales du tableau formé par les seconds membres de ces équations sont i*espectivement identiques. 11 en résulte évidemment que si Ton forme la somme
K ^x H- 8y dNy + 8, dN, + a^dî^ + etc...,
le coefficient ded^^, qui est la première ligne verticale du tableau, est égal A N^. On a donc :
On en déduit encore :
2rf*=^(NxS,) + ^(Ny 8y ) + + rf(Txa«) + • • • •
et parconsèquenl en appelant ^^ le travail total pi-oduit par la déformation et rapporté à Tunité de volume,
«jMboU^piM doanaai !•• €»p*«Milo«« des W «t T. —
On peut donner aux expressions des N et T une forme symbolique remar-
quable, en employant un système de notalions analogue à celui dont on a fait usage pages 9 et 24. On pose les expressions symboliques
^x^Pxx^PxPt^ '^x^Pyz = PyPzy
analogues à celles de la page 9 ; on remplace les ^ et les a par les symboles de la page 24, et on convient de désigner par a^^^, le coef-
ficient de d ou - oc dans P ou T^; en convenant toujours que Ton
aura l'expression symbolique
xijyz X y y 2
Les expressions (6) peuvent ôtre alors remplacées par la formule générale :
Pxy = ^xy(^xx ^xx +«yy ^yy"^ + ^^xyâxy + )
formule dans laquelle x et y sont des coordonnées quelconques qui peuvent élre identiques, et dans laquelle il est permis d'inverser les deux facteurs. On remarquera que le deuxième facteur est constant, quel que soit ». Si Ton pose d'une manière générale
Px^^x{<^x'^x + <^y'^y -^^z'^z)^
on pourra encore écrire :
Pxy=^PxPy^
Si l'on applique ces formules à une coordonnée prise par rapport à des axes rectangulaires quelconques ^^ri^^y on aura :
pç=fl.(açr/j+ ....), Plrr^P^Pr:
On se propose maintenant de chercher les coefficients a, qui conviennent aux axes ^^ n, 'Cy quand on connaît ceux qui conviennent aux axes .r, y, z. Pour y arriver, dans l'expression :
CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 57
déduite de la formule de la page 9, en remplaçant 9^ par />, on remplace p«, />y» p«, par leurs valeurs en d^, d,, (Is, on a :
ennuie qui ^'identifie avec la valeur précédente depg, si l'on pose
c'est-à-dire si Ton admet que aç est la projection sur Taxe Ç de la force
symbolique a, dont les composantes sont a«, Oi, at . Le second facteur du deuxième membre devient alors en effet, dans les deux équations, le travail de la force a correspondant au déplacement symbolique à dont les projections sont d«, d,, d,.
La formule générale de transformation cherchée est donc
dans le deuxième membre de laquelle il faut remplacer les expressions o^, a^ par leurs valeurs symboliques en a^, a,, etc.
Foveca élastiqiies émnm les mllleiiz qnl possédeai des éléBiento
dé sTaiétrle. — Quelle que soit la nature des éléments de symétrie qui se rencontrent dans la structure du milieu considéM, on ne peut rien en déduire touchant la position ou la grandeur relative des axes des ellipsoïdes de déformation ou d'élasticité. En effet, les i et les a, les N et les T ne dépendent pas seulement de la nature du milieu, mais encore des causes extérieures, plus ou moins dissymétriques, qui déforment le corps et mettent en jeu son élasticité.
Les coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont au contraire indépendants des i et des a, et ne dépendent que de la
nature du milieu ; ils doivent donc être affectés par la symétrie de celui-ci.
flan de symétrie. — Système binaire. — Supposons, par exemple, qu'il y ait dans le milieu un plan de symétrie perpendiculaire à l'axe des z. Si l'on imagine une déformation telle que l'ellipsoïde de déformation ait l'axe des z pour l'un de ses axes, on aura a«==0, «,=0. Le plan des zy étant de symétrie pour l'ellipsoïde d,e déformation et pour le milieu, on se trouve ramené au cas examiné dans le chapitre I,
1» DEUXIÈME PARTIE. — GRISTALLOGlUPUIE PHYSIQUE.
