CHAP. VU. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. S
les axes de la vibration circulaire droite tournent d*un angle égal à (f dans le sens sinistrorsum.
Composition de plnsleiirs vibrations elrcnlalres slmaltanées
de même sens. — - Lorsqu'un point est animé de plusieurs vibrations circulaires simultanées, de même période, de môme sens, mais de rayons et d'anomalies différents, les composantes de la vibration résultante suivant OX et OY sont :
a;=:rsin ( ^t; ^ — 9 j -f r'sin (Stc^ — ?')h- •
y=:rcos (21; Y — ?) H-»''cos (^r. f ^<P j +-
La vibration résultante est une vibration circulaire de môme période et de môme sens, dont le rayon est R et l'anomalie 4>. Si Ton pose, en efTet :
aî = Rsin( Sic»— 4>jf y=Rsin f 2iç«— 4>j»
ridentiflcation des deux expressions respectives de ^ et |y ne donne que deux équations distinctes, toujours résolubles :
R cos ^ = r cos ç + '"^ cos 9' -H. . R sin 4> := r sin o 4- f sin 9'!+ . .
Ces équations montrent que, pour obtenir R et 0, il faut, à partir dune origine quelconque, mener une ligne polygonale dont les côtés, de longueurs r, r', etc., font avec une direcliou arbitraire des angles respectivement égaux à ç, ç', etc. La direction qui, partant de l'origine, ferme le polygone, a pour longueur R et fait avec la direction arbitraire un angle égal à O.
Détermination des directions et des f^randeors des axes d*ane
vibration elilptiqne. — Reprenons les équations de la vibration elliptique, rapportée à deux diamètres rectangulaires quelconques,
j;=rpsm2it =
y = çsinf 5tc| -\-<^ — à j
et cherchons à déterminer la direction et les grandeurs A ei B des axes de l'ellipse vibratoire, ainsi que l'anomalie 4» des vibrations axiales^
P- vu. — DIVERSES ESPECES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 947
Jt mettre celte expression sous une autre forme, en remarquant "on représente l'intensité p'+q* de )a vibration par i, on peut
alors
lg2|*=tg3iicos(ç — (J/).
trouver les valeurs de A et B, nous pouvons additionner membre 3re la 1" et la 4* équation d'abord, ce qui donne :
(A + B) ces O = p ces [X + g sin ([j, + ç — iji) ancher ensuite la 2' de la 3% ce qui donne :
(A + B)sin'l' = — psinjt+9cos(^i + y— Ji) în déduit sans peine :
(A + B)»=p'+ç« + 3MMn(ç->^)
1 se servant encore de l'angle auxiliaire u,
(A + B)'= 1 + sin 2i(sin(9 — 41).
obtiendrait de même (A — B)*; mais on peut le déduire immément de (A + B)', en remarquant qUe l'intensité vibratoire restant lème, on doit avoir A' + B* — 7»' + ^', ou (A + B)'+(A — B)»
I en conclut :
(A — B}' = p* + q* — 2m3in(ç-^).
(A — B)" = 1 — sin 2t. sin (^ —^).
ècompoBltioa d'wae vlhrMi*B clllptl^ae «■ iemx ill»v«tl«B« ■UircB iBTcrscH. — Considérons une vibration elliptique dont les aliéna axiales sont :
« = Asin2i:^. y = B cos 2i: ;ji ■
ous pouvons considérer la vibration suivant l'axe des a: comme iposée des deux vibrations
. m. - DIVERSES ESPÈCES DK VIBRATIONS LUMINEUSES. 340 ;nc, dont l'ampUlude est A, peut âlre décomposée en deux circulaii-ea de sens contraire, ayant ^ pour rayon commun.
ces vibrations cii'culaires, entendus comme nous en sommes •lus haut, sont: la direction de la vibi'ation rcctiligne pour , el les deux directions d'une perpendiculaire à cette ïîbraes axes des y.
aa*«a rcctllIgacB «le dos vlbralloaa elrc>lalr«B !■- Considérons deux vibrations circulaires de sens inverse, le. de rayon r, dont les aies OY (fig. 89) ; l'autre gauche, de et dont les axes sont 0\', et raif>ant avec 0\. un angle -^, partir de OX, c'est-â-dire de l'axe la vibration droite, dans le sens m, et cherchons quelle est la le de ces deux vibrations suidirection OA, faisant avec OXun :al & ^ compté à partir de 0\ sens droit. On voit Tacilemenl s composante est égale à
Fig. M.
f r'cosO— /)]sin2::i+ [- rsin3 + Ksin (p-/.) ] C0s2ic {. isité I de celte composante est
1= H + r" + 2rj-'cos (2^ — -/).
