COUIIBES ij'Ér.AL HETARD

D^^finltion de In snrracc d'«'gal retard. — 11 IIOIIS reste inailltenaill

à étudier les phénomènes produits par les variations périodiciues de

Sin^ TT — T— .

Nous supposons la lame cristalline, d'é()aisseur £, traversée par un

rayon OM (fi^^. 07) faisant avec la normale à la lame un angle li. On a vu que l'on a sensiblement

yr

=z 1 sm 0 sin 0*.

X A cos K

Fi-. «7.

équation dans laquelle il est superflu de rappeler que o — e est la différence des temps employés par les deux rayons

polarisés à angle droit qui se meuvent suivant OM à traverser la lame; ?.

la longueur d'onde de la lumière monochromalique considérée; /?^,, //^,

les inverses des grandeurs des axes d'élasticité a et c de la lame, G' et

0" les angles que fait OM avec les axes optiques. En appelant p la longueur OM, on a

^ cos K et

: p ~ sin (/ sin 0'.

Sous celle forme, on voit que o — e ne dépend pas de l'orientation du plan qui limite la lame, mais uniquement de celle de OM par rapport aux axes d'élasticité optique, ainsi que de la longueur p. Si donc nous supposons le milieu cristallin indéfini, l'équation

ou

: sui 0' sm 0 = A

est Téquation polaire, rapportée aux deux axes optiques comme axes

GHâP. VI. — LUMIÈRE CONVERGENTE. 201

coordonnés, d*une certaine surface définie par la propriété suivante : « Si Ton prend un rayon vecteur OM de la surface, les deux vibrations rectangulaires qui partent simultanément de 0 et se propagent suivant OM, arrivent au point H avec une différence de marche qui est la même, quel que soit le rayon vecteur OM qui ait été choisi. » Cette surface est appelée (Téjjroi retard ou ùochromatique^. L*équation peut en être mise sous la forme

p sinO'sin 6*= m, en posant

Supposons maintenant isolée dans le milieu cristallin indéfini une lame limitée par deux plans parallèles dont Tun passera par le point 0 (fig. 68) qui sera considéré comme Torigine de toutes les ondes planes lumineuses. L'intersection du plan supérieur de la lame avec In surface d*égal retard est une courbe mn telle que les deux ondes planes Tibrant à angle droit, qui sortent de la lame par chacun des points de cette courbe, en sortent avec un même retard relatif.

Si la lame est placée entre deux niçois croisés, et si l'on donne à k une valeur entière quelconque, la courbe est une courbe noire. En donnant à k toute la série des valeurs entières, on obtiendra une série de surfaces d*ëgal retard correspondantes qui dessineront sur le plan supérieur de la lame une série de courbes noires.

On peut obtenir toute cette série de courbes en construisant une seule surface d*égal retard, celle qui correspond, par exemple, à A;=i. En effet, la surface correspondant à A: =2, est semblable à celle qi(i correspond à Ar = 1, et le rapport de similitude de toutes les longueurs est le nombre 2. En coupant cette surface par le plan placé à une distance e du centre on obtient donc une courbe semblable à celle qui serait obtenue en coupant la première surface par un plan distant du

centre de-, avec le même rapport de similitude égal à 2. De là, la

règle suivante qui permet d'obtenir, avec la surface d'égal retard correspondant à ft r=i 1 , toute:! Ics courbes successives : t Pour obtenir la courbe correspondant à X;=j!?, on coupe la surface correspondant à ft:= 1 par

* Beitin, Ann, de chimie et de phyêique, 3" 8., t. tUII, 1801.

un plan distant du centre de ~ , et on agrandit cette courbe dans le

P rapport de j!) à 1.»

Fig. 68.

Si la lame est placée sur le porte-ohjet du microscope à lumière convergente qui a été décrit plus haut, les courbes dessinées sur le plan supérieur de la lame par les intersections des diverses surfaces d^ègal retard viennent former une image au foyer du collecteur.

Soit 00' une normale au plan de la lame, et supposons la courbe mn connue par son équation polaire rapportée au point 0' comme centre. La longueur 00' est l'épaisseur e de la lame. La direction de propagation On, après avoir traversé la lame en faisant un angle R avec la normale, en ressort en faisant avec celle*ci un angle Y et on a

sinr=n^sin R.

71» étant rindice moyen de la lame cristalline.

Nous supposerons que la lentille du collecteur est plan convexe, et que la face plane est tournée du côté de la lame. En passant dans le verre, la direction de propagation se réfracte et vient faire avec la normale un angle I donné par la relation

n étant l'indice du verre.

' sinI = -sinP, n

Si 0| est le centre de la surface sphérique de la lentille, Timage du faisceau qui traverse la lame suivant On se produit sur la direction Oiiti, faisant on angle 1 avec la normale et en un point n^ tel que Oin|=F, distance focale de la surface.

