CHAPITRE IL ~ PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICULAIRES

De même, au lieu de la base AqA^ on peut prendre pour maille plane un quelconque des parallélogrammes formés avec A^ A| pour côté et pour autre côté une des droites joignant A^ avec Tun des nœuds de la rangée A'o A\ ; et il est aisé de voir qu on peut varier à rinfmi de semblables combinaisons.

On démontre que dans un même plan réticulaire toutes les mailles planes que Ton peut foimer ont même surface. Prenons en efTet, dans ce plan, une surface S limitée par un contour quelconque mais infiniment grande relativement à Taire «u de la maille. Si n est le nombre de mailles contenues tout entières dans Tintérieur de la surface S, S sera égal à n<» augmenté d'une aire égale à la somme d*un certain nombre de fractions de mailles réparti tout le long du contour. Cette aire, étant de Tordre de grandeur du contour, sera infiniment petite par rapport à S, et nous aurons, à un infiniment petit près,

Pour une autre maille d'aire J nous trouverons de même

Mais les n premières mailles contiennent, à un infiniment petit près, tous les nœuds contenus dans la surface S, et il en est de même pour les n' secondes. On a donc, à un infiniment petit près,

d'où l'on déduit enfin

Un raisonnement entièrement analogue démontrerait que toutes les mailles solides que Ton peut attribuer à un môme système réticulaire ont un même volume.

On déduit de ces théorèmes une conséquence importante. Considérons un plan réticulaire tel que AqA^ et soit &> la surface de la maille plane correspondant à ce plan ; soit d la distance normale qui sépare le plan réticulaire A^ A'^ du plan réticulaire parallèle immédiatement contigu : le volume de la maille solide sera

a étant constant, quel que soit le plan réticulaire considéré, on voit que u est en raison inverse de d^ c'est-à-dire que Tépaisseur d'une strate est en raison inverse de la surface de la maille plane correspondante, ou en raison directe du nombre de nœuds contenus par

unité de surface dans le plan réticulaire, c'est-à-dire de la densité réticulaire de ce plan.

Si l'on désigne par a;, y, z les trois rangées conjuguées ; par xy, yz, zx les angles des trois rangées conjuguées; par a, b, c leurs paramétres respectifs ; pai* Ç, 13, ^9 les angles dièdres des plans réticulaires conjugués ayant respectivement x, y, Zj pour arêtes; enfin par &>xy) ^v*^ <»xx les parallélogranunes élémentaires de ces plans, on a :

Fig. 6.

»xy = ah sin xy tayx = bc sin yz tù„=ac sin xz Q=:àbc sin ooy sin zx sin l = abc sin xy sin zy sin m = abc sin zx sin zy sin i

ou, en posant

J = sin xy sin zx siu ^ = sin xy sin zy sin n = sin zy sin zx sin C

(ï=:abcJ.

Si l'on appelle intervalle moyen des nœuds^ le côté E d'un cube égal à l'unité de volume divisée par le nombre des nœuds que renferme cette unité, on a :

E* = ft ou E= yil

Raillas eouÊignëm et paramètre d on système de raaf ées. -^

Rapportons aux trois rangées conjuguées prises pour axes, la position de tous les nœuds du réseau.

Soit A, fig. 7, un de ces nœuds ; menons par A une parallèle à OX et soit A' l'intersection de cette parallèle avec le plan des ZY ; la longueur A' A est égale à un certain nombre entier de fois le paramètre a, puisque, d'après la loi de formation du réseau, une série de plans réticulaires parallèles à ZY et équidistants enti*e eux d'une longueur égale à a, comprennent sans exception tous les nœuds du réseau. Le point