■ clllpllt|Me prodallc par i
e *rlsl«UlN« aam
I polariMBr rceilllcBc. — Soit unc tume Cristalline dont les principales sont Oo et Oe (fig. !)0) , surmontant un polariseur
vibration, dirigée suivant OL, Tait un angle «avec Oo el s — *
ce qui suppose l'angle « compté à partir de OL dans le sens sum. Après la traversée de la lame, la vibration rectiligne du :ur devient elliptique, et les deux composantes de la vibration I prenant Oo connue aie des x, Oe comn^e axa des y,
VII. — DIVEIfôK ESPÈCES DE YiBRATIONS LUMINEUSES. 3S1 le cas contraire. On peut énoncer cette règle eu disant que, retard de la lame est égal i un nombre entier de Ion- :ide augmenté d'une quantité plus petite qu'une demi-lonide, le sens du mouvement vibratoire elliptique est celui du s l'on parcourt en allant de la vibration du polariseur h celle nbrations, transmises par la lame, qui est la jAu* lente k se [>n sous-entend que l'on considère, parmi les directions des Lions, celles qui font entre elles un angle aigu. urs de (A + B)- et (A — H)' on déduit aisément celles de A' lont :
2A'= 1 + Vl — S'"' 2" sin* (p — <Sf)
SB" z^ I — V'i — sin' 2ti sin» {<f — .}.). [leur de tg 2;a on déduit les valeurs de sin 2}t et cos 2ft,qui
■ „ stnâu cos{ç— <L)
sin 2 [1= .. .'I .Jl —
\li — sin' 2k sin' {? — '!')
cos 3»
cosS|t= =.
y 1 — sin' 2usin* (<p — tji)
iction de A' et de It', ces expressions prennent les formes
équations que donneAt k,\i,<^, on déduit aisément : sin u sin LA sin (s — df)
tg*= A-.-- — ~
cos M cos I* H- siniisin(jicos(y — i}i)
Ut multiplier haut et bas par sin fi, remplacer sin* ^ et sin 2;/. '3 valeurs «n fonction de A* et B', et on obtient
'• VII. - DIVERSES ESPÈCES DE VIBR&TIONS LUMINEUSES. S55 lente vient rencontrer la laine, la nouvelle anomalie sera
et si l'on appelle la phase correspondant à l'anomalie
ocos'a + esin'd.
A"B=0 lorsque « = +45».
"A + B = 0 lorsque a = — 4S».
ime cristalline, que t'on dit alors piart d'onde, donne ainsi «, dans ces conditions, â une vibration circulaire, droite dans ier cas, gauche dans le second.
eut donc avec une lame quart d'onde produire une vibration re.
rend ordinairement des lames de gypse ou de mica biaie qui se ,rès aisément en lames 1res minces ; les lames de mica sont préparée qu'elles sont moins fragiles. L'épaisseur d'une lame de
ui produit un retard égal à - • lorsque A correspond au jaune
, est d'environ 0°"",052. Mais on ne mesure pas ordinaire- «tte épaisseur; on préfère choisir parmi de nombreuses lames âge celles qui donnent entre les niçois croisés et dans la lumière
In s'assure en outre que deux de ces lamelles, superposées piiral-
nt, donnent la couleur correspondnnl à ,) ou un jaune paille.
