CHAPITRE IL — PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICULAIRES

De même, au lieu de la base Aq A'^ on peut prendre pour maille plane un quelconque des parallélogrammes formés avec Aq A^ pour côté et pour autre côté une des droites joignant A^ avec l'un, des nœuds de la rangée A'^AV» et il est aisé de voir qu'on peut varier à rinfini de semblables combinaisons.

On démontre que dans un même plan réticulaire toutes les mailles planes que Ton peut former ont même surface. Prenons en effet, dans ce plan, une surface S limitée par un contour quelconque mais infiniment grande relativement à Taire w de la maille. Si n est le nombre de mailles contenues touft entières dans l'intérieur de la surface S, S sera égal à nw augmenté d'une aire égale à la somme d'un certain nombre de fractions de mailles réparti tout le long du contour. Cette aire, étant de l'ordre de grandeur du contour, sera infiniment petite par rapport à S, et nous aurons, à un infiniment petit prés.

S = nû).

Pour une autre maille d'aire w' nous trouverons de même

Hais les n premières mailles contiennent, à un infiniment petit près, tous les nœuds contenus dans la surface S, et il en est de même pour les n' secondes. On a donc, à un infiniment petit près,

d*oii l'on déduit enfin

Un raisonnement entièrement analogue démontrerait que toutes les mailles solides que Ton peut attribuer à un «ôme système réticulaire ont un même volume.

On déduit de ces théorèmes une conséquence importante. Considérons un plan réticulaire tel que AoA\, et soit &» la surface de la maille plane correspondant à ce plan; soit d la distance normale qui sépare le plan réticulaire A^ A'^ du plan réticulaire parallèle immédiatement contigu : le volume de la maille solide seVa

a étant constant, quel que soit le plan réticulaire considéré, on voit que û) est en raison inverse de d, c'est-à-dire que l'épaisseur d'une strate est en raison inverse de la surface de la maille plane correspondante, ou en raison directe du nombre de nœuds contenus par

unité de surface dans le plan réticulaire, c'est-à-dire de la densité réticulaire de ce plan.

Si l'on désigne par x, y, z les trois rangées conjuguées ; par xy, yz^ zx les angles des trois rangées conjuguées ; par a, b, c leurs paramétres respectifs ; par Ç, 13, ^, les angles dièdres des plans réticulaires conjugués ayant respectivement X, y, Zy pour arêtes; enfin par w^y, «j,„ w«; les parallélogrammes élémentaires de ces planB, on a :

Fig. 6.

<ùxy = ab sin xy (ùyz = bc sin yz ta^x =■ ac sin xz ilz=:abc sin xy sin zx sin l = abc sin xy sin zy sin n=:abc sin zx sin zy sin Ç

ou, en posant

J = sina;t/sin2a;sinÇ=siu.î;i/sin2t/sinvir=sin2i/sin2Xsin2; nz=abcL

Si l'on appelle intervalle moyen des nœuds, le côté E d'un cube égal à l'unité de volume divisée par le nombre des nœuds que renferme cette unité, on a :

E5 — Q ou E:=r yTi

Rangées contlgnës et paramètre d'un •ysiènie de rangées. — -

Rapportons aux trois rangées conjuguées prises pour axes, la position de tous les nœuds du réseau.

Soit A, fig. 7, un de ces nœuds ; menons par A une parallèle à OX et soit A' l'intersection de cette parallèle avec le plan des ZY ; la longueur A' A eôt égale à un certain nombre entier de fois le paramètre a, puisque> d'après la loi de formation du réseau, une série de plans réticulaires parallèles à ZY et équidistants entre eux d'une longueur égale à tti comprennent sans exception tous les nœuds du réseau. Le point