PI

48 £ hh^

Nalheureusçipent cette formule ne s'applique flu'aq^ pprps iso^rop^s ou cubiques; pour les autres cprp^ crists^llisës, on n*i| p^s encQr§ PU élablir, si ce n*est daqs des ca$ particuliers, la forfpule qui |iç |a fl^çl^e aux dimensions du prisme et aux constantes élastiques.

11 faut donc, pour déterminer les constantes élastiques des cristaux, mesurer directement rallongement ou le raccourcissement qu*éprQuve, sous l'action d'une force connue, un prisme de longueur et de section données, découpé dans le cristal suivant une direction cristallographiquement connue. La difficulté provient de Textréme petitesse de la longueur à mesurer; mais on pourrait sans doute, comme Ta depuis longtemps indiqué M. Cornu, surmonter cette difficulté en ayant recours à la belle méthode d'observation imaginée par M. Fizeau et appliquée par lui â la mesure des dilatations thermiques des corps cristallisés; nous la décrirons plus loin.

Cas d'sae pression ■aifomie aor ioptes les fsees. — Il est

intéressant d'examiner le cas dun corps que presse uniformément sur sa surface une pression égale à p par unité de surface. 11 est aisé de voir qu'on a alors dans tout le corps :

Ou aura donc :

*y = -(B', +A'y + B', ) p *y = - (D', + ly, +IK, )p *a= -(B'y +Bx + ^\)P *, = - (F'x 4- F'y +F', ) p.

Si le corps a la forme d'un cube dont les arêtes soit parallèles ^ ^1 Vf 2; ^x« ^a' ày seront les dilatations des arêtes, a^t «y» a, les rétrécissements des angles dièdres de ce cube. Les a seront tous nuls si les axes coordonqés sont des axes de symétrie.

Cas «'bb corps cyllndrlqae sollIi>lté A la torsion. — Les phénomènes d'extension, de compression ou de flexion ne pouvant suffire k

déterminer tous les coefficients qui définissent les propriétés élastiques d*un corps donné, et cette détermination exigeant le concours des phénomènes de toraion, il est nécessaire d*étudier ceux-ci avec soin.

On suppose un corps prismatique ou cylindrique, sollicité extérieurement sur l'une des basés par un couple de forces dont le moment est H, et sur Tautre base par un couple égal et contraire, qui peut être remplacé par la réaction due à l'encastrement do celte base. On prend l'axe du prisme pour axe des z, et pour axes des x et des y deux droites rectangulaires quelconques situées dans la base encastrée.

Si l'on suppose dans tout le corps :

N. = 0. N,= 0, N, = 0, T, = 0. ^=0. 5 = «' les équations indéfinies (13) sont satisfaites si l'on a:

dx dy

Les équations définies à la surface, dans lesquelles on peut faire X0=:O, ¥^=0, 2^=0 en négligeant le poids du prisme, le sont aussi,

à condition qu'on ait

T^dx^l^dy = 0,

-^ étant tiré de l'équation en x, y du contour de la section. En effet,

les forces extérieures «gissant sur la base peuvent être remplacées par des forces égales, /", agissant tangenliellement en chaque point du contour. L'équilibre d'un élément infiniment petit de la base pris sur le contour, et pour lequel m' = 0, n'=0, /)'=!, exige, en vertu des équations (14),

Ty = X|, T^ = y,,

d'où Ton tire :

^ Yi dj

Ty ~" X, "" dx

Quant à la déformation, la nullité de T^ et des trois N montre que les d et les a sont fonctions linéaires de T^^.et T^. En diffèrentiant par

rapport à «, on aura donc, à cause de -^^0» -t^^O, et d une ma-

GUâP. il. — ËLASTiaiÉ. 49

nière générale,

équations dans lesquelles on peut mettre à ^ et,a un quelconque des indices x, y, z.

Les équations (3) donnent donc :

dxdy dy* {2a;*

équations satisfaites lorsque T^ et T^ et par conséquent les a et les d

sont fonctions linéaires de x et de y. Les équations (4) donnent :

dx\ Ix)

^^d/da y dc^A dy \dy dx ] 0 = 0,

équations satisfaites, lorsque Ton pose :

rfa, da dx dy

36 étant une certaine constante.