ut enfin s'assurer rigoureusement, au moyen du compensateur
page 180, si le retard d'une lame correspond bien k j ■
nicB blanc biaxe est négatif, et les lames de clivage sont perpenires à la bissectrice aiguë. La ligne des pAles des lemniscates,
'. Vit. — DIVKIISES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMl.NEUSËS. 355 îvaudmnt à la vibration recliligne OV, qui fait avec 0\ un tonné par la Pclalion
! fjL est compté à partir de OV; dans le sens direct lorsque tgjx ir ; dans le sens gauche lorsque Xgfn est négatif. Mvara r( aBal^Kciira circaialrra. — La Combinaison d'une .rt d'onde superposée à un polorise.urrectîligne,de manière que ans principales de la lame soient à 45° de la vibration du poest ce qu'on appelle un potariieur circulaire. Un semblable ne laisse en effet émerger de la lame que des vibrations cir-
lariseur circulaire pourra être droit ou gauche suivant que les is circulaires auxquelles il donne naissance. sont droites ou . Si A est l'amplitude de la vibration recliligne incidehte, le
: la vibration circulaire émergente est ■^■
I retourne un polariseur circulaire de manière que la lumière r la lame et sorte parle polariseur (qui devient un analyseur), anabjteuT circulaire, qui ne se laisse traverser que par des vi-
circulaires d'un sens déterminé. Cela résulte évidemment de sibililé du rayon lumineuic dont l'intensité est la même à l'é- :e et à l'incidence. It faut remarquer que la vibration circulaire
de l'appareil lorsqu'il fait fonction de polariseur, tourne â la
II d'aval du rayon une certaine face; et lorsque l'appareil fait I d'analyseur, c'est la face opposée de la vibration qui est tour- I l'aval du rayon. Comme le sens de la vibration change suivant sdcui faces de la vibration qui est tournée vers l'aval du rayon, lulte que le même appareil qui, comme polariseur, produit des circulaires droits, ne laisse passer, comme analyseur, que des circulaires gauches. En d'autres termes, en retournant un pulacirCulaire droit, on obtient un analyseur circulaire ^avcAe, et quement.
iipcrposant deux appareils identiques, l'un servant de polariseur, d'analyseur circulaires, on produit l'obscurité'.
!l ainsi que si l'on » deui éci'uui identiques, et si on les superpose t en r»* . l'un d'eui sens dessus-dcsïQuf^ uDBvis. qui tourne dins te premier, est urtlSe
.p. VII. — DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUHINEUSES. S57
'■ -yt et qui serait placée, entre deux niçois croisés pour le pre-
, entre deux niçois parallèles pour le second.
le ce n'est pas égal à 45', les teintes sont les rattmes, mais plus
î lavées de blanc.
nnie est placée entre un polariseur circulaire et un analyseur
e. les phénomènes sont évidemment de la même nature. Appe>
elTet ^ l'angle compris entre la vibration de l'analyseur et la
principale Oo, angle compté â partir de la vibration de l'analy-
ns le sens liniêtrormm. L'analyseur recliligne combiné avec la
istalline ne laisse passer que deux vibrations circulaires, l'une
dont le rayon est al /l rayon est^i A — si
rculaire est droit ou gaucbe, c'est l'une ou l'aulre de ces vibi'a- [ui est transmise.
ike erlatalllae onlaxc extuBlaée en lanière eoBve'C*'**' !■■ polarlKiar r«etlllgae e( an aaal;iiciv elr«Nl«ire. — Dans roscope à lumière convergente, sur le porte-objet duquel nous sons placée une lame taillée perpendiculairement à l'axe d'un 1 uniaxc, substituons à l'analystiur rcctiligne un analyseur cire. Nous pouvons admettre, si nous ne considérons pas des rayons nclinés sur l'axe de l'appareil, que la lame de mica reste sensi- !nt quart d'onde pour tous les rayons, et que les vibrations transsuivant toutes les inclinaisons sont circulaires. Au moins cette lièse approchera BufGsammeiit de la vérité pour permettre de rendre compte de l'aspect général du phénomène, l OP (fig. 92) la vibration du polariseur et UA celle de la vibration icol de l'analyseur que nous supposons à 90° de la précédente ; Useur circulaire sera droit si laïc du mica quart d'onde Op bisî l'angle POA, 0;» étant à droite de OA.