et rellipsoîde d'élasticité admettra le même plan de symétrie. On ddit donc avoir, dans ce cas particulier, Tx=0 et T,=0. Donc, pour traduire dans les expressions Texistence d'un plan de symétrie perpendiculaire aux z, il est nécessaire et suffisant de faire en sorte que ces expressions donnent Tx= 0 et T, = 0 pour a^= 0 et «y = 0. Celte condition revient à égalei* à zéro les coefficients des quantités aiiti-es iiue a« et a, dans les expressions de Te et T,. Les expressions des forces élastiques se transforment donc comine suit :
^«^ Ax 8x "+"^a 8y -f- By 8j -h Fjp flij , N^=B;»8x4-Ay8y+B^8, 4-Fya;,, N,=By8xH-Bâ.8^ +A,8<-hF5a<,
Tx=cP^xax+ (^Zdy,
T,= F,8x-fFy8y-«-F,8+c5?^,a,.
Ces équations qui conviennent aux corps cristallisés dans le système binaire, iie contiennent plus que treize coefficients distincts.
Système terbinaire. — Lorsque, le corps appartient au. système terbinaire» il faut modifier les expressions (7) de manière que pour
a« = 0 et «,= 0» on ait Tx= 0 et T, = 0» ce qui donne :
Nx = A, 8x 4- B, îy + by 8, , T, =.-cP^^ a^
W lNy=:B,?»4-A^8rf+Bx8,, Ty = c5^,ay»
N, b= By 8x + B, 8y + A, 8i , T, r=tPé?. a, ,
U n*y a plus que n^/* coefficients distincts.
ByHèmèt Èéndire, îémaïrt et quûdtdtiqUe. — Lorsque le thilièii appartient à Tun de ces systèmes^ si Tellipsolde de déformation fest de révolution autour de Taxe principal (que Ton peut supposer être celui desz)» l'ellipsoïde d'élasticité sera aussi de révolution autour du même axé ; en d'autres termes^ les choses se passeront comme si tous les plans passant par l'aië des z étài^t des plans de symétrie du milieu ; les formules des N et des T seront donc de même forme dans les trois systèmes cristallins. 11 suffit de les obtenir pour le cas du système quadratique» par exemple.
CHAP. II. ^ ÉLÀSTICITË. 39
Pour y parvenir on remarque d*abord, dans le but de simplifier les calculs ultérieurs* que si Taxe quadratique est dirigé suivant Taxe des s, et si deux axes binaires de môme espèce sont dirigés suivant les axes des X et des y, tout doit rester identique, dans les expressions (8), lorsqu'on permute
Sx et iy , ax et a^ » N;^ et Ny
On en déduit:
(9) A^ = Ay, .B^ = By et d^^ = <^y.
Les trois relations ainsi obtenues sont nécessaires, mais ne suffisent pas pour exprimer que le milieu possède la symétrie du système quadratique. On s*est en effet borné à écrire que lorsque d^ = ^y eta,= a^, on a N« = N, et T^ = Ty, mais cette condition peut être remplie sans qu*il existe nécessairement des plans de symétrie bissecteurs des plans zy et zx.
Pour traduire complètement la symétrie du corps, on change d'ares coordonnés en conservant l'ax^ des 2, prenant pour axé des l la bissectrice de Tangle ^, et pour axe des y] celle de Tângle xy> Les expressions des nouveaux tieit auront les mêmes formes que celles des expressions (8) modifiées parles relations (9).
On aura ainsi :
Nç == A| 8ç + Bç 8, + ^ 8r- Les formules (2) donnent
8*=î{8i. + 8y-aç)'
îÇ=8a.
Ces valeurs, transportées dans Nç, donnent :
On peut avoir une ailtre expression de N^, car lés formules (4) don* neot:
Nç=i(N^ + Ny-h2T,),
et par conséquent :
En identifiant les deux expressions de Nç, on trouve :
A. = A^. B, = B. ' ^. = 1 f Ar - B.)
et par conséquent :
tPé^=5(A,-B,),
Des calculs analogues faits avec les expressions des autres N et T ne donneraient aucune relation nouvelle. Les expressions des N et T, lorsque Taxe des z est un axe de symétrie principal, sont donc :
Ax Cx + B. Cy + Bx Oî,
^c Ox -+-A^ Cy 4- B^B., = Bx(ax+5y) + A, $3.
avec cmg coefficients distincts.
Système cubique* — Pour passer au système cubique, il suffira d'écrire que la forme des expressions (iO) est la même suivant les axes des Xj des y et des Zy ce qui conduit aux relations :
Les expressions des N et des T deviennent donc, en supprimant les indices devenus inutiles,
