RA VERSA

;rand N(

mnce, c ns très 3oser ui:

entre ei I appellt r les eP d'abord

on peut ir rotati ]s exam dans ce iperposi ientatio commï cristal paquets Éorie ù I t de dei 0 m posé nies son verses qi >s entre issecleu résulta

CHAP. VIIL — UMES MINCES SUPERPOSÉES. 275

quet, admet donc ces deax plans bissecteurs comme des plans de symétrie. La normale aux plans des lames est ainsi un axe de cet ellipsoïde, dont les deux autres axes sont les deux bissectrices de3 angles formés par les sections principales.

Soient Oo^ et 0^^ la section principale de Tune des lames, Oo, et 0^,, celles de Tautre ; n, Tindice correspondant à o, n\ celui qui correspond

ci e 1

àe, i = n — n' et jn=^: nous prenons 01= -jt;cÏ= s (n — n'),

puis sur la direction 1 2 (fîg. 97) faisant avec 01 dans le sens droit un angle égal à 2m, nous pre- ^

nous encore 1 2 = ^ (n — n'). La direction 02 fait

avec 01 un angle égal à m, ce qui veut dire que Tune des sections principales du paquet fait avec

n 1 X 1 i ^ » * • fig. 97.

OOi un angle égal a x ; c est ce que nous avions

déjà trouvé d'une autre façon. En outre, Tindice correspondant à la vibration dirigée suivant cette section principale est égale à

N= — ^ h02= — ^ |-(n — n')cosm.

N est Tun des axes de Tellipsoîde inverse résultant ; un autre est,

^'= — ^ (n — w'jcosm.

Le troisième axe N" de Tellipsoïde inverse résultant est perpendiculaire au plan des lames et est égal au rayon de rellipsoïde inverse composant qui coïncide avec cette direction.

Lorsque m= 90*, c'est-à-dire lorsque les lames sont croisées à angle

droit, on aN = N' = — 5 — ; Fellipsoïde inverse résultant est de révo-

luiion, et la pile présente les phénomènes des cristaux uniaxes.

On peut réaliser ces deux cas avec des lames minces de mica biaxe. Norremberg a montré qu'en croisant de semblables lames à angle droit, on obtient une pile uniaxe. Reusch a croisé ces lames minces sous des angles quelconques.

Les lames de mica sont taillées perpendiculairement à Taxe - de Tellipsoïde inverse, qui est la bissectrice aiguë. Les indices correspondant

CHàP. VlU. — UMES MINCES SUPERPOSÉES. 277

Paqaet eomposé de S lames identiques. — Supposons que le paquet soit composé de 3 lames identiques entre elles. La q ^. ligne 05 (fig. 98) qui ferme le polygone 0123, fait avec 01 un angle qui est le double de celui que la section principale de la pile fait avec celle de la première lame du paquet.

Lorsque la section principale d*une lame fait avec celle de la lame inférieure un angle égal à 60^, la ligne polygonale 01 2 3 (fig. 99) est fermée, et la direction normale aux lames est un axe optique de la pile.

C'est ce qui résulte d'ailleurs de cette remarque que cette direction est un axe ternaire de la figure formée par les 3 ellipsoïdes des 3 lames construits autour d'un centre commun. La pile est , o uniaxe et la direction normale aux lames est l'axe prin- ^^ cipal.

La grandeur N^ de l'axe principal de la pile est

égale à celle du rayon vecteur de l'ellipsoïde inverse

d'une des lames dirigé perpendiculairement au plan des lames. La

grandeur N^ du rayon équatorialde l'ellipsoïde de révolution, est égale

à la demi-somme des axes de l'ellipse découpée par une des lames dans son ellipsoïde inverse.

On arriverait à une conclusion analogue, si le paquet était composé d'un nombre quelconque n de lames identiques entre elles et superposées de manière que la section principale de l'une des lames fasse

avec celle de la lame précédente un angle égal à d= — .

