CHAPITRE XV. — CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES

Lorsqu'on donne les angles des faces avec celles du cube, il est commode de se servir de la projection gnomonique sur un plan de symétrie perpendiculaire à un axe quaternaire. Mais lorsqu'on se donne les angles des faces avec celles de l'octaèdre, ou qu'on se propose d'étudier surtout la symétrie ternaire du cristal, il est préférable d'employer une projection gnomonique sur un plan perpendiculaire à un axe ternaire. La /

projection gnomonique qui peut servir à tous les // cristaux rhomboèdriques peut encore servir ici lÂ^ \x'^\ puisque Ton peut considérer le cube comme un ^ ^

rhomboèdre de 90 degrés. 11 faut seulefnent déter- '^'

miner la distance du point de vue au plan de projection. On peut employer la construction suivante. Sur l'un des côtés P^P, (fig. 278) du triangle fondamental comme diamètre on décrit une demi-circonférence. On mène par le centre 0 du triangle une parallèle à P| P, qu'on prolonge jusqu'à la circonférence en a. Oa est la distance cherchée, car il est aisé de voir qu'avec cette distance du point de vue au plan de projection, on trouve pour les deux pôles P^ P, un angle droit. On verrait que

Oa=-ipiP, = 0,408.PiP,.

Les calculs inverses se font aisément en calculant, pour chaque pôle P, PZ et PZX au moyen des formules

*(/pzx=j ^i/pz=y^^-y^»

et calculant PF par la résolution du triangle PZP'.

DÉTERMINATION DE LA FORME PRIMITIVE LORSQU'ON EN CONNAIT UNE VALEUR APPROCHÉE.

Pour déterminer le réseau cristallin d'une substance donnée, la marche qui a été indiquée dans les pages précédentes consiste à choisir parmi toutes les formes simples observées dans les cristaux, une ou plusieurs d'entre elles auxquelles on assigne des symboles arbitraires.

Les distances angulaires des faces de ces formes, telles qu'elles sonl données par Tobservation, définissent le réseau.

Mais le réseau ainsi défini ne peut pas être le véritable réseau de la substance, puisque les angles qui ont servi à le calculer sont nécesiairement inexacts, à cause de Tiniperfection inévitable des observations. Si, au lieu de prendre pour point dedépai*t des calculs les angles choisis arbitrairement, on en prenait d'autres, on obtiendrait un réseau légèrement différent du premier, et Ton conçoit qu'on se rapprocherait le plus possible du réseau véritable si l'on prenait un réseau qui fût une moyenne entre tous ceux que Ton pourrait ainsi obtenir.

On déduit de cette remarque le procédé de calcul suivant.

Supposons qu'on ait écrit les formules qui donnent cos PF pour tous les angles PF directement observés,

cosPF=g,

N et D sont des fonctions de A^ B*, C*, AB cos XY, AC cos XZ, BC cos YZ. Si Ton dilTérentie les deux membres de cette équation, on aura

d cos PF =^ - ^== - sin PFdPF.

dH et db ne contiennent que les différentielles dk^^ (2B% (fC'.éfABcosXY, etc.; N et D* peuvent être considérés comme étant les valeurs de N et D' lorsqu'on y substitue aux 6 paramétres les valeurs calculées ; enfin le premier membre étant pris égal à la différence entre le cosinus de l'angle observé et le cosinus calculé au moyen du réseau obtenu, Têqualion ci-dessus peut être regardée comme une équation de condition à laquelle doivent satisfaire les différentielles dk*y dB*, etc., pour annuler la différence entre le calcul et l'observation.

En appelant ^r et ir' les paramètres des rangées qui vont respective-

ment de l'origine aux pôles P et P', et se rappelant que cos PF = -j.' on pourra écrire l'équation sous la forme

'TTw' sm Pr ir w

équation dans laquelle ir, ir' et icir' sin PP' ou l'aire de la maille de plan PP' peuvent être mesurés sur la projection gnomonique.