CHAP. YII. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. S

les axes de la vibration circulaire droite foument d*un angle égal à f dans le sens sinùtrorgum . ""

GoaipaslClon de plmleami Ylbr«tlons eircnlalres •Imiiltanées

àt Bièine «ens. — Lorsqu*un point est animé de plusieurs vibrations circulaires simultanées, de même période, de même sens, mais de rayons et d*anomalies différents, les composantes de la vibration résultante suivant OX et OY sont :

x = rsin ( Sx .p — 9 j 4-r'sin f 2tc^ —9') + ' y=rcos (Stc Y — 9 j +i-'cos (27:^ — 9) +•'

La vibration résultante est une vibration circulaire de même période et de même sens, dont le rayon est R et l'anomalie 4>. Si Ton pose, en effet :

j5=R8in/^2x«.-<ï>y y = Rsin f Sw^— <î>j.

l'identification des deux expressions respectives de x et y ne donne que deux équations distinctes, toujours résolubles : .

R cos <t> = i* ces 9 + r^ cos 9' -H . . R sin 0 =:= r sin 9 + r' sin 9'j-f . .

Ces équations montrent que, pour obtenir R et 0, il faut, à partir d'une origine quelconque, mener une ligne polygonale dont les côtés, de longueurs r, r', etc., font avec une direction arbitraire des angles respe<;tivement égaux à y, ç', etc. La direction qui, parlant de l'origine, ferme le polygone, a pour longueur R et fait avec la direction arbitraire un angle égal ù 4>,

Bé termina tton de» direct Ion» et des grandeurs des axes d*ane

vlibration elllptifl|ne. — Reprenons les équations de la vibration elliptique, rapportée à deux diamètres rectangulaires quelconques,

jc = p sin 2ic =

y=:çsinf 2^^ +? — ^ )

et cherchons à déterminer la direction et les grandeurs A et B des axes de l'ellipse vibratoire, ainsi que l'anomalie 4» des vibrations axiales.

Appelons 0\',0y' (fig. HH) les directionspositives dos axes de l'ellipse, Y^ y fj. rini«le de OX' avec 0\\ romplê à partir de

i)\' dans le sens droit.

Les l'onnules de transformation des eoordonnées donnent :

y -^xcosjjt-f î/sin;A //'= — r sin |j. -f y cos ;/..

Les écpiations de la vibration, ra|)porlê<'s

Vii^. NN.

aux n«Miveaux axes» sont donc:

X' =^p cos fx sin '1t, | -v q sin |jt. sin f "It: 7i,-i-^ — '}j j , // — — y>^î"IAsin^27:;j, -i f/(:os(j.sin /^2t:;|, -f 9 — 6 ],

Les é(|nations de la vibration elliptique, rapportée à ses axes, sont d'ailleurs :

r- A sin ('i>-i>>«r»).

/y' = Bco> ( 2-7j;— <[»)•

Kn idenliliant, (|ue| (pie soit /, ees deux systèmes d'équations, on trouve :

V cbs *J> - p c< ►s [j. + q sin ;a cos ( 9 — '}) — A sin <I> ^- q sin [;. sin (9 — •j^)

r» sin <I> — /; sin ;a -f 7 cos u cos (c, — O j? cos <!>=:(/ (OS i). sin (9 — '^).

En multipliant niend)re à membre la d"^' «M la Tr', on obtient: Ansin<I>roscI)-:^;j7cos2ix 005(9--.^ — - p*s\\\ 2;x4-r> 7*sin2p,cos«(9 -f}) Eu multipliant nuMubre à membre la 2' et la 4", on obtieîil :

AHsiiMpcos^I) - - ^'-sin 2[;.siir'(9 — 1!/)

d'où l'on ennelul :

2/>7 COS 2îXC0S (9 — 'Vi — (^i q-2) ,i,j 2|;.=.- 0

CHAP. Vn. -. DIVERSES ESPECES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 347 oa

*^2|A=^i£2L-cos(9-(|;).

On peut mettre cette expression sous une autre forme, en remarquant que, si Ton représente l'intensité p^-hq* de la vibration par i, on peut poser

p = ces tt 9 = sin II ;

il vient alors

tg2|ji=tg2iicos(ç — i};).

Pour trouver les valeurs de A et B, nous pouvons additionner membre à membre la 1'' et la 4^' équation d'abord, ce qui donne :

(à+ B)cos4>=pcos(i.+ 9sin(|jL + 9 — (];)

et retrancher ensuite la 2' de la 5^» ce qui donne :

(A4-B)sin* = — psinji-f gcos((Ji + ç— (|;) On en déduit sans peine :

(A + B)«=p«+g« + 2pg8in(9-^) ou, en se servant encore de l'angle auxiliaire u,

(A + B)»= 1 4- siD 2ii sin (9 — (|;).