11 peut arriver non seulement que la pile soit uniaxe, mais encore que l'axe principal soit égal au rayon équatorial de l'ellipsoïde inverse résultant. Celui-ci est alors une sphère et la pile est uuiréfringente. Mais, tandis que toutes les conséquences précédentes peuvent être vérifiées par l'empilement de lames de mica, il n'en saurait être de même de celle-ci. En effet, le mica étant négatif, l'axe normal aux lames est le plus petit axe de l'ellipsoîcie inverse du mica, et il est conservé dans toutes les piles que l'on peut former. Les deux autres axes de Tellipsoïde inverse de la pile sont au contraire intermédiaires entre ceux de l'ellipsoïde du mica» et sont toujours, par conséquent, plus grands que le troisième.

GHAP. YIU. — LàllES lONGES SUPERPOSÉES. 279

Nous nous bornons à considérer la variation dV pendant la traversée du paquet, de sorte que Se^ sin 2 y et Sed cos iy sont des quantités très petites. On peut donc remplacer cos2û par 1, puisque Terreur, qui est du deuxième ordre, est multipliée par une quantité très petite; on peut d*ailleurs toujours remplacer sin 20 par 20, puisque Terreur commise n*est que du 3^ ordre : on a ainsi

rfU = r^SeS sin2Y — — ûSeB cos 2y •

Dans le 2« membre, le !•' terme est du !«' ordre de grandeur, et le 2^ terme du 2<' ordre. Le 1^' terme s*annule à la sortie du paquet, puisque nous avons vu que, pour un paquet,

2*5 sin 2y = 0 ;

on aura donc, pour la variation dU produite par la traversée du paquet considéré :

2ic rfU = — --û:2£ocos2y.

Or, si nous nous reportons à ce qu'on a vu plus h^ut, nous verrons que l£^cos2y représente AdE, A étant le retard causé par le paquet, c'est-à-dire la longueur On qui ferme la ligne polygonale 012... n de la figure 96. !\ous pouvons donc écrire :

(a) rfU = — ^SArfE.

Occupons-nous de dû; Texpression générale s'appliquera encore ici en substituant à y la valeur y — 0 , que Ton peut supposer constante pendant la traversée d*un paquet. On aura donc

dû=Ç^U + tt-hY)e3cos2^Y-û)

Nous appelons u la valeur très petite de Taccroissement rfU, qui se produit après la traversée d*un certain nombre de lames du paquet. La valeur totale de c/O, après la traversée de toutes les lames du paquet, est ainsi :

dû = ^U2e8cos2(Y— û) + Ç2:(tt + Ç^e8cos2(Y-û).

CHAP. Vm. — LiNES MINCES SUPERPOSEES. S81

portant cette valeur de U dans l'expression de dCi, il vient

prendre le signe +, puisque pouriJj^O, on doit avoir da = i. L'intég^ration donne

istaale étant encore nulle, car on a £1^0 pour E=0. te expression peut se mettre sous la forme

rtant dans l'expression de dV, il vient

(ni = — rsini|iE.rfE, ui donne, en intégrant.

In doit avoir ÏJ = 0 pour E = 0, c'est-à-dire C =— -.etparcon-

[uent

U = (1— cosJiE) = — rsin'-rr-

f-a remplaçant ^ par sa valeur — Ai les deux expressions de û el U mellent soua la forme

GHÂP. YUI. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES. 283

La vibration elliptique émergente rapportée à une droite faisant un angle Q avec la section principale comme axe des sinus» et à la droiteperpendiculaire comme axe des cosinus, aura pour équations

X=p CCS U sin( 2«= — <ï> j Y=psinUcos( 2tc=; — <ï>)'

La vibration dirigée suivant la section principale perpendiculaire a pour équation, à l'incidence,

t/ = 9sm2z.j;

et à Tèmergence, si on la rapporte aux mômes axes que Tellipse précédente, Tellipse vibratoire a pour équations

V = q ces U sin /^2x|, — w\ X' = 9sinUcos/^27:| — w)-

Cette ellipse a en effet un sens contraire à celui de la précédente, puisque les axes des sinus et des cosinus sont inversés.

iribratlon ineldente dirigée d'mie manière queleonqae. — Si

la vibration incidente a une direction quelconque , il suffira de la décomposer en deux autres dirigées suivant les deux sections principales de la pile.

