CHAPITRE I. — SUR LES PROPRIÉTÉS PHYSIQUES
gine, les coordonnées x, y, z de A, et x', y\ z' de B, sont de très petites quantités; d'ailleurs les coordonnées x^ y, z sont des fonctions continues de a/, y\ z' et réciproquement; on peut donc poser :
x=?,{af,y',z') y^Y^{x\tf,z') z = ?^(x^,y',z').
Si Ton développe x, y, z suivant la série de Haclaurin, en remarquant que a:= 0, y = 0, « = 0, lorsque x\ y', z' sont nuls à la fois et se bornant aux termes du premier degré en x'^ y\ z\ on aura :
y=:AV + By-|-CV, «=:A'VH-BY-fCV,
équations du premier degré, dans lesquelles A, B, C, etc., sont des fonctions qui dépendent de la nature et de l'arrangement du milieu dans un très petit rayon autour de 0, mais sont indépendantes de
Les trois équations (t) peuvent se mettre facilement sous la forme :
y=A\a;4-B'iy + C',«, z' = A>4-B\y-t-CV-
En ajoutant membre à membre ces trois équations élevées au carré, il vient :
JE* 2A,* f xy 2)A|B|
(2) r'«=: { 4-*y«2Bi« 4- 2 ) + aa SAjC»
en désignant par / la longueur OB.
Cette équation représente un ellipsoïde, puisque les coefficients de a:', y^y 2* sont essentiellement positifs. On en conclut donc que si, laissant constante la longueur de OB ou r', on donne successivement à la direction OB toutes les valeurs possibles, le point B décrit une sphère, tandis que le point A décrit un ellipsoïde.
Lorsque. lellipsoîde est rapporté à ses axes, on a :
(y) 2AjB,=:0, 2A,Ci = 0, 2B,Cj=:0.
Si Ton prend 08=/= 1, x', y', a* deviennent les cosinus m'^n'.p'
6 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PIIVSIOrE.
des angles que OB fait avec les axes. Soient deux directions perpendiculaires (m'p n'p p\) et (m\, n\y p'J, on a :
et remplaçant les cosinus par leurs valeurs tirées des équations (!'), il vient, en tenant compte des équations {'ï) .
équation qui, si l'on y re•,^^rde .r,, y^, :-, comme des coordonnées variables, représente dans rellipsoïdc le plan diamétral conjugué du diamètre (.r., //.,, z.,].
Si dop.c on considère toutes les directions {m\, fi\. //, perpendiculaires à la direction {m'^, »'.>, y/j, les rayons vecteurs de rellipsoïde qui corresj)on(le)H à toutes ces directions, seront compris d;ins le plan diamétral conjjigué du layon vecteur (.i\, y,, :.,), qui corrcyiond à la direction [m',, n\, ;/..).
Comme chaque rayon vecteur currcspomi à une direction unique (ces quantités étant liées par des relations linéaires), la proposition inverse
est également vraie.
On en déduit que les trois axes de rellipsoïde ont pour corrcfipon' demies trois droiîes rectangulaires *.
Avant d'aller plus loin, il est bon, pour donner plus de clarté à la théorie, de modifier les notations des coefficients qui entrent dans les équations (1).
Si l'on supose que le point B est situé sur l'axe des .r, on a // = 0 et^' = 0 et les éipiations (1) deviennent :
X =r Aj', y r=: A'.r', z -^ A"./'.
Les quantités A, A', A" sont donc les coefficients ([ui, multipliés par .r', donnent les projections, suivant les axes coordonnés, de la longueur OA, lorsque la dioite correspondante est dirigée suivant la partie positive de l'axe des j\ Il ne faut pas oublier qui* la grandeur de .c' est dans l'espèce, la grandeur même de OB, rjui est constante.
Le coefficient A se l'apporte à la j)rojectiou dirigée suivant l'axe des x, ou normale au plan perpendiculaire à la droite correspondante; on lui
* J'emprunte la démonstration do co tlu''orème nu l)eau mémoire sur réla.sticil«> publié par M. Pesliii, dans les Amtn/eft ffca mincK, 7" s., t. VîU (187.*>).