La condition que T^ et T soient des fonctions linéaires de a: et de y exige d'ailleurs que le coniour soit une ellipse, car si Ton remplace T^etTypar ces fonctions linéaires dans l'équation IJbc — l^dy^Q,

celte équation, intégrable en vertu de l'équation - ^=i — ., donne

par rintégration une équation du deuxième degré qui ne peut être que celle d*une courbe fermée et par conséquent d'une ellipse. * Dans les expressions de T^ et T en x et y, il ne doit point entrer

CaiSTALLOGRlPHIB, T. II. 4

d'ailleurs de constante, si l'an admet qu'à l'origine des coordonnées les â et les a sont nuls.

On peut donc poser :

ou, en vertu de

dT^ dl

-^ H- -^' = 0, c'est-à-dire /i = — A',

L'équation de l'ellipse qui forme le contour de la section est donc :

gx' -h (/y* + Ikxij H- C = 0.

On peut toujours supposer Tellipsc rapportée à ses axes, et si Ton appelle l et Y les moments principaux d'inertie on a :

et l'ellipse, dont les demi-axes sont a et b, aura pour équation :

Identifiant les deux équations de l'ellipse, il vient

d'où l'on tire :

ïx = LI',, , T^ = - Uy.

(1 X ri

Si Ton porte dans l'équation ~ — ~h ^^ 20, on obtient :

(IJO (.111

ou :

L ni: £ y ___ —

en posant

l'^:~^', 4-lc^' .!>.

Si Ton écrit maintenant que, dans la base, la somme des moments des forces intérieures est égale à celui des forces extérieures, on aura:

oq:

^-■?''=''l'.pé^>Ic5^V

Si Tellipse est un cercle de rayon r, on a I = l'= -^j et il vient :

Ma '^^

c5^', 4- (Sé\

Le moment H étant indépendant de l'orientation des axes x eiy dans la section, il faut que tPÔ + tS^ soit constant, quelle que soit cette

orientation. Ceci peut donc être considéré comme la démonstration d'un théorème intéressant qu'on vérifierait aisément au moyen des formules

qui donnent çS^ et cP^ en fonction des coefficients rapportés à des

axes fixes.

U ne reste plus qu'à chercher la signification physique de 6. On va, pour y arriver, chercher les expressions des déplacements finis ti, v, u;, de chaque point de corps en fonction des x, y eiz. On sait que l'on a :

2 du ^ du , ^ du

c^ =^ =nu; + ny, o ^ 5m ~ "*^ *"*^' z ~ dz^ '"*^ "^ ^'

On en déduit, par une intégration :

u^-^a^ + nyx-h f(y,z),

v=ln^xy'h'^y*+f^[x,z)y w = Tn^»4- n^z -j- /; (x,y).

On a d'ailleurs :

dx d(f (Ui\dx dyj

o2 DEUXIÈME PARTIE. - CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE,

d'où l'on déduit encore en intégrant :

On a en outre :

ffv (lu

//r (lu

équation qui, combinée avec la précédente, donne:

(Iv

2 ^'H- = - 20i+ /v' H- <7iî/- F (-f -/y)- En différentiant les expressions de r et «, on trouve :

Ces deux équations, comparées aux deux précédentes, donnent :

2 !il^ = - 205 4- q,y 4- (/?, - 2») x - F (.r,;/\

Dans ravant-derniére équation, le premier membre étant indépendant de X, il doit en être de même du deuxième, ce qui entraîne la condition:

K Lr,//) = r/,y + (;,^ — 2«) .r H- <; (y)- La seconde équation donnerait de même :

Des deux dernières équations on obtient aisément :

et par conséquent, en inlégranl :

Avec celte valeur de F (a:, y), les ëquaitions qui donnent 2 ' ^^*

et 2 "j , deviennent :

On en dc'^uit par Tintégralion :

Or on a :

</]i dw dfJx,z) . ilA(x.tf)

et comme ec^ est indépendant de S, il faut que Ton ait :

-t-ii,»=0,

puisqu'aucune constante ne peut entrer dans j 'expression des u, v, u/. On trouverait, par un calcul tout à fait analogue :

X W = — 2 ""•* • Les expressions de ti et v sont donc, en définitive :

fit 4 i

«=5 a;«-f fu:y4-2(9« — n,)y* — 6«y — jmtî»,

»=-2* y* + ni^ry + ^ (Pt — '*) a;« — 62X — 5 "«* •

On peut maintenant se demander quelle est la torsion subie par une ligne supposée parallèle à Taxe du cylindre avant la déformation. Soit, après la déformation, m (fig. 7) la projection d*un point quelconque

du corps sur le plan des.///, m' la projection d'un autre point qui, avant la déformation, se trouvait sur la niènie parallèle à l'axe des z que m et était séparée de celui-ci par une distance dz. L'angle m'Om est

^TTl.

