CHAPITRE VI

SYSTÈME CUBiaUE OU TEROUATERNAIRE

Système régulier (Rose). — Système tesséral (iNaumann). — Système to?siM:iire (Schrauf). — Premier système crislallin (Dufrénoy). — Système octaéifrlque (Miller),

Des modes possibles du réseau — Par un nœud N (flg, 28), menons un plan réticulaire normal à un axe quaternaire; si Ni est un nœud pris dans ce plan à la distance minimum de N, les sommets Nj, N3, Ni du carré ayant N pour centre et NN^ pour demi-diagonale sont aussi des nœuds. Les deux rangées perpendiculaires NN^, NNj ayant des paramètres égaux, la maille du réseau plan est un carré, car ces deux rangées sont conjuguées. Si elles ne l'étaient pas, en effet, il y aurait un nœud dans l'intérieur d'une maille carrée NN^ N, N5, et ce nœud étant à une distance de Tun des sommets de la maille, moindre qiu' N>\, on en conclurait aisément qu'il y aurait dans le plan un nœud plus voisin de N que ne l'est N^, ce qui est contraire à Thypothèse.

Dans le plan réticulaire à maille carrée considéré doivent se tîwivTi" compris les deux autres axes quaternaires; ces axes peuvf^nt rïrc dirigés ou suivant les côtés, ou suivant les diagonales de la maille.

Nous supposerons d'abord qu'ils coïncident avec les côtés delà maille.

On sait, d'après un théorème connu (page 44), que si Ton *:orisidt*rc 3 plaift contigus, que l'on notera 0, 1, 2, en allant de liaut en bas, les projections des nœuds du plan 2 coïncidant toujours avec les nœuds du plan 0, celles des nœuds du plan intermédiaire 1, peuvonl coïncider soit avec les centres, soit avec les milieux des côtés de la maïlle dn plan 0.

On n'a donc que trois cas à examiner :

1*' cas. — Les projections des nœuds du plan 2 coïncident avec les nœuds du plan 1. La maille solide est un prisme droit à base carrée, qui est en réalité un cube puisque une rotation autour d un des axes ternaires doit amener successivement en coïncidence, les trois arêtes du prisme.

2' cas. — Les projections des nœuds du plan ^ coïncident avec les

centres des mailles dû plan 0. La figure 29 dans laquelle Ao,^o'»Bo,Bo' sont les projections des nœuds des plans pairs, et A4,A'i,Bi»B'i les projections des nœuds des plans impairs montre quelle est, dans ce cas , la disposition générale du réseau.

Une rotation de IW autour de Taxe ternaire passant en A^, amène A© A'^ en coïncidence avec A^ A^; le réseau peut être considéré comme formé par des mailles cubiques A^ B'o Aj B', ayant au centre un nœud A^. On peut dire que la maille du réseau est un cube, mais un cube centré.

En réalité, la vraie maille du réseau n*est plus un cube, et il est intéressant de voir quelle en est la forme. Représentons en perspective

(fig. 30) le réseau dont nous venons d'étudier la projection. Si Ton joint un nœud B'^ à trois centres des mailles adjacentes, B'^A^B^Bj.B'^A'^, et si Ton construit sur ces trois longueurs un parallélipipède B'^ A^ B, B- B\ A'jAjAj, ce parai lélipipède a tous ses côtés égaux, tous ses angles plans et tous

Ao

Ui

Bo

Bi

ob;

OBÎ

Fig. 29.

Fig. oO.

ses angles dièdres égaux ou supplémentaires. C'est ce qu'on appelle un rhomboèdre, L*angle dièdre de ce rhomboèdre est celui que forment entre eux deux plans diagonaux d'un cube; il est donc égal à 120^. Ce rhomboèdre de 120** est d'ailleurs la vraie maille du réseau, car il ne contient aucun nœud dans son intérieur.

