CHAP. U. -. ÉLASTICITÉ

Avec cette valeur de F {x, y), les équations qui donnent 2 ' J * ^^ t 2 ^^^-^ , deviennent :

Oo en dfVduit par Tintégration :

Or on a

rft; dw df,{x,z) dU[x.y)

rfy ' ■ ' d% et comme ot^ est indépendant de S, il faut que l'on ait :

ou

puisqu* aucune constante ne peut entrer dans l'expression des u, v, w. On trouverait, par un calcul tout à fait analogue :

Les expressions de u et r sont donc, en définitive :

« = 2 ^' "*" '^^ "*" 2 (^* "" "«) î^' " ^*^ — 5 "****' w=-2 y + «i^y -I- § (Pt — n) a;» — e^x — 2 "*

On peut maintenant se demander quelle est la torsion subie par une ligne supposée parallèle à Taxe du cylindre avant la déformation. Soit, après la déformation, m (fig. 7) la projection d*un point quelconque

CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 55

i la section est circulaire, on a :

i€s points de Taxe du cylindre, pour lesquels x = 0, y = 0, subissent es déplac^ements :

ils restent donc dans un plan vertical passant par Taxe des z, et dont la trace sur le plan des xy a pour équation :

^ n, iiy,

La courbe qu'affectent les points situés sur l'axe est une parabole ayant pour équation :

p=^\/m\'hn\z*,

p étant la distance d*un point quelconque à l'axe des z.

On peut considérer le déplacement total très petit de chaque point comme étant la superposition de deux autres. L'un de ceux-ci est une ti*anslation égale et contraire à celle du centre de la section qui contient le point, c'est-à-dire exprimée t>ar

l'autre a pour projections sur les axes, u ■+• u\v -+- 1;', eiw. Les premiers déplacements donnent une sorte de flexion de tout le cylindre, parallèlement au plan dont l'équation est y = -~^ j; ; les autres produisent une torsion uniforme autour de l'axe des z exprimée par l'équation :

Si Taxe des z est un axe cle symétrie, on a C^ = 0, D's =: 0, et l'axe du cylindre reste vertical. La torsion autour de l'axe des z est exprimée par l'équation précédente. Il est alors très facile de mesurer 6 avec exac-

CHAP. n. - ÉLASTICITÉ. 57

bseinrations d'extension sulfiraient à déterminer, si elle pouvait être opèèe, toutes les constantes élastiques» et la surface du 4*^ degré, qui rerësente la variation des A ou des E, suffirait à représenter toutes les propriétés élastiques du corps.

\oici par quel raisonnement élémentaire, on peut, avec M. de SaintiTenant» démontrer l'exactitude, les hypothèses convenables étant faites, de la réduction dont il s'agit.

Soient deux molécules séparées par la distance mn.

Une dilatation §, déplace n, par rapport à m, d'une longueur nn^

parallèle à s et exprimée par :

n«, = 8 rcos (r,«).

Un rétrécissement angulaire «^ ou a , déplace n par rapport à m, d*une longueur nn^ parallèle à 2 et égale à :

Si les actûms intermoléculaires ne dépendent que de la dUtance^ les actions développées entre les molécules m, n dans la direction mn par ces deux déformations seront donc K étant une certaine constante, Teçrèsentées par :

KS, r cos (r,«) et Ksi» r cos (r.o;).

Si l'on cherche la force élastique exercée sur un plan quelconque que Von désignera par 9, et la composante de cette force suivant a:, composanteque Ton désignera par P , cette composante sera la somme

des projections, suivant l'axe des Xy des actions exercées entre deux molécules m et n situées de part et d'autre du plan. Tous les termes de cette somme qui contiennent $^ ont la forme :

K8, r cos (r,2) ces (r,x)^

et le coefficient de i^ dans P^^ est

2Kr cos (r,«) cos (r».

^ trouve de même que le coefficient de oixz ou ol^ 4ans P^, est

2Kr cos (r,*) cos (r,«) ; ces deux coefficients sont donc identiques.