Si a est l'angle de la première section avec la vibration incidente il suffira de remplacer, dans les équations précédentes, p par cosa

et q par sin a.

Si l'on change Torigine du temps, de manière à faire 27:?=? — <ï>=27r?p»

et si Ton pose * — W=:(p, les équations des deux ellipses deviennent

X =€05 a cos U sin 2ic»; Y = cos a sin U cos 2tc=î

X'= sin a sin Ucos ( 27ç= + 9 j Y' = sin a cosUsin 1 2-^^ + <p )

Projetées sur les deux sections principales de la pile, les vibrations émergentes ont pour équations

a; = (X -f- X') cos û + (Y -f- Y') sin û y = — {X + X') sin û + (Y + Y') cos û

CHkf. VIII. - UHES HINCES SUPERPOSÉES. SS5

«les sinus des vibrations circulaires / et r', est à angle droit

G des sinus des vibrations circulaires r et r„ ce qui revient à

■e l'anomalie de la vibration /de — ^ et celle de /de + g.

iviatre vibrations circulaires équivalent à une vibration circue^trogyre de rayon It et d'anomalie 6, et à une vibration •^ de rayon R^ et d'anomalie 6,. On aura

R sin e ^= — !■' sin I — „ + ? ) l'on déduit

= r* H- r^ + arr* sb f = î + ï sin 2U cos 2a + j cos 211 sin 2a sin <f. le Tayon H, de la vibration circulaire lévogyre. on aura de

Rî = j— j sin 211 cos a —j cos 2U sin 2a sin ç. IT. — APPLICATION DE LA THÉORIE A UNE PILE UNIAXE.

peut appliquer la théorie qui précède à la recherche des phéno- 9 que produit une pile uniaxe formée par l'empilement de paquets mes de mica biaxe. Cette étude a un grand intérêt, car nous ns que les cristaux de quartz peuvent être complètement sssi- . à de telles piles. C'est donc en réalité l'étude de la polarisation Dire du quariz que nous allons entreprendre. le nalaxe formée pmw d» paqvclit Icmalm — Bélcraalna-

d« r. — Nous supposons des paquets formés de trois lames liques entre elles, mais croisùt^s sous des angles de 60°. Nous tosons, pour fixer les idées, l'empilement fait dans le sens dextror-

La ligne polygonale 0 1 2 (lig. 100) ûst fermée et figure un triangle

itatèrat dont chaque côté est égal à —- = = p. L'aire du triangle est

GHAP. Vm. — LAMES MINCES SUPERPOSÉES 287

cet angle se retrouve perpendiculaire à la vibration de Tanalyseur. Si Ton opère avec la lumière blanche, la lame paraîtra colorée» puisque les rayons des diverses couleurs donnent des vibrations émergentes qui font des angles différents avec la section principale de Tanalyseur. Ni la teinte, ni l'intensité de la teinte ne varient lorsqu'on tourne

la lame sur le porte-objet; mais l'une et l'autre varient au contraire

lorsqu'on fait tourner l'analyseur.

Lorsque l'analyseur est placé de manière que sa vibration soit perpendiculaire à la vibration émergente du jaune moyen, les parties extrêmes du spectre dominent et l'on a une teinte grise ; si l'on tourne l'analyseur vers les rayons les moins déviés, c'est-à-dire vers le rouge et dans le. sens contraire à celui de la rotation de la pile, le violet et le bleu dominent; si l'on tourne dans le sens opposé, c'est-à-dire dans le sens de la rotation de la pile, c'est le rouge qui domine. De là cette règle : Le sem suivant lequel il faut tourner V analyseur pour que la teinte passe du bleu au rouge est le sens suivant lequel la pile fait tourner la vibration incidente.

