D'UN GRAND NOMBRE DE PAQUETS TRÈS MINCES
i° CAS ou LA ROTATION DE LA VIBRATIOIV PEUT ÊTRE NÉGLIGÉE.
Un paquet très mince, composé de lames très minces, ne produit que des modifications très faibles dans les vibrations qui le traversent. Hais on peut superposer un nombre, aussi grand qu*on le voudra, de paquets identiques entre eux et semblablement orientés, de manière à former ce que nous appellerons une pile, d'épaisseur finie. Nous nous proposons de trouver les effets produits par une semblable pile.
Nous remarquons d'abord que la rotation ilQ, imprimée par un paquet à la vibration qui le traverse, étant du second ordre par rapport à l'épaisseur dE du paquet, on peut toujours concevoir les paquets assez minces pour que le pouvoir rotatoire de la pile tout entière soit négligeable. C'est le cas que nous examinerons tout d'abord.
Il est clair que dans ce cas, la pile se comporte comme si elle était composée de la superposition de lames cristallines identiques entre elles et de même orientation. Si l'épaisseur de la pile est égale à E, elle se comportera donc comme une lame cristalline d'épaisseur E, qui serait taillée dans un cristal fictif dont Tellipsoide inverse serait le même que celui d'un des paquet^ élémentaires.
Appliquons la théorie à quelques cas particuliers.
Paquet composé de deux lames Identiques entre elles. — Supposons un paquet composé de deux lames identiques entre elles et dont les sections principales sont croisées sous un angle m quelconque. Les deux ellipsoïdes inverses qui correspondent aux deux positions de la lame sont identiques entre eux, et ils sont placés symétriquement par rapport aux plans bissecteurs de l'angle m normaux aux plans des lames. L'ellipsoïde inverse résultant, qui régit les propriétés optiques du pa-
CHAP. Yin. ~ LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 275
quet, admet donc ces deux plaqs bissecteurs comme des plans de' symétrie. La normale aux plans des lames est ainsi un axe de cet ellipsoïde, dont les deux autres axes sont les deux bissectrices des angles formés par les sections principales.
Soient 00| et Oe^ la section principale de lune des lames, 00| et Oe,, celles de Tautre ; n, Tindice correspondant à o, n\ celui qui correspond
àe, dz=n — n' et -rg=2: nous prenons 01= Tgd= 5 (n — n'),
puis sur la direction 1 2 (fig. 97) faisant avec 01
dans le sens droit un angle égal à 2m, nous pre- ^
{ Dons encore 1 2 = 5 (n — n'). La direction 02 fait
avec 01 un angle égal à m, ce qui veut dire que l'une des sections principales du paquet fait avec
A^ ,,,,!»,. . Fig 97.
Oo, un angle égal a o » <^ ^^1 ^^ Que nous avions
déjà trouvé d*une autre façon. En outre, Tindice correspondant à la vibration dirigée suivant cette section principale est égale à
N est Tun des axes de rellipsoide inverse résultant ; un autre est,
^'= — 2 (n — n') cosm.
Le troisième axe N" de lellipsolde inverse résultant est perpendicu* laire au plan des lames et est égal au rayon de Tellipsoïde inverse composant qui coïncide avec cette direction.
Lorsque m = 90^, c'est-Â-dire lorsque les lames sont croisées à angle
droit, on aN=N' = — 0 — ; Tellipsoïde inverse résultant est de révolution, et la pile présente les phénomènes des cristaux uniaxes.
On peut réaliser ces deux cas avec des lames minces de mica biaxe. Norremberg a montré qu'en croisant de semblables lames à angle droit, on obtient une pile uniaxe. Reusch a croisé ces lames minces sous des angles quelconques.