nsidérons le rayon qui, partant du point situé sur la face infée de cette lame à l'aplomb de 0 vient rencontrer la face rieure au point M. La vibration ordinaire es( dirigée perpendiirement à OM , et la vibration extraordinaire située dans le OM pourra sensiblement, si l'inclinaison du rayon est supposée considérable, être regardée comme coïncidant avjc OM, dont la dicBistuuGiuraïc i. j. il
lAP. YJI. — DIVERSES ESPÈCES DE \IBRATIO^S LllHmEUSES. 369 le ae,esldonnéparsin2jt-=— 1 ou— - = {2n + 3)^- Comme
de cercle décrits du point 0 comme centre sont des courbes etard, les courbes d'intensité minima, dont les quadrants îmnt des arcs de cercle correspondant aux retards successifs :
^ j) X,etc.
les quadrants pairs, où sin Ix est négatif, les minima de 1 sont parsin2it- = l ou 2jr =(2n-t-I}i. Les courbes d'intensilù a sont donc des arcs de cercle correspondant aux retards suc-
it le premier est plus près du centre que le premier des arcs midans les quadrants im pairs -
ir un même d, c'est-à-dire pour tous les points d'un même cercle O pour centre, l'intensité minima est donnée par sin 3a =^ — 1
je sin 2ir- est positif, comme cela a lieu pour les arcs de cercle
na dans les quadrants pairs; et par sin2a = -f-l lorsque
les quadrants impairs. Les parties les plus sombres de ces arcs rcle sont donc situées sur les deux bissectrices des angles formés ia lignes OP et OA.
) arcs de cercle minima les plus rapprochés du centre et qui se ent dans les secteurs pairs sont par cette raison les plus sombres i plus apparents. Ils forment comme deux taches, noires avec la lue monochromatique, colorées avec de la lumière blanche- Les es les plus apparentes de ces taches sont, dans le cas que nous i spécifié, d'une lame cristalline positive, située sur une droite îndiculaire à l'axe du mica quart d'onde, ou, comme moyen mnéique, faisant avec cet axe le signe -{-.
la lame cristalline est négative, $ change de signe, et il est aisé
HAP. VII. —DIVERSES ESPÈCES DE VIBRATIONS LUMINEUSES. 261 cos' 7[y ^ lumière blanche, la teinte sera celle que donnerait la
itre deux niçois parallèles.
inalyseur circulaire est gauche, l'intensité de la vibration recU-
bmergente est égale à sin 'n ^ ; et, dans la lumière blanche, la
est celle que l'on obtiendrait avec la lame cristalline placée entre licols croisés à angle droit.
phénomènes ne seront pas modifiés, quels que soient les azimuts s que l'on donne au polariseur, à l'analyseur ou h la lame. a lame cristalline était examinée en lumière convergente, on verts mêmes courbes d'égal retard que celles qu'on observe entre niçois croisés ou parallèles; mais les courbes obscures, croix i OU hyperboles, seraient supprimées. Lorsque l'analyseur et le iseur sont de même sens, le centre des cercles est blanc; lorsi sont de sens contraire, le centre est noir.
CHAP. VUr. — LAHES MfNGES SUPERPOSÉES. 905
oua principales Oo et Oe, sont :
a;'=pcosY3io2K= — ^sin-f cos2ic = .
y'=p9inYsin27c — s f-çcosYCOsix— = — ,
a préalablement changé l'origine des temps, et pris cette ori'
I retard de 0 sur l'origine première.
qu'on néglige les quantités du 2* ordre de grandeur en t, y' peut
t' /S^eS \ r
y'=psmysiaÎT:ij + 1 — -.psinY + îcosy Icosax^-
jetons les vibrations x' et y' sur les axes X, et T, de la nouvelle
se, dont l'axe X, fait avec X un angle très petit dw, nous aurons :
x, = if cos (y — rf(») + y' sin {y — dm) , y,=y'cos{l — dia) ■~:ifaia(-( — dut),
reviennent, en supprimant toujours les termes du 2* ordre, à
BS-ci :
ï, = sin2i[^U ■rqwni-rj + cositc^i'^P»i'i*'{~gdi^J-
ï, = sinait^(-^5COs'Y+prfwj+cos2iu^^9 + ^psio3T;j.