On obtiendrait de même (A — B)'; mais on peut le déduire immédiatement de (A + B)', en remarquant que l'intensité vibratoire restant la même, on doit avoir A*-|-B*=;)*-|-9«, ou (A + B)*+(A — B)»

On en conclut :

(A — B)«=p» + ç« — 2pçsin(9-(|;). ou

(A — B)» = 1 — sin 2tt sin (9 -^).

PéeomposliloM d'vne vibration eUlptlqne en deux vibrations

drcalnlrea Inverse*. — Considérons une vibration elliptique dont les vibrations axiales sont :

.T = Asm27^» y = Bcos2z ;j7-

Nous pouvons considérer la vibration suivant l'axe des x comme composée des deux vibrations

tf= -y- sin 27VS » x*'= —H- sm 2iç = ,

et la vibration suivant Taxe des y comme résultant des deux vibrations composantes

, A + B ^ t ,, A — B ^ t y'= —g- cosStc ^» y"= g— cosSic ^•

Or x' et y' sont les deux composantes d*une vibration circulaire dex-

trogyre de rayon — - — , etx", y" les deux composantes d'une vibration

circulaire sinistrogyre de rayon — ^ . D'où ce théorème : une vibration

elliptique peut être considérée comme composée de deux vibrations circulaires de sens inverse, qui, rapportées aux axes de Tellipse, ont la même anomalie que celle-ci. Le rayon de la vibration circulaire droite est égal à la demi-somme algébrique des axes de Tellipse; celui de la vibration circulaire gauche est égal à la demi-différence algébrique des mêmes axes.

Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, que si OX et OT sont les directions de deux vibrations rectangulaires, dont les amplitudes sont sin u et cos u, dont Tanomalie relative de OY parrapport à OX est^ — f , et qui équivalent à une vibration elliptique dont les axes sont OX' et OY', on a

tg2H.= tg2«cos(ç — 4*)

|x étant Tangle, compté dans le sens droit à partir de OX', que fait OX' avec OX.

Si Ton pose —^ — = r, ~ = r^, r et Tj étant les rayons des deux

vibrations circulaires inverses dont la vibration elliptique est la résultante, nous aurons

o i cos2« cosStf

cos 2lJL= =^= , — =—

y/l -f Ig* 2ucos* (9 — ^) V 1 — s»»* 2tt sin« (9— <j*) *'''*

On ti'ouverait de môme

. o sin 2tt / , V ^*" »^*^"4?;; cos((p-tj;).

Décomposltloii d*ane vibration rectillyiie en deux vibrations

eircnlaires inverses. — Une vibration recti ligne peut être considérée comme une vibration elliptique dont Tun des axes, B par exemple, est égal à zéro. On déduit immédiatement de ce qui précède qu'une vibrâ-

CHAP. Vil. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 34»: tion rectiligne, dont Tamplilude est A, peut être décomposée en deux

vibrations circulaires de sens contraire, ayant ^ pour rayon commun.

Les axes de ces vibrations circulaires, entendus comme nous en sommes convenus plus haut, sont : la direction de la vibration rectiligne pour Taxe des x, et les deux directions d*une perpendiculaire à cette vibration pour les axes des y.

(7mnpoMUii«s rcctlllgnes de deux vlbratloB* clreulalres !■«

vencs. — Considérons deux vibrations cii^culaires de sens inverse^ l'une droite, de rayon r, dont les axes sont OX et OY (fig. 89) ; Tautre gauche, de rayon r', et dont les axes sont OX'i et OY'; OX' faisant avec OX, un angle j^, compté à partir de OX, c'est-à-dire de Taxe des X de la vibration droite, dans le sens dextronum^ et cherchons quelle est la composante de ces deux vibrations suivant une direction OA, faisant avec OXun angle égal à |3 compté à partir de OX dans le sens droit. On voit facilement que cette composante est égale A

Fig. 89.

j^rcosp-f r'cos(p— x)lsin2r|.4- [— rsin^ + Ksin (P— x) ] ^*2iç ^

L^intensité I de cette composante est

1= r* 4- r'* + 2rr' ços (2p — /).

iradoM elllptiqae prodalte par une lame ertstalUiie m

taai MM polariaenr reciliigne. — Soit une lame cristalline dont les sections principales sont Oo et Oe (flg. t)0) , surmontant un polariseur

dont la vibration, dirigée suivant OL, fait un angle a avec Oo et ~ — a

avecOe, ce qui suppose Tangle a compté à partir de OL dans le sens

dextrorsum. Après la traversée de la lame, la vibration rectiligne du

polariseur devient elliptique, et les deux composantes de la vibration

sonty en prenant Oo comme axe deç x, 0^ comme axe des y.