CUAPITRE VI. - SYSTÈME CUBIQUE OU TERQUATERNAIRE. 69

5* cas. — Les projections des nœuds du plan l coïncident avec les milieux des côtés du plan 0. Supposons que le réseau du plan soit AoA'o Bo B'o (^ig- 30) la projection du réseau 1, peut être A^AVBiB'i, mais Taxe quaternaire passant en Ao exige alors dans le plan 1, un nœud a^ dont la projecti § vient par-

Oo

Bi Bo

Fig. 31.

tager AoBo en deux parties égales. La maille du plan 1 est donc Aj a^ B^ a\j et celle du plan 0, devant lui être égale, il faut qu'un système de nœuds a^ vienne occuper les centres des carrés A© A'o Bo B'o»

On voit donc que le réseau peut être supposé formé par un cube AoA'oBqB'o — A^A'jBjB',, portant un nœud au centre de chaque face. On dit que la maille est un cube à faces centrées.

Pour chercher la vraie maille du réseau, on figure la projection de ce réseau; on joint A'^ (fig. 51) avec les trois centres des faces voisines A^, Cq, a\, et on construit sur ces trois longueurs égales un parallélipipéde qui aura pour autres sommets les trois autres centres des faces, Ai, B|, a,, et le sommet du cube B,.

Ce parallélipipéde est une maille du réseau, car il ne contient aucun nœud.

Les arêtes sont toutes égales entre elles; les angles plans et les angles dièdres sont tous respectivement égaux ou supplémentaires; c'est donc encore un rhomboèdre. Le plan A'o a'^B^a^, qui est le plan A^BoB'j, est perpendiculaire à une diagonale du cube ; il en est de même du plan adjacent du rhomboèdre, aoB^B^a^; Tangle dièdre du rhomboèdre est donc Tangle formé par les diagonales du cube, qui est égal à 70^ 51' W et dont le cosinus a pour valeur \.

Après avoir supposé que les axes quaternaires sont dirigés suivant les côtés de la maille carrée du planO, il faut supposer qu'ils coïncident avec les diagonales. On aurait encore à examiner les trois cas précédents relatifs au mode de projection des nœuds. 11 serait aisé de voir que le 1*' cas est impossible ; que le 2® cas donne un cube à faces centrées et le 5«, un cube centré.

En sous-entendant les restrictions convenables, on peut donc dire, en

70 PRE^nÈRE PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE.

résumé, que les substances appartenant au système terquaternaire ont un réseau à mailles cubiques, ou, en employant le langage d'Haùy, ont le cube pour forme primitive. De là le nom de cubique donné souvent au système. Mais avant d'aller plus loin, il importe de voir si Tintroduction de mailles parallélipipédiques centrées ou à faces centrées n'apporte pas des modifications considérables aux formules que nous avons déduites de la théorie des réseaux.

Cria substitution d'une maille centrée ou à faces centrées à une maille ordinaire ne portant des nœuds qu'à ses sommets revient à introduire dans le réseau un certain nombre de nœuds dont les coordonnées numériques sont rationnelles ; les rangées introduites ont donc des caractéristiques rationnelles ; elles sont donc parallèles aux rangées de l'ancien réseau, et si l'introduction de nouveaux nœuds amène des rangées nouvelles, elle n'amène pas de nouveaux systèmes de rangées. Elle n'amène donc pas non plus de nouveaux systèmes de plans réticulaires, et la seule modification importante qui résulte de cette introduction de nouveaux nœuds est le changement de l'aire de la maille plane de certains plans réticulaires.

Sjstéme d'axen coordonnés. — Les axes quaternaires du système jouent un rôle tellement prépondérant qu'ils sont employés par tous les cristallographes (accord bien peu commun) comme axes coordonnés.

Angles des arêtes et de faces. — Les formules générales se transforment aisément en remarquant que les trois axes coordonnés sont rectangulaires et ont le même paramètre.

Si FF désigne l'angle de deux pôles P^ (pqr) et P' (pY/)

)/{p* -i- 9' + r*) (p'* H- q"" + 1-'*) Si RR' désigne l'angle des deux ai^êtes R, [ghk] et R^lg'hT]

cosRR'

V^lgf*-t-/i*-+-&*)(^'*-t-/i'*-hA'*)

Formes simples hoioédriqnes. — Si l'on considère les trois axes quaternaires, et, sur chaque axe, les deux directions positive et négative, on peut amener en coïncidence deux quelconques de ces 6 directions par des rotations autour des axes de symétrie, compatibles avec les indices de ces axes. Cette coïncidence obtenue, on peut faire coïncider entre elles deux quelconques des 4 autres directions. Il en résulte