Ta é 1

Vi'^, S.

ce que l'on appellera la torsion subie par l'élément dz; on le représentera par dr. Les accroissements des coordonnées ,/• et ?/, en passant de m à m' , sont é^aux aux accroiss(Mnents du et dv correspondant à raccroissemenl dz. Si l'on écrit que la surface du triangle 0mm' est égaie à celle du triangle Opni' moins celle du triangle 0/>m. on aura :

, , , , , dv du

,. ,, ,1 . dv du , -

Si 1 on remplace ;dans cette expression -r- et — par leurs valeurs

('z (IZ

tirées des expressions de u et de v, il vient :

pVr =^ dz [0(.r--h //-) H- (m^Jf - v..r)z].

et en intégrant :

T = Oî f.

m.,11 — iK,.v

T est Tangle (rapporté à la demi-circonférence) dont la longueur verticale z s'est tordue autour de l'axe des z. En remplaçant 7Wg et n, par leurs valeurs, on peut écrire :

l'C, y + ID'^

Tr=Oz-+-0

pni'c5^y 4- l^Jj

Si la section est circulaire, on a :

Les points de Taxe du cylindre, pour lesquels ^ = 0, y = 0, subissent les déplacements :

ils restent donc dans un plan yertical passant par Taxe des z, et dont la trace sur le plan des xy a pour équation :

m. rc,

La courbe qu*afFectent les points situés sur l'axe est une parabole ayant pour équation :

p=5V^m\Tn%7*»

p étaot la distance d*un point quelconque à Taxe des %.

On peut considérer le déplacement total très petit de chaque point comme étant la superposition de deux autres. L*un de ceux-ci est une translation égale et contraire à celle du centre de la section qui contient le point» c'est-Â-dire exprimée par

Tautrea pour projections sur les axes, u + u^v + 1/, et u;. Les premiers déplacements donnent une sorte de flexion de tout le cylindre, parallèlement au plan dont l'équation est y == —^ x; les autres produisent une torsion uniforme autour de Taxe des z exprimée par l'équation :

T=:ez.

Si Taxe des z est un axe de symétrie, on a C^ = 0, D^ = 0, et l'axe du cylindre reste yertical. La torsion autour de l'axe des z est exprimée par l'équation précédente. Il est alors très facile de mesurer 9 avec exac-

fitude, car il suffit de placer aux extrémités d*une même génératrice du cylindre, de longueur /, de petits miroirs tangents au cylindre et placés en regard d une échelle graduée. On observe, après la torsion, par la méthode de Gauss, l'angle formé par les plans des deux miroirs; cet angle divisé par I est égal à 0. Connaissant 0 et le moment H des forces qui tordent, on obtient, si le cylindre est circulaire, la valeur de

^PÔx'^tPê^yf et si le cylindre est elliptique, une relation entre c^s deux

quantités. Dans ce dernier cas, il suffirait d'observer successivement avec deux cylindres elliptiques dont les grands axes seraient à angle droit par rapport aux axes cristallographiques du corps. Taxe du cylindre gardant la même direction, pour obtenir séparément cP^* et t5^». Si le corps a trois axes de symétrie rectangulaires, l'observation de la torsion de cylindres circulaires taillés suivant la direction de chacun

des axes donnerait ç pé? ^ + tS^ ,, cP^^ + tS^ , > cP^ „ + ^sS , i d'où l'on déduirait facilement rS^^^ fiPÔ et cPé', •

Cas dmnm lesquels on peat rédnire * IS les 91 eoeflleieiits

de Cireen. — Le raisonnement que nous avons employé après Green pour réduire de 36 à 21 le nombre des coefficients élastiques distincts dans le cas le plus général, ne s'appuie que sur l'équation du travail,

et laisse complètement indéterminé le mode d'action des centres de

ravité moléculaires, auxquels on suppose le corps réduit. Si l*on supopsait négligeables les variations qui peuvent se produire, pendant la déformation, dans l'orientation et la forme de la molécule, il serait permis de considérer les centres de gravité des molécules comme exerçant, suivant une direction déterminée, des actions toujours identiques, et qui ne varient qu'avec la distance des autres centres sur lesquels elles s'exercent. Dans cette hypothèse, on démontre sans peine que les 21 coefficients de Green pourraient être réduits à 15, au moyen des 6 relations :

