CHAPITRE. II. — PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES RÉTICULAIRES

On déduit de cette formule un moyen de trouver les caractéristiques de P4, lorsqu'on connaît celles de P^, P„ P3, et les inclinaisons mutuelles des 4 faces.

On a en effet :

KK-KK=^Ka h9A-9A=^KA 9A-9aK=^Ka

u, V, w étant les caractéristiques de Taxe de zoi^e. On en déduit les 3 équations

^J^a—KK__^K9a- 9tK^9tK — 9X (./ __1^ M4— M» K9a-9^K 9A — SfA c'

Ces 3 équations du premier degré se transforment aisément en celles-ci :

K-ck^-- k,^i:%^ g,-~c%-

Les dénominateurs, débarrassés, s'il y a lieu, de leurs facteurs communs, seront donc les caractéristiques cherchées du plan dont le pôle est P4.

Ce procédé de calcul est remarquable, car il permet de déterminer les caractéristiques du plan sans qu'on ait besoin de recourir aux données qui fixent les dimensions de la maille du système réticulaire.

Réciproquement, si Ton connaît les caractéristiques des 4 pôles et les angles m\ituels de trois d'entre eux, P^, P„ P„ on connaîtra Ds,4 et Ds,4 et par conséquent C ; on aura alors :

D^4 5ii5 sin P,P, sin P^P^

D..4""l>i., 'sinP^P, -sintP^P. + P^PJ'

d'où en posant :

__D^, D,.. sin P.P,

""Dt,4'c;;;*sinp,p;

ce qui est une quantité connue, on tire aisément :

m sin P,P,

on peut donc calculer l'angle P3P4.

CUSTAIXOGHIPHIB.

On peut encore poser

et, par conséquent,

sin V^\\ sin 0 sin P,P4 """ cos 6'

d*où Ton tire, par des transformations très-simples :

sinP.P^-sinP^P^ __ tgjP^P, cos6-sjn6 __

. sin P.P^ + sin P^P^ ~ Ig { (P.P^ + P ^P J cos 6 + sin 6 •" "^ ^^"^ ' '

Or on a

l'équation précédente se transforme donc en celle-ci :

tg (P5P4 + i P.Ps) = tg { P.P, cotg (45 -h 6),

formule immédiatement calculable par logarithmes, et que Ton peut employer pour calculer P5P4.

Symboles à iioatre earactérlattqnea. — Dans le but de rendre plus

symétriques certaines formules, on peut, aux trois caractéristiques d un nœud, d'une rangée ou d'un plan, en ajouter une quatiiéme se déduisant des trois autres suivant une loi connue. C'est ainsi qu'aux trois caractéristiques pqs se rapportant respectivement aux trois axes x, y, 2, on peut en ajouter une quatrième, telle que

Si les caractéristiques se rapportent à un plan, r a une signification géométrique remarquable. Soit, en efTet, Ou une direction allant de

l'origine au nœud 1 1 1 ; la caractéristique du plan par rapport d Ou est (voir page 22) égale à — p — q — «, c'est-à-dire à la caractéristique auxiliaire r.

On pourrait aussi prendre cette caractéristique r telle que

11 serait alors aisé de voir que si pqs sont les caractéristiques d'un plan, r est la caractéristique de ce plan par rapport à une rangée Ou menée suivant le prolongement de la diagonale du parallélogramme construit sur a et &, c'est-à-dire joignant l'origine ai; nœud ? î 0. Si nous supposons que l'axe des z est perpendiculaire sur le plan xy^