L*image de la courbe mn est ainsi déterminée par Tintersection d une sphère ayant 0| pour centre et F pour rayon, avec un cône dont le sommet est 0|, et tel qu*à une génératrice On du cône Omn, faisant uo angle R avec la normale, correspond une génératrice On, située dans le plan qui passe par On et la normale et inclinée sur la normale d*un angle I donné par la relation

sin I = — sin R.

Si Taiigle R reste suffisanmient petit, on pourra considérer l'intersection de la sphère et du cône comme comprise dans un plan parallèle à rnuy et dont la distance Ofi\ = D à 0| sera peu difTérente de F. On aura alors à peu près, en appelant r^ la distance 0|0'|,

et comme on peut assimiler tgl et tg R respectivement à sinl et sinR, il viendra

ne

Si Ton reste dans cet ordre d'approximation, on obtiendra donc la courbe m^n^^ en traçant une courbe semblable à mn par rapport au

point 0, avec — pour rapport de similitude.

Nous allons examiner successivement la forme que prennent ces courbes, dans les cristaux uniaxes et dans les cristaux biaxes.

CRISTAUX UNIAXES.

•«HiMe d'égal retard. — Dans les cristaux uniaxes, l'équation de la surface d'égal retard est

psin*0 = m = & •

Elle est, bien entendu* de révolution autour de l'axe du cristal, et

204 DEIXIKME PARTIE. — CRISTALLOfiRAPIIlE PIIYSIOl E.

Téquation précédente peut être aussi considérée comme celle de 1j

courbe méridienne. Celle courbe est facile à construire graphiquement.

On décrit un cercle ayant m pour rayon (fig. (>9j; et l'on inni.'

Fi-. Gl».

un rayon vecteur qui coupe le cercle en n: parle point a' où la tangente au cercle en n rencontre la perpendiculaire à l'axe menée par 0, on mène une droite parallèle à l'axe qui vieni rencontrer le rayon vecteur en M; .M est un point de la courbe. On a en effet

s in 0

>iii 0 ni

Il est aisé de voir que cette courbe se compose de deux branches; chacune d'elles est tangente au ceicle, en un point qui est un sonnnel; elle tourne d'abord sa convexité vers l'axe, puis, après un point d'inflexion situé sur le rayon vecteur qui fait avec la perpendiculaire à Taxe un angle égal à 51° 46', elle tourne sa concavité vers Taxe et prend une forme parabolique.

En appelant w l'angle complémentaire de 0, Téquation de la surface devient

p CCS- co=i m, ou p V l — 2 sin^ wzn

CBAP. VI. - LIMIÈRE CONVERGENTE. 205

pour les valeurs suffisamment petites de &) qui permettent d*eitraire la radDe par approximation. En rapportant à des axes coordonnés rectangulaires qui seront Taxe principal comme axe des z et deux (droites rectangulaires tracées dans le plan du cercle comme axe des x et des y, et en remarquant que

sin*w = ^ et P*=«*-i-^* -!-»•,

il\iei)t

pour 1 équation de la surface. Celle-ci est donc, dans le voisinage du cercle de gorge, un hyperboloîde de révolution à une nappe dont la courbe méridienne est une hyperbole équilatére.

ijunes perpoMilcnlAires * l'axe. — Supposons Une lame découpée dans un cristal uniaxe perpendiculairement à Taxe; Tintersection de Il surface d*égal retard par le plan supérieur de la lame est un cercle

dont le rayon est r. On a sin 8 = - et p = v^r" -|- c*. ces valeurs de 9 et

de p, portées dans Téquation de la surface, donnent une relation dont oa peut déduire la valeur de r» et qui est

Si 1 on se borne à considérer les cercles visibles qui sont donnés par des rayons dont Tinclinaison sur Taxe est suffisanmient petite, on peut négliger r* devant e*. Il vient alors

Le rayon r, du cercle tracé dans le plan de réticule est grandi dans le rapport D-^, il aura donc pour valeur

-, = — \/ms=D— i/--

•'0 remplaçant m par sa valeur.

Le rayon du cercle est donc proportioimel à yX, c'est-à-dire plus i^'rand pour la lumière rouge qne pour la lumière violette; il est eu

20e DEUXIÈME PARTIE. — * GRISTÂLLOGRAPUIB PHYSIQUE.

raison inverse de \b^ c'est-à-dire d'autant plus petit que l'épaisseur de

la lame est plus grande; il est en raison inverse de v^n^ — n^, c'est-à^re

d'autant plus petit, toutes choses égales, que la lame est plus biréfringente. Les lames donnent des cercles de môme diamètre lorsque, e (n — n ) a la même valeur ; on peut donc appeler e (n^ — n J l'épaissear

optique de la lame.

