CHAPITRE VIII. — SYSTÈME TERNAIRE OU RHOMBOÉDRIQUE

Quant aux paramètres des nouveaux axes, ils se tirent des formules générales. En appelant a le paranièlre de Taxe binaire horizontal, h celui de Taxe ternaire, et t celui des arêtes rhomboédriques, on obtient les expressions

3 a* i — CCS xy

Entre Tangle plan cry et Tangle dièdre du rhomboèdre, la trigonométrie sphérique donne la relation

cosÇ = — cos*Ç+sin*Ç cosxy, ou encore

cosÇ ^ 1 — cosÇ

On peut donc écrire

2d« i-HcosÇ ~2"~T; :/

d'où

cosÇ=s .

Si l'on voulait, inversement, passer des axes x^, y^, u^, z^ aux axes a;, y, «, on aurait les formules de transformation

Calcul des maglem des arêtes et des faees. — Lorsque les arêtes du rhomboèdre sont les 3 axes coordonnésy on tire des formules générales, pour l'expression dej'angle R R' de deux arêtes (g h k) et {g'h'k):

^^^'= ^9 ' + hh' -h ht -f CCS xy (gh' -f g'h -h gk' + g' k-^hk^ h'k)

y^9*-+h* + li*-\-^CQSxy(gh-hgk+hk)^g'^-+h'*'-^k'^ + 2cosx^

et en remarquant que

gh' + g h -h etc. = (g-\-h-h k)(g' 4- /i' + k') - (gg" 4- hh' -h kk%

on peut écrire symboliquement

CCS RR' =: Sgfflf^ 4- CCS xy (ig X 2(y--- :^gg')

v/(2gf«+2 ces xylgh) (2gr* 4- 2 cos xylgV)'

Quant à l'angle P P' des deux normales aux deux plans (pqr) cl (p'^V), on a :

cosPP'

2pp' — CCS Ç (2p X 2p' — 2pp')

' v/2p* — 2 CCS ^ 2p^)(2p'* — 2 CCS Ç 2pY)

tangPF=D sin i s/u* -\-v^ -h^^ -\-rcosl(uv -huw -h vw)

l.pp' — CCS Ç (2p X 2p' — 5pp')

expression dans laquelle D, u, v, ii; ont la signification indiquée page 25.

Lorsque Vaxe ternaire et les trois axes binaires sont les axes œûrdonnés, on déduit des formules générales à 4 caractéristiques pour Tangle RR' de deux arêtes [ghkl] et [^h'k'V] :

^^''^luigu'-^hh^-^kk^)

cosRR^=

V I '•+ Iv^ i9'^h^-^k^)\\^l-^lÇ^(g'^^h--^k-)\^

et pour Tangle PP' des normales aux deux plans (pqrs) et (p'q'r's') : cosPFz "

Formea hoioédriqaes. — Projetons le cristal gnomoniqueraent sur le plan perpendiculaire à l'axe principal (fig.,4i6 et 420). On aura dans ce plan trois axes binaires o^r^, oy^, oUi disposés comme les axes binaires de première espèce du système sénaire, puis trois droites ox, oy, oz disposées comme les axes binaires de deuxième espèce du système sénaire, mais qui seront ici les traces des trois

CILVPITRE VlII. — SYSTÈME TERNAIRE OU RIIOMBOÉDIUQDÈ. 119

plans de symétrie, et les projections des trois axes coordonnés de l'espace lorsque ces axes coordonnés sont les arêtes du rhomboèdre primitif.

Hachons de deux en deux les secteurs de 60® compris entre un axe binaire positif et un axe binaire négatif; nous distinguerons ainsi trois secteurs non hachés et trois secteurs hachés. Trois secteurs de même teinte viennent mutuellement en coïncidence lorsqu'on fait tourner le cristal de 420® autour de Taxe ternaire; ils sont donc identiques ou de même espèce. Les secteurs hachés que Ton rencontre en partant d*un axe binaire positif et tournant dans le sens des aiguilles d*une montre, seront appelés secteun directs ; les trois autres seront les secteurs inverses.

Fig. 116.

Soit dans un des secteurs, que nous supposerons haché, pour fixer les idées, un pôle (ghk) ; il y en aura nécessairement deux autres avec

lesquels celui-ci viendra coïncider par des rotations de — ; on en

obtiendra les symboles en effectuant les permutations tournantes

de ghk.

Le plan de symétrie qui divise en deux parties égales le secteur

direct où se trouve (ghk), entraîne, dans le même secteur, Texistence

d'un pôle, symétrique du premier et qui, ayant le même ir, sera

noté (gkh). Ce nouveau pôle sera nécessairement accompagné de deux

autres avec lesquels il peut coïncider par des rotations de — • On a donc, • o

ii30 Ï^KhîillÈHE PAriTlK, ^ CUlSTALLOrxKAPUIE GÉOMÉTRIQUE.

au-dessus du plan médian, six pôles ayant respectivement pour symboles

ghk , . . akh

hkg . . khg.

Les trois pôles de la mâme coLonne vcrlicale se superposent par des rotations de 12U^; ks pelles situés en regard sont symétriques Tmi de Tautre par rapport à un plan de symétrie vertical. Les symboles de ces six pôles sont les six permutations des lettres ghk,

An-df/ssous du planmédian^ on aurait sÎk autres pôles symétriques des six premiers par rapport au centre» et dont les symboles seraient les précédents chan^^és de signe. Sur la figure 116 on a marqué» par de petits cercles, les projections des pôles inférieurs au plan médian, avec leurs synibûles. Dans cette figure, on a marqué d'un même signe les pôles qui viennent en coïncidence mutuelle par des rotations del20^

Dans la discussion précédente, nous avons épuisé la symétrie du réseau, car nous avons fait successivement appel à Vesistence de Taxe ternaire, à celte des trois plans de symétrie* et à celle du centre. L'existence des trois ascs binaires est une conséquence nécessaire de celle des éléments de symétrie précédents. La forme la plus générale du système ternaire a donc l'2 pôles et 12 seulemenL

Nous conviendrons, pour éviter toute confusion, de désigner une forme parle symbole de celui des 1^ pôles qui est situé dans le secteur de 60*" compris entre la trace du plan de syraétne sur laquelle se projette Ox, et celle du plan de symétrie sur laquelle se projette O^ït. Avec cette convention, la forme étant représentée par le symbole ^; A/J, dans

lequel g^k eXk sont des quantités algébriques, on a les inégalités algébriques

ij>h> k.

Dans cette forme simple, les six faces correspondant aux six pôles de l'hémisphère supérieur, viennent concourir en un même point de Taxe ternaire ; les six autres faces correspondant aux six pôles de rbémisphère inférieur viennent concourir aussi en un même point de Taxe ternaire symétrique du premier par rapport au centre, et la forme simple la plus générale se trouve ainsi donnée pai" la réunion de deux pyramides hexagonales accolées. Mais comme le plan perpendiculaire à Taxe ternaire et passant par le centre n*est pas un plan de symétrie, ces deux pyramides ne se raccordent pas en général suivant un bexagon ^