CHAPITRE XVr. — IMPORTilNCE DES DIVERSES FORMES SIMPLES
normales des paramètres égaux à i*aire de la maille du plan divisée par rintervalle moyen des sommets. Si Ton mène les normales à xy et yz, les paramètres con*espondants du réseau polaire seront C et A ; la
normale au plan diagonal (ÎOl) sera la diagonale du parallélogramme t'onstruit sur A et C. Or, lorsque le réseau primitif sera centré, l'aire de la maille du plan diagonal sera moitié moindre, le paramètre de la diagonale du Ipolaire sera donc moitié moindre, et toutes les faces du parallélipipède du polaire devront être centrées. D^ailleurs le volume de la maille du réseau primitif a diminué de moitié, Tinter-
valle moyen a donc diminué dans le rapport de 1 à v^^» et comme
sighk) P gA^j = -^^;^ — , il faut, puisque E a diminué dans le rapport de
i à V 2, que P [ghk] augmente dans le même rapport.
II. Si Ton centre les 6 faces du parallélipipède d'un réseau A, on obtient le polaire du nouveau réseau en centrant le polaire de A et dimi-
nuant toutes les dimensions dans le rapport de l à ^i.
Ce théorème pourrait être démontré directement, mais il est une suite nécessaire de la réciprocité du réseau primitif et de son polaire.
III. Si Von centre les bases du parallélipipède d'un réseau A, on obtient le polaire du nouveau réseau en centrant les bases du polaire de k et muUi-
pliaiU les paramètres de X et Y par v2, celui de 1 par -^c—
En effet, il faut diviser par 2 le paramètre perpendiculaire à la base
du primitif, puisque Taire de cette base est devenue moitié moindre; il faut diviser par 2 le paramètre des diagonales de la base du polaire, ce qui revient à centrer ces bases; enfm il faut agrandir tous les paramétres dans le rapport de 1 à v^2» puisque le volume de la maille du primitif a diminué de moitié.
Ces théorèmes permettent de conclure du mode que présente le réseau polaire à celui que doit présenter le réseau primitif. On peut donc se borner à la considération du réseau polaire.
IV. Si Von centre tous les parallélipipèdes générateurs du réseau, Taire
àela maille du plan (ghk) restera le même si g+h-f-k «si impair et deviendra moitié moindre si g-hh-+-k est pair.
En effet, considérons tous les plans parallèles à (lll) dans le réseau polaire dont toutes les faees sont centrées, et appelons-les 0, 1, 2, 5 à partir de celui qui passe par Torigine ; tous les plans impairs ont
308 PREHIËRE PARTIE — CRISTALLOGRAI'IIIE GËOHÉTRIQUE.
leur maille diminuée de moitié; tes mailles de tous les plans pa prouvent pas de changement. Le pôle (^hk^ se Irouve dans ie raag(g+k-i-k). Or, si le pôle se trouve dans un plan paii exemple, les rayons vecteurs passent par des pâles ajoutés dans ô : donc la longueur du paramètre du rayon est diminuée de m
Si, au contraire, g-i-k-t-k est impair, le rayon recteur ne pi aucun nœud ajouté.
\. Si l'on centre, dant Us p/aiw z=fi z^i, les botes du p pipide générateur d'un réseau, la face (ghk) conservera l'aire de rallélogramme générateur si g+h est impair, etcelle-ci deviendn moindre si g + h est pair.
En elTet, dans le réseau polaire, les faces sont centrées ; la d tration s'achèverait comme pi-ècèdemment.
VI. Si Von centre les 6 faces du parallélipipède générateur dun l'aire du parallélogramme générateur de la face (ghk) deviendre moindre si toutes les caractéristiques ne sont pas impaires, et 4 foi dre si cette condition est remplie.
En effet les parai lélipipèdes du réseau polaire son! centrés. L' gèe partant de l'origine et rencontrant d'abord un de ces centr contre un sommet symétrique de l'origine par rapport au car nombre des parallélipipédes traversés par la rangée entre l'origi sommet est impair, puisque ce nombre est le même de part et de celui qui comprend le centre. Les caractéristiques du : sont donc l'unité augmentée de trois nombres pairs; elles son toutes impaires.
Il en résulte que lorsque les caractéristiques de la rangée son impaires, le paramètre est diminué de moitié par le centrage rallélipipèdes; ce paramètre n'est pas modifié dans le cas coi Toutes les dimensions du réseau polaire ayant dû être diminué le rapport de 1 à ^ ( théorème II), l'intervalle moyen des nœ polaire est de ce fait diminué dans le rapport de 1 à v^2 ; il est diminué dans le rapport de 1 à V^ par le centrage, il est donc à dans le rapport de 1 à V^* On aura donc
en appelant P [ghk] le paramétre du polaire du réseau primitif non centrées.