Le rayon du cercle est enfin proportionnel à y/E A toute valeur de k égale à zéro ou à un nombre entier correspond une valeur de

sin* TT -r— ou sin* itk égale à zéro. A toute valeur de k égale à la

15 5 moitié d'un nombre impair, -^^ 0*0* ^^^*' correspond une valeur de

sin' T:k égale à 1. Lorsque les niçois sont croisés, la série des valeurs entières. de k donne une série de cercles pour lesquels lo=0, et par conséquent de cercles noirs; la série des valeurs de k égales à

^, ^y ^, etc., donne une série de cercles disposés entre les précédents

et pour lesquels Io=^f c'est-à-dire pour lesquels l'intensité lumineuse

est la même que celle de la lumière incidente, et qui ont d'ailleurs la couleur de la lumière monochromatique employée. 11 est inutile d'examiner le cas des niçois parallèles, car chaque point a alors l'intensité complémentaire de celle qu'il a dans le cas précédent; c'est-à-dire que les cercles noirs deviennent les cercles d'intensité maximum et inversement.

Si, au lieu de représenter le premier retard par 1, on le représente par 2, la série des valeurs de k qui donne les anneaux noirs est représentée par celle des nombres pairs,

0, S, 4, 6, 8, etc.

et la série des valeurs de k qui donnent les cercles d'intensité maximum, l'est par celle des nombres impairs,

i, 5, 5, 7, etc.

Les rayons des cercles noirs successifs sont donc comme les racines carrées des nombres pairs; ceux des cercles lumineux, comme les racines carrées des nombres impairs. La valeur zéro fait partie de la 1** série;

CHAP. TI. — LDlllËRE CONVERGENTE. )07

li an laisse de cAté celte valeur, on voit que le cercle qui a le plus

petit rayon est un cercle lumineux entre deux niçois croisés et un cercie

noir entre deux niçois parallèles.

DaDsJchacune de ces séries de cercles, l'ècsrtement de deux cercles

Dn». / ï 1

inecessifs tend vers l'expression -7— \/ ; — . Lorsque k est

■^n V «K— nj Vt on pen grand, celte expression varie très lenlemeiit, e( les cercles sont presque équidistants.

La figure 68 représente les anneaux noirs directs qu'on observe entre deux niçois croisés, avec la croix noire qui les traverse.

La figure 71 représente les anneaux noirs complémentaires que l'on observe entre deux niçois parallèles avec la croix lumineuse qui les trawse.

Lorsque les niçois ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires, il y a deux croix dont les bras sont parallèles et perpendiculaires aux vibrations du polariseur et de l'analyseur. Dans les quatre secteurs formés pv des bras tous deux parallèles ou tous deux perpendiculaires & ces Tîbnlions, les franges sont des portions d'anneaux directs; dans les quatre autres secteurs, les franges sont des portions d'anneaux compléaiMairef.

I— f pandiéJea * l'*x«. — La partie visible du phénomène est lonjourt donnée par des rayons peu inclinés sur la normale, c'est-à-

dire sur une perpendiculaire à l'axe du cristal; il est par conséquent inutile de considérer une autre porlion de la surface d'é^^al retard que

Fin'. 71.

celle qui avoisine le cercle de gorj^^e. Celle surface peut donc être ici re^^ardée connue un liyperboloïde de i'ùvolulion. Les sections faites par le plan supérieur de la hune sont des hyperboles équilatéres dont les asymptotes sont inclinées de Vo^ sur l'axe du crislal. Les équations de ces hyperboles, rapportées à leurs axes, sont :

L'axe transverse réel de l'hyperbole est dirigé perpendiculairement à l'axe lorsque m- >£-; parallèlement à Taxe, au contraire, lorsque ?«-<C£^ Si Ton prend L' satisfaisant à la double condition

> Zy

l'hyperbole noire la plus rapprochée de l'axe, entre deux niçois croisés, correspond au retard // pour les combes doiit l'ave réel est perpendiculaire à l'axe du cristal, et au retard // — 1 pour celles dont l'axe réel est parallèle à l'axe du cristal. La juciniére série d'hyperboles correspond à la série de retards A', A'-f- 1, //-f-2, etc.; la deuxième série cor-

respondà celle des retards k' — 1 ,&' — 2, k' — 3, etc. Les asymptotes» sauf des cas très particulier:^, ne sont comprises ni parmi les courbes noires» ni parmi les courbes lumineuses.