Cette réduction, qui avait été considérée par Cauchy, dans ses premiers travaux, comme pouvant toujours être faite, est analytiquement remarquable. Elle établirait en effet une dépendance entre les coefficients qui régissent la torsion et ceux qui régissent l'extension. Des

observations d'extension suifiraient à déterminer, si elle pouvait être opérée, toutes les constantes élastiques, et la surface du 4® degré, qui représente la variation des A ou des E, suffirait à représenter toutes les propriétés élastiques du corps.

Voici par quel raisonnement élémentaire, on peut, avec M. de Saint- Venaiit, démontrer l'exactitude, les hypothèses convenables étant faites, de la réduction dont il s'agit.

Soient deux molécules séparées par la distaace mn.

Une dilatation 3, déplace n, par rapport à m, d'une longueur nn^

parallèle à 2 et exprimée par :

n», =r8 rcos (r.«).

Un rétrécissement angulaire «^ ou a , déplace n par rapport à m, d'une longueur nn^ parallèle à 2 et égale à :

nn,= aa;,»'cos (r.x).

Si les actions intermoléculaires ne dépendent que de la distance, les actions développées entre les molécules m, n dans la direction mn par ces deux déformations seront donc K étant une certaine constante, représentées par :

K$2rcos(r,t) et KoL^c^r cos {r,x).

Si l'on cherche la force élastique exercée sur un plan quelconque que l'on désignera par 9, et la composante de cette force suivant x, composanteque l'on désignera par P , cette composante sera la sonmie

des projections, suivant l'axe des a:, des actions exercées entre deux molécules m et n situées de part et d'autre du plan. Tous les termes de cette somme qui contiennent d^ ont la forme:

K8, r cos {r,z) cos (r,x), et le coefficient de i^ dans P^^ est

£Kr cos (r,z) cos (r,«).

On trouve de même que le coefficient de a„ ou a^ dans P^, est

ZKr cos (r,x) cos (r,z) ; ces deux coefficients sont donc identiques.

On trouve ainsi que le coefficient de o, dans JV, on Nj;, c'est-à-dire

By, est égal au coefficient de a^, ou a^ dans P^.. ou Tj^, c'est-à-dire ^ri^ .

Des raisonnements analogues an précédent permettraient d'établir cinq autres relations, au moyen desquelles le nombre des constantes élastiques serait réduit à 15.

Le cas hypothétique qu'on vient d'examiner n'est pas celui des corps cristallisés. Il était cependant intéressant de l'étudier, car l'écart que l'obsenation constatera entre les valeurs réelles des constantes et celles qu'elles auraient si les coefiicients pouvaient être réduits à 15, sera en quelque sorte une mesure des variations que produisent, dans la forme et Toricntation des molécules, les déformations élastiques.

Mais l'étude que nous venons de faire présente un autre genre d'intérêt, car il est aisé de voir que l'hypothèse qui lui scM't de base se réalise dans les corps dits isotropes. Dans ces cor[)S en effet l'homogénéité ne peut être conçue qu'en admettant que, suivant toutes les directions, se rencontnMit en même nombre, sur une même longueur très petite, des molécules ayant toutes les orientations possibles. Cela revient évidenmient à admettre cpie l'orientation et la forme de la molécule sont sans inllnence sur les propriétés physiques du corps. Dans les corps isotropes, pour lesquels l'ellipsoïde d'élasticité est nécessairement une sphère, les 2 constantes élastiquc^s A et B,qui restent distinctes dans les corps cristallisés à symétrie cubique, se réduisent à une seule, puisqu'on doit avoii' :

ou :

Observation» de >l. Volgt wiir rêlasticité du ncI jçeninie. —

La science ne compte encore qu'un très petit nombre d'observations laites en vue de déterminer les constantes élastiques des cristaux. M. Voigt' a cependant, assez récemment, publié d'intéressantes observations sur l'élasticité du sel geiinne qui cristallise dans le système cubique.

