CHAPITRE XVI. — IMPORTANCE DES DIVERSES FORMES SDÏPLES

normales des paramètres égaux à Taire de la maille du plan divisée pai* rintervalle moyen des sommets. Si Ton mène les normales à xy et yz^ les paramètres correspoMants du réseau polaire seront G et A ; la normale au plan diagonal (iOi) sera la diagonale du parallélogramme construit sur A et G. Or, lorsque le réseau primitif sera centré, Taire de la maille du plan diagonal sera moitié moindre, le paramètre de la diagonale du 'polaire sera donc moitié moindre, et toutes les faces du parallélipipède du polaire devront être centrées. D'ailleurs le volume de la maille du réseau primitif a diminué de moitié. Tintervalle moyen a donc diminué dans le rapport de 1 à v^2, et comme

slqhk) P [ghk\ = -^ — , il faut, puisque E a diminué dans le rapport de

1 à v^2, que P [ghk] augmente dans le même rapport.

II. Si Von centre les 6 faces du parallélipipède d'un réseau A, (m obtient le polaire du nouveau réseau en centrant le polaire de A et diminuant toutes les dimensions dans le rapport de i à \/2.

Ce théorème pourrait être démontré directement, mais il est une suite nécessaire de la réciprocité du réseau primitif et de son polaire.

III. Si Von centre les bases du parallélipipède d'un réseau A, on obtient le polaire du nouveau réseau en centrant les bases du polaire de k et mvlti-

pliant les paramètres deXet^ par y/^y celui de Z par -^ •

En effet, il faut diviser par 2 le paramètre perpendiculaire à la base du primitif, puisque Taire de cette base est devenue moitié moindre; il faut diviser par 2 le paramètre des diagonales de la base du polaire, ce qui revient à centrer ces bases; enfin il faut agrandir tous les paramètres dans le rapport de 1 à v^2, puisque le volume de la maille du primitif a diminué de moitié.

Ges théorèmes permettent de conclure du mode que présente le réseau polaire à celui que doit présenter le réseau primitif. On peut donc se borner à la considération du réseau polaire.

IV. Si Von centre tous les parallélipipèdes générateurs du réseau^ Vaire de la maille du plan (ghk) restera le même si g-hh-f-k est impair et deviendra moitié moindre si g-hh-hk est pair.

En effet, considérons tous les plans parallèles à (lll) dans le réseau polaire dont toutes les faces sont centrées, et appelons-les 0, 1, 2, 3 à partir de celui qui passe par Torigine ; tous les plans impairs ont

leur maille diminuée de moitié; les mailles de tous les plans pairs n'éprouvent pas de changement. Le pôle (^ffefc) se trouve dans le plan de rang (^H-ft4-A:). Or, si le pôle se trouve dans un plan pair, 6 par exemple, les rayons vecteurs passent par des pôles ajoutés dans le plan 5 ; donc la longueur du paramètre du rayon est diminuée de moitié.

Si, au contraire, ^-f-A+fc est impair, le rayon recteur ne passe par aucun nœud ajouté.

V- Si. l'on centre, dans les plans z=0 z=l, /es bases duparallélipipède générateur d'un réseau, la face (ghk) conservera faire de son parallétogramme générateur si g+h est impair, et celle-ci deviendra moitié moindre si g-i-h est pair»

En effet, dans le réseau polaire, les faces sont centrées ; la démonstration s'achèverait comme précédemment.

VL Si Von centre les 6 faces du parallélipipède générateur d'un réseau, Vaire du parallélogramme générateur de la face (ghk) deviendra moitié moindre si toutes les caractéristiques ne sont pas impaires^ et 4 fois moindre si cette condition est remplie,

Eu effet les parallélipipèdes du réseau polaire sont centrés. Une rangée partant de l'origine et rencontrant d'abord un de ces centres renconti^e un sommet symétrique de l'origine par rapport au centre ; le nombre des parallélipipèdes traversés par la rangée entre l'origine et ce sommet est impair, puisque ce nombre est le même de part et d'autre de celui qui comprend le centre. Les caractéristiques du sommet sont donc l'unité augmentée de trois nombres pairs ; elles sont donc toutes impaires.

II en résulte que lorsque les caractéristiques de la rangée sont toutes impaires, le paramètre est diminué de moitié par le centrage des parallélipipèdes; ce paramètre n'est pas modifié dans le cas contraire. Toutes les dimensions du réseau polaire ayant dû être diminuées dans le rapport de 1 à v^2 ( théorème II), l'intervalle moyen- des nœuds du polaire cjât de ce fait diminué dans le rapport de 1 k\/2; il est encore diminué dans le rapport de 1 à v^ par le centrage, il est donc diminué dans le rapport de 1 à v^4. On aura donc

en appelant P \ghk\ le paramètre du polaire du réseau primitif à faces non centi'èes.