La grandeur du demi-axe transverse de chaque hyperbole» tracée sur le plan du réticule, est

ne ^ n \ (n,— «Je*

Poisque la première courbe visible correspond à

k est le plus souvent un assez grand nombre, car e[n^ — n^ est généralement grand par rapport à 1, Cette remarque est importante : car on sait qu'avec la lumière blanche les phénomènes d'interférence disparaissent pour de grands retards ; il en résulte que les franges ne sont visibles, en général, dans les lames parallèles à Taxe» qu'avec de la lunûère monochromatique.

Pour fixer les idées» supposons que la lame soit une lame de quartz deO"<°,5 d'épaisseur» éclairée par la lumière jaune du sodium. On n

et

d*où Ton déduit

Les premières hyperboles visibles, de part et d'autnî des asymptotes, correspondent donc à des retards égaux à 9 et 8 longueurs d'onde ; ces retards, avec la lumière blanche, ne donnent guère que du blanc, Si Ion avait» au contraire,

les premières hyperboles correspondraient à des retards égaux à 1 et 0. Les hyperboles seraient visibles, et lune d'elles, étant noire» pourrait être confondue avec l'hyperbole incolore d'un cristal à deux axes. H est

CMSTAULOGRiPHIB, T. U. 14

vrai que, à mesure que e devient plus polit, les axes transverses des hyperboles deviennent plus ^Tands, et que les hyperboles peuvent ainsi disparaître du champ.

Superposition de deux hinies perpendienlaireM <\ Taxe. — Nous

avons vu, en parlant des phénomènes produits par la lumière parallèle, que les choses se passent, avec deux lames perpendiculaires à l'axe et superposées, connue dans le cas d'une lame unique dont l'épaisseur optique serait é^^Mle à la sonmie algébrique des épaisseurs optiques des lames. La même conclusion s'appliquera encore aux phénomènes de la lumière convergeiite, si l'on ne considère que des rayons peu différents de la normale.

Lorsque, en superposant une seconde lame à une première, la somme algébrique des épaisseurs optiques est de mémo signe que l'épaisseur de la première, cette superposition équivaut donc à une augmentation d'épaisseur de la première lame, lorscpie la seconde est de même signe optique ; à une diminution dans le cas contraire. Dans le premier cas, les anneaux sont rétrécis; dans le deuxième cas, ils sont dilatés. Kn superposant à une lame de signe inconnu une antre lame de signe connu, comme une lame de quartz par exemple, on a donc un moyen expérimental de déterminer le signe de la première.

11 reste toutefois dans certains cas quelque incertitude sur la question de savoir si l'épaisseur optique de la lame connue reste toujours plus faible en valeur absolue que celle de la lame inconnue. I/incerlilude ne peut se présenter que lorsqu'on observe un élargissement des anneaux ; mais elle peut être levée en observant alors les anneaux de la lame de quartz en premier lieu, et en superposant ensuite la lame inconnue ; si l'élargissement des anneaux est encore obtenu, on est sûr que les deux cristaux sont de même signe.

Superposition de deux Inniew parnllèleN A l*axe, de même nature et de même épaiSMenr, niaiM dont 1cm «lectloiiw prinelpales «ont

crolséeM A angle droit. — Considérons, dans la première lame, d'épaisseur e, le cône des rayons qui contractent, en le traversant, le retard A,, et dessinent sur sa surface supérieure une hyperbole équilatère dont nous supposerons Taxe transverse, de longueur R, perpendiculaire à Taxe optique.

Il y aura, dans la deuxième lame, une hyperbole équilatère identique et superposée à la première, mais dont l'axe transverse, toujours de longueur l\, sera parallèle à l'axe optique. Le cône de rayons qui, partant

GHÂP. YI. — LUMIÈRE œNYERGENTE. 211

du centre de cette deuxième lamot tracerait cette hyperbole sur sa surface supérieure, contracterait dans cette lame un retard égal à k^. Ce c6ne est semblable au premier, et les rayons du premier ci^ne, en traversant la deuxième lame, ajoutent au relard i^, le retard — k^, le signe — tenant compte de ce que les sections principales des lames sont croisées à angle droit. Les rayons ont donc tous contracté un même retard dëûnitif , égal à k^ — k^y après avoir traversé les deux lames, et l'hyperbole èquilatére d*axe transverse égal à 2R qu'ils tracent sur la surface supérieure, est la courbe d'égal retard correspondant au relard K = A, — k^.

Les courbes d'égal retard sont donc encore comme dans le cas d'une seule lame des hyperboles èquilatéres dont les axes sont dirigés suivant les axes optiques de chacune des lames. Il y a cependant entre les deux cas une différence très importante. Nous avons, en effet, dans la première lame, dont Taxe transverse est perpendiculaire à Taxe optique

R« = m« — e« = *Î9* — e« en posant, pour abréger.

On en déduit

Dans la deuxième lame dont Taxe transverse est parallèle à l'axe optique, on a

d*où Ton tire

On a donc