CHAPITRE VI. — SYSTÈME CUBIQUE OU TERQUATERNAIRE

et, pour les former, il suffit d'écrire les caractéristiques à !a suite les

11 nos des autres et toujours dans le même ordre

pqrpq. . . .,

de prendre d*abord les 3 premières lettres, puis les 3 lettres qui deviennent les premières après avoir supprimé p, etc.; c'est ce qu'on appi^lle les permutations tournantes des trois lettres pqr.

Le triangle gauche qui contient (pqr) est séparé, par uo plan de symétrie, du triangle droit que Ton rencontre entonniarU toujours dans le même sens autour du pôle ternaire. L'existL^nci^ d'un pôle dans le triangle gauche entraîne donc celle d'un pôle syu il* trique dans te iriangle droit. Si le plan de symétrie considéré passe par X, les deux pôles auront le même X, et leurs Y et Z seront inversés. Les Ciiracténstiqiies du pôle symétrique seront donc (prq), et les syml)oles des pôles situés dans les trois triangles droits du quadrant XY s'ubtiendront en formant les permutations tournantes des trois lettres pnf.

On a ainsi, dans un des quadrants, 6 pôles ; et, comme tous k^s quadrants sont identiques, on en aura 6 dans chacun des 8 quadrants, ce qui fera bien 48 pôles. Il ne peut pas y en avoir d'autres, car il est aisé de voir que nous avons utilisé, pour les obtenn% luus les /éléments de symétrie du système.

Quant aux notations des pôles, elles sont identiques avec celles du quadrant des XYZ que nous avons considéré d^abord* sauf que, dans le quadrant des XYZ, il faudra affecter du signe — le paramèti-e correspondant à Taxe des X, et ainsi de suite pour les autres quadrants.

La forme holoédrique la plus générale du système terqanlernaire est donc un polyèdre à 48 faces ; la position des pôles sur la sphère nous montre d'ailleurs que ce polyèdre a 6 sommets à 8 faces sur les axes quaternaires, 8 sommets à 6 faces sur les axes ternaires, et enfin

12 sommets à 4- faces sur les axes binaires.

Ces données suffisent pour se faire une

idée précise de la forme de ce polyèdre qui est représenté dans la figure 34 et que Ton appelle hexoctaèdre.

Trapézoèdre. — Trioctaèdre. — Il est clair que, lorsque le pôle (pqr) se trouve sur Tuu des plans de symétrie binaire, 2 pôles symétriques se confonddJil ejj un seul; chaque

quadrant ne comprend plus que 3 pôles, et la forme simple ne possède plus que 24 faces.

11 faut et il suffit, pour que ce cas se produise, que deux caractéristiques soient égales entre elles; la notation de la forme sera donc ^

\ppr]

Il peut se présenter deux cas suivant que le pôle placé sur l'un des plans de symétrie binaire tombe dans la partie de la médiane du quadrant comprise entre le sommet et le centre du quadrant, ou dans la partie comprise entre le centre et le côté.

Dans le l®"^ cas, les longueurs interceptées sur les deux axes placés symétriquement par rapport au plan de symétrie? sont plus longues que la longueur interceptée sur le troisième, et on a p<;r.

Dans le second cas, Tinverse a lieu, et l'on a p>r.

1" cas : p<^r. Trapézoèdre. — La projection stéréographique des pôles est représentée figure 55. La forme simple a des sommets à 5 faces sur les axes ternaires, des sommets à 4 faces sur les axes quaternaires

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\ Fig. 55.

Fig. 56.

et des sommets également à 4 faces sur les axes binaires. On obtient un solide représenté , figure 36, que l'on appelle icositétraèdre on trapézoèdre, parce que les faces sont des quadrilatères.

2" cas : p'^r. Trioctaédre. — La projection des pôles est représentée figure 37. La forme simple a des sommets à 3 faces sur les axes ternaires, des sommets à 8 faces sur les axes quaternaires; 2 faces viennent se rencontrer, suivant des droites perpendiculaires