N = AS, + B (2, + 5 J T=5(A-B
avec deux coefficients distincts seulement. On a souvent à s'occuper, dans la physique mathématique, des corps
CHAP. IL- ÉUSTICITÉ. ii
isotropes tels que le verre, dont les propriétés sont identiques suivant toutes les directions. La structure des corps isotropes peut être 'comparée à celle d*un tas de poussière formé de grains polyédriques très petits et identiques entre eux. Trois directions rectangulaires quel conques pourront» dans un semblable milieu, être regardés comme des axes quaternaires, puisque le milieu, quelle qu*en soit la position dans l'espace, est toujours identique à lui-même. Si l'on fait en sorte que l'ellipsoïde de déformation soit une sphère, Tellipsoîde d'élasticité en sera une aussi» Les formules des N et des T seront donc les mêmes pour les milieux isotropes que pour les solides cristallisant dans le système cubique.
Coefadeats éiasU^pies inverses. — Des expressions linéaires des N et T en fonction des d et des a, on peut déduire des équations, linéaires aussi, et donnant les d et les a en fonction des N et des T. On obtient ainsi 36 nouveaux coefficients qui se tireraient des 21 anciens. Les relations de la page 35 montrent d'ailleurs que les i et les T sont
les coefficients difTérentiels de la difTérentielle de 4» considérée comme fonction des N et des T. On réduirait donc à 21 les 36 nouveaux coefficients accentués par des équations entièrement analogues à celles qui ont réduit à 21 les 36 coefficients non accentués.
Pour écrire aisément les expressions qui donnent les ^ et les a en fonction des N et T, nous conviendrons de changer, dans les expressions (6) qui donnent les N et T en fonction des i et des a, N en ^, T en a, et réciproquement, en accentuant les coefficients. Nous appellerons ces eoefficients aocentués, coefficients élastiques inverses^ en réservant la
dénomination de directs aux coefficients non accentués.
F«nB«l0s mjwalhoÊUpÊmm exprlnuuii les coefHdenis élasil^pies
«Hrccts o« inverses. — Quant aux formules qui serviront à trouver les
coefficients inverses A' B'... c5^ i c^ correspondant à un certain système de coordonnées quand on connaît ceux qui correspondent à un autre, on peut encore se servir des formules symboliques de la page 37.
mais avec quelques modifications. En effet, les formules
K "= ^'x Nr+ . . . 4- C, T, 4- . . .
ne peuvent être mises sous la même forme que les équations (6), qu'en substituant aux C des coefficients C" tels que
Les formules :
ou
ne peuvent être mises sous la même forme que les précédentes qu'en prenant
Les formules symboliques de transformation donneront les C", D", F",
'^^^ , rio ; il faudra donc, pour employer les formules, diviser par 2 les
C/, 1)', F' et par 4 les ^>^' et ^ qui y entrent; puis doubler les C, D',
F' et quadrupler les ''-^^ et ^ ^ donnés par les formules.
11 résulte ainsi de ce qui précède, que les simplifications provenant de la symétrie du corps, seront identiques avec celles qu'on a déjà
trouvées pour les A, B, r^^;? éoy etc.; mais en tenant compte des changements qui viennent d'être reconnu nécessaires. C'est ainsi que lorsque l'axe des z est un axe de syméirie principal, les formules de changement d*axes ont donné l'expression
qui se transformera, changt^anto'^'j en y^-'^ ,, en
Nous désignerons dorénavant les expressions qui, dans chaque cas de symétrie particulière, donnent les J et a en fonction des N et T, par les mêmes numéros que ceux qui désignent les expressions correspon-
GHâP. n. -- ÊLÂSTKXTÉ. 45
dahtips donnant les N et T en fonction des 9 et des a, mais enàccenltiant ces numéros.
8 4. ÉQUILIBRÉ D'ÉLÀ^TitlTÉ.
ft^aatfons ezprlMaiii l'éqviUbre d*élastlelcé. — Pour appliquer la
théorie qui précède» il faut pouvoir résoudre le problème suivant : Un corps étant en équilibre sous l'action des forces élastiques intérieures et d'un système donné de forces extérieures, trouver la déformation du corps, ou réciproquement. Il est aisé de poser les équations difTérentielles qui résolvent le problème.
Soit un petit prisme dont 3 arêtes, coïncidant avec les axes coordonnés» sont égales à dx, dy^ dz. La face coïncidant avec le plan des yz est sollicitée par une force élastique qui, appliquée à la surface dont Taire est dydz^ a pour composantes :
\dydz, ijîydx; lydydx.
La face parallèle est sollicitée par une force dont les composantes sont :
(^'-^li'^)'^'' (T^+^'rf*)''»'^. {^i+^y'^y^*-
Quant à la force non moléculaire qui agit sur le petit parallélipipède, on peut la supposer proportionnelle au volume dxdydz=dVf et nous appellerons ses composantes X^, Yo, Z^; l'équilibre du prisme exige que la somme des projections des forces sur Taxe des x soit nulle. On trouve ainsi la première des équations suivantes, dont les deux autres s'obtiennent par des considérations analogues en remplaçant successif vouent Taxe des x par ceux des y et des z :
dN, di. clT^
...X j à:^x ^v ^T d^y âî^ ds
Ces équations^ qui doivent être satis&ites en tous les points du corps en équilibre d'élasticité, sont les équations indéfinies d*èquilibl*e mqtielles doivent satisfaire les ibnctions N et T.
Les forces Xo, T,, Z^ agissant en tous les points du corps et qui sont le plus habituellement celles de la pesanteur, sont généralement abstraites, c'est-à-dire qu'on ne compte la déformation qu*à partir de celle qu*ont produite les forces XoiYo^^ que Ton peut alors supposer nulles.