Les lames de mica sont taillées perpendiculairement à Taxe - de Tel-
lipsoide inverse, qui est la bissectrice aiguë. Les indices correspondant
27(3 DKLXll'Mi: PMlTlJ:. - crilSiALLOGIi.VPUlE rilVSKjL'E.
aux \il)r;iliuns dil'i^^.'^'^ dans lei'l.iii des hiiiios sont donc n^, j)Oiirla vibialioii diriuéd siiivanl la liLjiio ili's |>ôl(\s do l<'imni>cates, //^ jiniir Tau- If;' \ il.r..li<>iî. Si U'S latm^s sodI croisr-es di' nianirrc »jno b'S lii4iio> d"'^ polo do cliacuiio d'ollos loniKMit un ani^li* /// uioiiidrt' (juo i>0 , la bissoclrick; diM-f>t aii-:l<' coi i o.-ji.'.t! à un a\.' dniil la ^rautli'ur (\st
— — L'OS m ;
l'axo pcrpendirulairo osl
7} -- ". n — il,
cosm,
doul le ii'axiniuiu est //, . Ou a ainsi
L*a\t' pcrpendirulairc au\ laïuos osl doue toujours le plus graud n\c do rellipsoïdo iuverso. On a d'aillours
N — N' -^ (// — Ui) cos m y
et par couséqucul N — ^'•<'^ — '^/,- ^i ï'<^'i appelle r l'angle de l'un do^n^'es optiques d'uue liuuoavec i\ixe -, et V l'angle de l'un des axes opliipn's d(^ la pile avec le inrine axe, on a
lot;
ou
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tt — //
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' __ :' CMC' /;/ — n
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I c<it:;-r — ros//ï
Mii-r
[if^. — iii^] {'o>Ht est plus jiclil (jiic //. — //^; déplus
i')s m r»u /?^. siu- /// -f- ii.co>'ni c<\ plus i^rand ([iie //^^, ])uis<pie c'e^l \c rayon d'uue ellipse doul //^, esl le p«'lil ax(\ Poui* eelte doid)le raison, on aura donc toujours /.7'V'</y'/' ou \ .:^r. Le croi>euieid des lames dimiruie «loue l^nijours l'angl»^ (le^ axes, juscpiVi l'annuler lorsque
CHAP. Vin. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 277
Paquet eomposé de S lames Identiques. — SuppOSOns que le pa*
qaet soit composé de 5 lames identiques entre elles. La o w ligne 05 (Og. 98) qui ferme le polygone 0123, fait avec 01 un angle qui est le double de celui que la section principale de la pile fait avec celle de la première lame du paquet.
Lorsque la section principale d*une lame fait avec celle de la lame inférieure un angle égal à 60^, la ligne polygonale 0125 (fig. 99) est fermée, et la direction normale aux lames est un axe optique de la pile.
C'est ce qui résulte d'ailleurs de celte remarque que cette direction est un axe ternaire de la figure formée par les 5 ellipsoïdes des 5 lames construits autour d'un centre commun. La pile est uniaxe et la direction normale aux lames est Taxe principal.
La grandeur N^ de Taxe principal de la pile est
égale à celle du rayon vecteur de Tellipsoîde inverse
d une des lames dirigé perpendiculairement au plan des lames. La
grandeur N^ du rayon équatorialde l'ellipsoïde de révolution, est égale
à la demi-somme des axes de Tellipse découpée par une des lames dans son ellipsoïde inverse.
On arriverait à une conclusion analogue, si le paquet était composé d'un nombre quelconque n de lames identiques entre elles et superposées de manière que la section principale de Tune des lames fasse
* Stt
avec celle de la lame précédente un angle égal à it: — .
H peut arriver non seulement que la pile soit uniaxe, mais encore que Taxe principal soit égal au rayon équalorial de l'ellipsoïde inverse résultant. Celui-ci est alors une sphère et la pile est uniréfringente. Mais, tandis que toutes les conséquences précédentes peuvent être vérifiées par Tempilement de lames de mica, il n'en saurait être de même de celle-ci. En effet, le mica étant négatif, l'axe normal aux lames est le plus petit axe de l'ellipsoïde inverse du mica, et il est conservé dans toutes les piles que l'on peut former. Les deux autres axes de Tellipsoîde inverse de la pile sont au contraire intermédiaires entre ceux de l'ellipaoïde du mica, et sont toujours, par conséquent, plus grands que le troisième.