M. Voigt a mesuré, par la méthode de la flexion, les coefficients

^' Pogg.^ Ann.f Krganzungsband, t. VII (1875-1870).

CHAP. IL — ÉLASTiaTÉ. 59

d'élasticité E correspondant à trois directions, la première c coïncidant avec un axe cubique, la seconde d^ avec un axe dodécaédrique ou binaire, la troisième o, avec un axe octaédrique ou ternaire. M. Yoigt a trouvé :

Ej = 3410 .E^=3193.

Ces trois nombres devraient être identiques en vertu de la théorie, on voit qu'ils dilTèrent d'une manière fort notable, et que E^ est surtout très différent des deux autres. L'écart relatif entre E^ et E^ est de

plus de 20 pour 100.

Pour relier ses observations entre elles, M. Voigt s'pst servi de formules données par Neumann et qui ne diffèrent des nôtres qu'en ce que

le coefficient cP^ est supposé indépendant de A et de B et non plus

égal à — ^ — C'est à ce résultat qu'on arrive en effet lorsqu'on écrit dans

les formules que les cristaux cubiques possèdent trois plans de symétrie respectivement normaux à trois axes perpendiculaires et identiques entre eux, sans tenir compte de la symétrie qui existe par rapport aux six plans normaux binaires. Cela revient, en d'autres termes, à supposer dans l'espèce actuelle que la symétrie du sel gemme est seulement terbinaire avec une quasi égalité* et non pas une identité complète des trois axes binaires.

Quoi qu'il en soit, les formules de Neumann représentent bien les obsenations, car M. Voigt trouve

calculé

observé

M. Voigt a ajouté aux observations faites sur la flexion, des observations sur la torsion de prismes rectangles dont les axes étaient aussi dirigés suivant les trois directions précédemment définies. En combinant entre elles toutes les données expérimentales, M. Voigt a déduit pour les constantes élastiques du sel gemme les nombres suivants :

cPè 113,

Tunité de force étant le kilogramme et Tuiiitè de longueur étant le millimétré.

En admettant que le sel gemme est réellement cubique, et en supposant exacts les coefficients A et B, la théorie exigerait

cpé=g(A~B)=lt7.

La différence entre ce nombre et celui qui est donné par l'observation s'atténuerait si Ton tenait compte de ce que H. Voigt a-employé, pour

calculer c5^ des formules données jadis par Cauchy pour la Hexion des prismes rectangulaires et que M. de Saint-Venant a démontrées être inexactes. D*après M. de Saint-Venant, la différence entre les résultats donnés par la formule et les résultats exacts s'élève, lorsque le prisme est un rectangle dont un côté est de 3,5 à 3,8 fois plus grand que l'autre, comme il arrive dans les observations de H. Voigt, à 0,885.

Si l'on faisait cette correction à la valeur de tS^ observée par M. Voigt,

on trouverait tS^ = 128 qui se rapprocherait de la valeur théorique, un peu plus que le nombre donné par M. Voigt.

Quoiqu'il en soit, l'inégalité, qui parait bien constatée, de E suivant les différentes directions contredit formellement la théorie, à moins que le sel gemme, au moins sous le rapport élastique, ne jouisse pas réellement de la symétrie cubique. Nous verrons en effet plus loin que le plus grand nombre des cristaux cubiques ne possèdent, au point de vue op* tique, qu'une symétrie inférieure à celle qui semblerait devoir leur appartenir; le sel gemme est précisément dans ce cas. 11 serait fort intéressant que de nouvelles expériences vinssent faire la lumière sur celte partie encore obscure de la science.

Expérienees de H. Cirotfa «or l'élasfieité dn ael f^mmc —

H. P. Groth* a employé, pour trouver les modules d'élasticité E du sel gemme, suivant différentes directions, un procédé ingénieux et qui est d'un emploi plus commode que celui de M. Voigt. 11 pose, sur une même planchette élastique une barre d'acier, dont l'élasticité est connue, et la petite barre cristalline dans laquelle on veut la mesurer. On fait vibrer la barre d'acier au moyen d'un archet, les vibrations se transmettent à la barre cristalline, et les deux barres exécutent des vibrations concordantes. Du sable fin, répandu sur la surface des deux barres, permet de mesurer la distance de deux nœuds, d*où l'on peut