'Ces équations, dans lesquelles n'entrent pas les forces réellement eitérieures, appliquées à la surface du corps, et qui le déforment en le tirant, en le comprimant ou en le tordant, ne suffisent évidemment pas pour résoudre le problème; il faut y ajouter d'autres équations dites définies f parce qu'elles ne s'appliquent qu'à des points particuliers du corps.
Si l'on prend d'une manière générale une portion finie du corps, pour laquelle on connaît les forces qui agissent en chaque point de la surface, il faudra écrire que la force extérieure appliquée en un certain
point de la surface sur un élément &> de cette surface, fait équilibre aux forces intérieures qui agissent intérieurement sur cette même surface. Si X» Y, Z sont les composantes de la force élastique F et X|,Y|,Z|, les composantes de la force extérieure F|, rapportée à l'unité de surface» l'équilibre exige que les équations suivantes soient satisfaites :
Izzzm'ff^ ^ n'T, H- p'Ty = X„ Z=m'Ty -+- n'T, + f'N, = Z, ;
équations auxquelles il faudra en ajouter trois autres exprimant que la somme des moments des forces extérieures prises par rapport à 3 axes rectangulaires est égale à la somme des moments des forces intérieures.
Lorsqu'on donne la déformation, il est très facile d'obtenir les forces extérieures qui peuvent la produire, puisqu'on déduit les forces intérieures de la déformation au moyen des équations (7), et les forces extérieures des forces intérieures au moyen des équations précédentes. Le problème est plus complexe dans le C8s,qui est presque toujours celui de la pratique, où l'on se donne les forces exténeures et où il s'agit de remonter à la déformation. On ne connaît pas alors de moyen de résoudre la question d'une manière générale, et l'on ne peut qu'employer une méthode de tâtonnements dans chaque cas particulier. Cette mèthodo consiste à essayer de satisfaire aux équations par une déformation que certaines considérations font considérer comme vraisemblable; la déformation est bien celle quel'on cherche, si, combinée avec les forces
GHAP. U.^ÉLASTiaTe. 45
extérieures données, elle vérifie les équations de Téquilibre élastique.
C^as d*aB« traetlon on d'ime pression. CoefHelenio d'élnsUelié
lontltadiBnio. — On appliquera d*abord cette théorie au cas simple d'un corps homogène quelconque» de forme prismatique, sollicité sur ses bases par une force normale (pression ou traction) égale à p par unité de surface. On rapporte le corps à 3 axes rectangulaires x^ y» X, dont Tun z est parallèle à Taxe du prisme.
11 est aisé de voir qu'on a partout : d*oà Ton tire :
. En effet, les valeurs de N et de T satisfont évidemment aux équations (13) lorsqu'on y abstrait X^, Y^, Z^, et aux équations (14). Les d et
les a, satisfont également aux équations (3) et (4), puisque toutes les dérivées sont nulles.
Si Ton observe avec précision la dilatation d[ du prisme, ou le rapport de rallongement de ce prisme à sa longueur; si Ton mesure en outre le rapport p qui existe entre le poids qui sollicite le prisme et Taire de la section droite, 'on aura :
On a donc ainsi le moyen de déterminer expérimentalement le coefBcient A'^ correspondant à une direction z arbitrairement choisie.
l'ioYerse de ce coefficient est désigné ordinairement dans la théorie de la résistance des matériaux sous le nom de module de Vélasticité kmgUudmale; on le désigne par E^.
Si Ton prend dans le corps 3 axes rectangulaires fixes, Ç, vj, (, la fommle symbolique connue donnera immédiatement Texpression de A',
enffmction des coefficients qui se rapportent aux axes (, n^ (. On trouve, ainsi:
46 DEUXIÈME PARTIS. — CRISTiLLÛGRAPHIC PHTSIQDE.
en effisiçant les indices des m, n, |i, qui seraient tous ç*.
lies 15 coefficients distincts de cette expression pourront être calculés au moyen de 15 observations de A'^siiivant 15 directions difl&rentes. Il
sera impossible de déduire d'observations semblables les 21 coefficients distincts des expressions (6). On ne pourra les obtenir qu*en ajoutant aux expériences d'allongement des expériences de torsion. Aux expériences d'allongement nécessaires pour déterminer A', ou
g-» on a essayé de substituer des expériences de flexion bien plus commodes, parce que, en diminuant suffisamment l'épaisseur de la lame
fléchie et augmentant sa longueur, on peut Jl , produire des flèches assez grandes pour
être mesurées avec précision. Il suffit de
^\ ^ placer la lame sur le tranchant de deux
p. , couteaux Z et Z' (fig. 5), d^ charger la
, lame en son milieu d*un ppids porté paf*
l'intermédiaire d'un autre couteau A, et de mesurer avep un microscope
la quantité dont A s'abaisse.
Avec des solides isotropes, ou a en effet :
en appelant / la flèche, / l'écartement des deux appuis sur lesquels la lame est posée, F le poids dont la lame est chargée en son milieu, I le moment d'inertie de la section autour d'une certaine ligne qui, lorsque la lame a pour section droite un rectangle, peut être regardée connue
* Il est tisé de voir que si Ton prend sur chaque direction C une longueur égale à Tp=i == yEs, on pourra remplacer dans l'expression de A'^, m, ii, p par 'q==-9 i/t
s=, ^1 y, < représentent les coordonnées de l'extrémité du rayon vecteur, la surface
VAj
ainsi obtenue est du 4* degré.
CQAP. H. - ÉUSTIGITE. 47
coîapî^îlllt avec une parallèle au côté du rectangle reposant aur les
appuis. Dans ce cas» on a 1=^^» et la formule devient :