2* CAS on LE POOTOIfi ROTâTOIBE die U pile SB PEDT PAS ÊTRE nÉGLlCé.
Lorsque le pouvoir rotatoîre de la pile ne peut pas être négligé, les phénomènes sont plus complexes, mais nous pourrons encore, par la construction connue, trouver l'ellipsoïde inversequi détermine, suivant chaque direction de propagation, ce que nous continuerons à appeler les deux sections principales de la pile. Cet ellipsoïde nous donnera encore la vitesse avec laquelle se transmet, suivant une direction de propagation, la vibration qui, elliptique à l'émergence, était, i l'incidence, rectiligne et dirigée suivant une des sections principales de la pile. Cette vibration traverse en eiïet, avec la même vitesse, malgré son ellipticité croissante, chacun des paquets qui composent la pile.
C*a d'na« TlbrMloB IncidCBlc. rectiligne el dirigée •■Itab* w»* de« *e«tlon« prUwl]p«I«» de l« plie. — Délcr^BMlon de II et
de 0. — Nous suppowBS une vibration incidente, rectiligne, d'amplitnde égale à 1, et dirigée suivant l'une des deux sections principales d'an paquet.
La vibration atraversé un certain nombre de paquets, et elTectué ainsi un chemin que nous appellerons E ; â ce moment, elle est devenue elliptique, le petit axe a pris une valeur égale à U, et le grand axe de l'ellipse a tourné, par rapport à la vibration rectiligne, d'un angle ègal&Û.
Il en résulte que la seclîon principale d'une lame élémentaire qui Taisait avec la vibration incidente un angle égal à y, fait avec le grand axe de la vibration elliptique, au moment considéré, un angle égal ày-0.
Nous supposerons que U el n restent assez petits pour que nous puissions négliger les termes dans lesquels ces quantités entrent A la troisième puissance.
On auni iiîrisi
rfU=^2e!sin3(Y — û) ou, en développant.
CHAP. YIU. — LABIES MINCES SUPERPOSÉES. 279
Nous nous bornons à considérer la variation dU pendant la traversée du paquet» de sorte que lei sin ^y et Sed cos iy sont des quantités très petites. On peut donc remplacer cos2û par i» puisque Terreur, qui est du deuxième ordre, est multipliée par une quantité très petite; on peut d'ailleurs toujours remplacer sin 20 par 2û, puisque Terreur commise n*e8t que du 3^ ordre : on a ainsi
Dans le 2^" membre, le i^^^ terme est du i^' ordre de grandeur, et le ^2« terme du 2« ordre. Le l^^" terme s'annule à la sortie du paquet, puisque nous avons vu que, pour un paquet,
2g3 sin 5y = 0 ;
on aura donc, pour la variation dV produite par la traversée du paquet considéré :
2k (/U = — --ûi:£Scos2Y.
Or, si nous nous reportons à ce qu*oiï a vu plus haut, nous verrons que leicosiy représente A(iE, \ étant le retard causé par le paquet, c*est-à-dire la longueur On qui ferme la ligne polygonale 01 2... n de la figure 96. Nous pouvons donc écrire :
(a) ^/U= — — SAdE.
Occupons-nous de dû; l'expression générale s'appliquera encore ici en substituant à y la valeur y — Q , que Ton peut supposer constante pendant la traversée d*un paquet. On aura donc
dÛ=^^U + tt-hY)e8cos2(Y-û)
Nous appelons u la valeur très petite de Taccroissement r/U, qui se produit après la traversée d*un certain nombre de lames du paquet. La valeur totale de dQ , après la traversée de toutes les lames du paquet, -est ainsi :
rfû=Ç02e8cos2(Y— û) + Çx/u + y)68co82(Y — û).
i>80 DI:LX1ÈME partie. — CRISTALLOGR.VriIIE PUYSIOUE.