Toutes ces conséquences se vérifient aisément avec des piles formées de paquets ternaires de lames de mica, comme H. Reusch l'a montré le premier. M. Sohncke a vérifié, d'une manière précise, que la grandeur de la rotation produite par la pile est bien celle qui est indiquée par la théorie.

Représentatlom des phénomènes de rotation par l'lné|pal« vitesse de propagation de den rajons clrenlalres de sens Inverse. — La

vibration rectiligne incidente peut se décomposer en deux vibrations circulaires de sens inverse, ayant un même rayon r, et l'un de leurs axes communs dirigé suivant la direction de la vibration.

La vibration rectiligne émergente équivaut de même à deux vibrations circulaires de sens inverse, ayant un même rayon égal encore à r, et l'un de leurs axes communs dirigé suivant la direction de la vibration qui a tourné de o) par rapport à celle de la vibration incidente. De plus, ces vibrations circulaires ont acquis, par rap* port aux vibrations circulaires incidentes, une phase égale à En^, si

n^ est l'axe principal de l'ellipsoïde inverse de la pile.

En se reportant à ce qui a été dit au chapitre précédent, on voit que la vibration circulaire émergente dexlrogyre peut être rapportée aux mômes axes que la vibration circulaire incidente dextrogyre, à la con-

GlUP. VUI. - LAMES HLNGES SDPERMSÊES. 3»

pouvoir rotaloire. C'est donc une quantité que l'on peut sup- >nnue.

t à ri on l'obtiendrait en construisant, pour un paquet, le e O i 2 . . n , dont chaque cùlè a pour direction la section aie d'une des lames suivant la direction de propagation consi'

nous pouvons nous dispenser de celte construclion pénible si >us bornons à considérer des directions de propagation peu in-

sur l'aKe. Nous pouvons remarquer, en efTet, que si l'on supetit l'angle p que la direction considérée fait avec l'aie, on peut :iiter r par une expression de la forme

r = r,-\-kp + ky+...

DUS prenons, suivant toutes les directions de propagation incliur Taxe, des longueurs proportionnelles à r, nous formerons une le surface, dont l'ellipse indicatrice autour du pâle de l'axe priaest un cercle, puisque. Vase étant d'ordre supérieur à 2, cette ; doit avoir plus de 2 diamètres égaux enire eux. La surface se . donc à une sphère dans le voisinage du pôle de l'aie, et r^ est aleur maximum de la fonction ?', ce qui exige que k = 0, lonc on néglige les termes en p', on pourra poser sensiblement, loute direction peu inclinée sur l'axe, r^r^,. ta résulte que si l'on a, pour une pile.

tant la rotation suivant l'axe, on aura sensiblement, pour une dion peu inclinée sur l'axe, une rotation m donnée par la formule ;

[losant <f =

i la direction considérée, apporlerail dans la vibration principale sidérée, par rapport à la vibration principale perpendiculaire, supposons une pile placée entre un polariseuret un analyseur, et versée par le faisceau lumineux suivant une direction peu inclinée niâiiLiocnAFBiii, T. II. 19

CHAP. YIIL — LIMES MLNCES SUPERPOSÉES. S9i

Si, dans cette expression, nous faisons a + {3 = ^ , c*est-à-dire si nous

supposons que l'analyseur est croisé à angle droit sur le polariseur, nous obtenons :

1 = sin* !2a sin« | — wj — j- ( 1 — sin» î2a si n«| j

Pbénoméiies présentéii pwr vne pile en Ivmlére convergente. —

Ces équations sont immédiatement applicables à Tétude des phénomènes que présente la pile en lumière, convergente. 11 suffit da remarquer que si 0 (fîg. 101) est le centre de l'image, OP la vibration du

Vig. 101.

polariseur, et M un point quelconque, on peut prendre sensiblement OM comme une des sections principales de la pile au point M, l'angle a étant celui de OM avec OP. Il suffira donc, pour que les formules représentent l'intensité de la lumière propre à un point M de l'image, de faire a=POM, et de donner à qp la valeur de Tanomalie contractée par le rayon qui émerge obliquement en H.

Dans le cas du polariscur et de l'analyseur croisés à angle droit, la formule :