X = cos a sin

in 2:: ((.-?) Pour appliquer ici les équations générales établies plus haut, il fau-

dra changer n en x, et ']^ — o en 2:: — . Nous aurons ainsi pour l'angle a que fait avec Oo Taxe A de la vibration elliptique,

t^'"2|j(. = igt>a('0s27:

L'angle a est compté à partir de Oo dans le sens sinistrorsum.

/e ' Quant aux axes A et B de l'ellipse^ ils

sont donnés par le3 équations

(A -h B)* =^ I + sin 2x sin 2;:

(A — B)«=l — sin2asin2'::

FiL'. W.

Cette vibration elliptique se décomposera en deux vibrations circulaires inverses, l'une droite dont le ravon est

--^- , 1 autre gauche, dont le rayon est — -y — •

La vibration elliptique est dextrorsum si A et B sont de même signe, c'est-à-dire, si (A 4- B)- est plus grand que (A — B)*, ou, en d'autres termes, si le rayon de la vibration circulaire dextrorsum est plus grand que celui de la vibration circulaire sinistrorsum , et inversement.

Pour que la vibration elliptique soit dextrorsum, il faut et il suffit

0 — e , que sin 2a et sin 2?: ~t — soient de même signe. Supposons que la

vibration ( )(> soit la plus lente à se propager dans la lame, c'est-à-dire que

0 — e soit positif, et admettons en outre — : — <; -i ou sin 2?: — r"

positif et 7. <; 90*\ L'ellipse est dextrorsum si % est positif, sinistror^

afAP. yfl. ^ DIVERSES ESPÈCES DE YifiRATIONS LUMINEUSES. 951

lom dans ie cas contraire. On peut énoncer cette règle en disant que, lorsque le retard de la lame est égal à un nombre entier - de longueurs d'onde augmenté d*une quantité plus petite qu'une demi-Ionpieur d'onde, le sens du mouvement vibratoire elliptique est celui du chemin que l'on parcourt en allant de la vibration du polariseur à celle des deux vibrations, transmises par la lame, qui est la plus lente à se propager. On sous-entend que Ton considère, parmi les directions des deux fibrations, celles qui font entre elles un angle aigu.

Des valeurs de (A + B)* et (A — B)' on déduit aisément celles de A* et B', qui sont :

2A*= 1 -f Vi — sin»2tisin*(9 — (|;) 2B« = 1 — v^i — sin« 2ii sin* (ç — f^).

De la valeur de tg 2tx on déduit les valeurs de sin Stx et cos SfA,qui iont :

. o sin2tt cos(o — (b)

sm2{ji=: '^ ^^

y^l— sin*2Msin"(9 — 4*)

cos 2ti *

y^i — sin' 2ttsin' (9 — d*)

En fonction de A' et de B', ces expressions prennent les formes suivantes :

. a sin2u , ,.

^»*2:i.= 5î3g;Cos(9-.4.)

Des 4 équations que donnent A, B, <{;, on déduit aisément :

sinttsin{iLsin(ç~tj/)

tg«P =

cos «cos (I. H- sin tt sin (A cos (^ ^^)

On peut multiplier haut et bas par sin fi, remplacer sin' ^ et sin 2;x par leurs valeurs en fonction de A' et B', et on obtient

tg <!> = -. tg(^-tj;) JJ5

252 DKIIXIKME PAUTIE. — CRISTALLOGUAPIIIE PHYSIQUE.

Cas où la lame cristalline est très uiince. — Si la lame cristalline est extrêinemenl mince, de telle sorte qu'on puisse négliger le

ù — e cube de 2?: — ^ — , les expressions de A, H, ^h et a se simplifient.

On a

A*=:- H- - W 1 - ^(o— cf sin* t^a=: i - '^, (o -cj^'siii^^;

B* ^,7-^ \ \ - -i^ (« — cY siu^ 2a =: .-, (o - c)* sIq^ 2z

d'où l'on lire

A = 1 — - r-r (o — cY sin-

B = r (o — e)sin 2a

Quant à jui, on a

tg2|j.-tg9a

d'où l'on tire

f g 2« - tg >2u - ^- '*-^ ^%(o- cf tg 2a .

ces t^jf, A

Si l'on pose y. — p = o)» o) est l'angle dont le grand axe de la vibralion elliptique a tourné en traversant la lame, et l'on peut écrire

(0 = n (o — cY sin 2a ces 2a = — (o — e) ^ ces 2a.

Si Ton compte l'origine du temps un instant o après le moment où la vibration tombe sur la lame, la phase a» acquise par la vibration elliptique est donnée par l'équation