CHAP. II. — ÉLASTICITÉ

dimintttiûn subie après la déformalion par t'aagle des axes coi is X et jf. En appelant <3t^ cette diminution, on aura :

=xOk-

sque les axes seront rectangulaires, a^ pourra être considéré au le la diminution du dièdre rectangle forme par les deux pli onnès xiet yz.

aura de même pour les variations du dièdre dont les arêtes w éles aux X et aux y

à^ à^ du , dw

équations (4) et (6) du chapitre I (page 8] donnent immâdiatemei olrodiiisant les i} et les a :

+ "ï \ ?ï + 1+ (""„ h + "ï '*''* *'^ + P^ Pr. 5, [+ {\ Pc + P„ "çï *!•

ualion (7) (page 9) devient :

: l'équation d'une surface du second degré dont les rayons ve

»nt égaux à -j=. Cette surface est un ellipsoïde si les tî„ lî,, c

aitifs. Dans ce cas, toutes les dilatations sont donc positives. es dilatations i„ S^, $, est d'un aigne contraire à celui des dei la surface se compose de deux byperboloides coi^ugués. L'i )ond aux dilatations négatives, l'autre aux dilatations positive x asymptotique commun à ces deux byp6rboIO)des comprei

CHAP. U. - ÉLASTraTÉ. 25

m corps. Il est très aisé de trouver ces relations en Ëliniila diCTérentiation, u, v, w entre les six équations qui donileurs des 3 et des x en fonction des dlfTérentielles partielles

orte dans l'expression de a, les valeurs de ti et v déduites le d* et J , on a :

du dv d r. . à C-, j *, d\i Ax dy J c dxj y '

érentiant deux fois par rapport à da: et dy, on a la première équations ct-déssous, dont les deux autres s'obtiennent d'une analogue:

^ djfdï (il* dj/*

<iûc d^ du D preniî les différentielles -,-> -j-ï' -j— i on a :

da, (Pu rf*»

'dï ~ dtdy didx'

doy rf*u dhe

dy dydx dydx

dax d*» dho

"ST dxds dx dy '

^ d<i, dOy dctx dwdy ~ dt '*' dy dx '

ifférenliant les deux membres de cette équation par rapport ft dx,

aPQuant que -, — V = ^' «n obtient la première des trois

^ ^ dxdydx dydz

ma ci-dessous, dont les deux autres s'obtiennent de la mAme

d*^x d ïdCLy daz doLx\ dydx dx \dy dz dx/*

\ dxdz dy \ dx dz dy } '

É^rdi/ (iz \ (2x dy r/s /

Les deux systèmes d'équations (3) et (4) expriment des conditions de compatibilité nécessaires, auxquelles doivent satisfaire, pour un corps

quelconque déformé, les six fonctions ^ et a représentant une déformation, très petite autour de chaque point.