CHAP. Vnt. ~ LIKES MINCES SUPERPOSEES. 365
lîtés dbi, du, dif, ne sont exactes qu'au premier ordre de >rës. Lorsque u est très petit, et est lui-radme du premier jTandeur, dm est du 2< ordre, et il devient nécessaire d'en ^pression an 2" ordre près.
ons donc nous proposer de trouver du, dot, dif, au second frandcur près , lorsqu'on suppose que m est du premier
soudre ce problème d'une manière simple, nous remarquel'une quelconi]ue de ces quantités, da par eiemple, étant i comme fonction de tt, peut être mise sous la forme
rfw=A + Ba + CM»+....
ressions que nous avons obtenues représentent cette fonction re de grandeur prés, loi-sque u est fini; on a donc Â,B,G avec roximation. Si nous voulons avoir rfu au 2' ordre prés, u étant ire, on peut négliger les termes contenant une puissance de u '6 à la 2' ; il est inutile de connaître B ou C avec une approxiupérieure au i" ordre, car les termes du 2' ordre dans B, ;s par u, donnent des termes du 3* ordre. Il ne nous reste donc !i connaiti-e  au 2* ordre prés. Pour trouver l'expression de A, Lvons faire u = 0, ce qui revient à supposer que la vibration est e. Le problème est donc ramené à chercher, au 2" ordre de : près, l'expression des paramétres de l'ellipse vibratoire émerine lame cristalline très mince sur laquelle tombe une vibrailigne.
•blême a été résolu dans le chapitre précèdent, et nous avons lans ce cas :
da^o cos*Y + « sin'Y, da;= -eïsinSv, 25rrfu , „
(pressions trouvées plus haut pour du, Ju, d^, dans l'hypothèse 11, lorsqu'on y suppose u petit, et qu'on y néglige les termes du
CHAP. Vni. — LA8ES MINCES SUPERPOSËES. 2GT
à la vibratiou; à ]a condition toutefois que l'épaisseur des leur nombre laissent très petites les variations d^, du, dtù. ipelons d^, tfU, dû, «e que deviennent ces variations après la du paquet de lames, nous aurons évidemment
d^= Se 1±^' + 1 ïeScosSy,
dU= -2s3sin2Y,
ne 2 indiquant la somme de termes analogues k celui qui est dans lesquels les quantités n, n' e, i, y, u, du, ont les valeurs iricnnent successivement à chacune des Inmes traversées.
>* Im -vlhnUoD lacIdeaM oat rcwtUIsne. — NoUS allons ap-
ces formules au cas particulier où la vibration qui tombe sur le
d« lames est rectiligne, c'est-à-dire où u a une valeur nulle à
. trës facile de construire géométriquement rJ<^. d\J, dû.
3V {Rg. 95) la direction de la vibration, appelons dE l'épaisseur
]u paquet de lames; à partir de 0 nous construisons une ligne
naVe 012.. .n, dont le p» côté, qui a pour longueur J^, fait
i un angle égal à 2/^; €p, Bp, yp étant les valeurs de e, J, y qui
iennent à la f lame. La projection Ov de la ligne polygonale ÎV, î8t évidemment égale à slsïCos 2y. La projection Ott de la
gne polygonal
convenons de n tournant de nous reraarqui l (fa, . j
lame; que 2 2'
îUipse émerge ■- sont respect!
iuit sans peint ^ales à
Aire 012., »» = eppésente par j
s parcourues s comme posiJi négatives )ors 'urues dans le inition incidei la ligne poiyg i en traversani nplojé par la ^
A la longueui
CHAP. nn. ~- LUIES MINCES SUPERPOSËES. 3S»
ration est dirigée suivant une perpendiculaire à On, dd est , et la phase acquise par la vibration est :
dans tous les termes qui composent la somme
A = 2^5cos2y,
: changé en â^y> elparconséquentAen — A. vibration OV, avec laquelle On fait un angle ogal à 2ni, oo a :
ne Ov ^ A cos 2m :
pose
,dK 2 J
tsénieat que la valeur générale detjtl) pour une vibratioaOV dont la n fait un angle 3m avec On, peut se mettre sous la forme
d*^dE(Scos*m + N'sin'ni).
m pose
p — N cos*m + N'sin*m,
on trace, autour d'un point 0, une courbe dont les rayons veciOQl p et les azimuts sont m, cette courbe est sensiblement une ■ Posons en effet :
H=z.fJ.+ ~. N'=N,-