Le si^no 1' iiidirjiK^, la ^()llllIle des (eriiu's riiialognes à celui qui esl écrit, et se r.ipportant successivement à chacune des lames (jui composent le paipiel. l^n développant les «-os 'J (v — Q^ et reniar.jnant que ['on peut fciii'e sin '2 0 -^ '20, et cos20 = I , puisque cos 20 i^st niulli- [)lié parloui par des fadeurs du 1'' oi'dre de grandeur, nous aurons, en supprimant (onjours les termes du T)" ordre :
Comme nous venons de le l'aire rv']ii.';r([ji»i', on a .Lsi cos -y = A^/E, l'I Ï£'j sin -y - 0. Qiiaiil ;. \'' 1^ ( /( -f- ^^,- J si'eos-y, il représente /v/E I V. p. tlZ) ; oji auia ilonc :
(/') du :;^"1 A^/E-f ;v/E.
Les étpir.lions {u) et [h\ sont les éqiiiitions dilTérentiflles siinullanées i-n l, il, //V, dil. (jifil s'ai.i( ù'inlégiei' j)our olitcnir los expressions de U ot il.
Pour ne }»as ein])arj'asser inulilcriît'nL les calculs, noi:s jinserons
-— A=i^'i>: li's é(|uations di: viendront alors :
Si l'on élimint^ ^Mi; cjdre cvs \\^\\\ '''fjua'ions, on oldient (C qui doinie par rinléi^i'arion
la constante étant nulle, puisqu'on doit avoir U^=0, pour a = 0. On tire de cette é«iuation
CHAP. YIU. — LâM£S minces SUPERPOSÉES. 281
Transportant cette valeur de U dans Teipression de dÇ) , il vient
ou
dû = dn}/(/E4/^— û«
il faut prendre le signe -f-, puisque pour J;= 0, on doit avoir da = + r(fE. L'intégration donne
.A t}^E = arcsin-Iû,
la constante étant encore nulle, car on a £2 = 0 pour E = 0. Cette expression peut se mettre sous la forme
Û = -sintlE.
Portant dans l'expression de JU, il vient
JU= — rsintJ^E.rfE.
ce qui donne, en intégrant,
U=7Cosd/E-|-C.
On doit avoir U:=Opour E = 0, c'çst-à-dire C = — ,ctparconsèquent
U = (1— costlE = — — sin»^.
En remplaçant \^ par sa valeur — A, les deux expressions de Q et U se mettent sous la forme
sm Y EA (4) û=rE— ^^
DEIlUtlIE
PIRTIE. -
- CRESIAltOCBiPHIE PHTSIQD!.
sin'jEl .
On déduit facilement de ces
deux expressions
(fi) u
— ûtg^Ei,
11^ L;rfini
sens, (lu
^ deux ell:
l?) u cos^Ei + û sin^EA = 0-
RMBarqiwa Bar Im valcnra d« TJ «1 de û. — Les valeurs de U et de Q sont proportionnelles à r et à l'épaisseur E de la pile. 11 faut se rappeler que r a pour expression
et qu'il est ainsi proportionnel à l'épaisseur dE du paquet, à l'aire s, qui dépend de la nature et de l'arrangement des lames de paquet, et qu'il est enfin en raison inverse du carré de la longueur d'onde ^, si l'on néglige la dispersion rristalline des lames qui composent le paquet.
La vibration rectiligne incidente a été supposée parallèle à l'une des sections principales de la pile, celle pour laquelle la vibration est en retard de A sur la vibration dirigée suivant la section principale perpendiculaire. Si la vibration était dirigée suivant cette seconde section perpendiculaire,û aurait la même valeur absolue et le môme signe; mais U, qui conserverait la même valeur, aurait un signe contraire, puisque A changerait de signe.
Les deuxvibratioDSreclilignes incidentes dirigées suivantles deux seclions |irind|i.ik's(lL' !^^ pile donnent donc, à l'émei^ence, des ellipses dont les grnnds axes ri?s|ii'cLiis ont tourné l'un et l'autre, et dans le même sens, du même aii^'k' 0, par rapport à la vibration incidente. Mais ces deux ellipses sont lie sens différents-, si l'une est dexlrogyre, l'autre IftVDgyre. et inversement.
rapportée i l'une des sections principales de la lame, la vibra- Idente
x=psin2ic=-
