CHAPITRE m. — SYMÉTRIE DES POLYÈDRES ET DES RÉSEAUX

En résumé» des deux conditions de la symétrie géométiûque, à savoir les directions des faces du polyèdre et les distances de ces faces à un point fixe, on sera conduit, dans la pratique des observations cristallographiques, à négliger la seconde pour ne tenir compte que de la première. En restant strictement dans les considérations morphologiques et laissant provisoirement de côté les autres propriétés physiques du cristal, la symétrie d'un polyèdre cristallin ne dépend donc que des inclinaisons mutuelles des faces qui le composent. Il est d'ailleurs commode, pour Tétude, de ramener dans tous les cas, par la pensée, les plans de ce polyèdi^ dans une position telle que les deux conditions géométriques de la symétrie soient satisfaites. Cette hypothèse, qui revient à donner au cristal la forme qu'il prendrait si des circonstances accidentelles et variables n'agissaient sur lui au moment de sa formation, est celle que nous ferons constamment dans tout ce qui suivra.

Quoi qu'il en soit, nous sommes, d'après ce qui précède, amenés à rechercher quels sont tous les modes de symétrie que l'on peut rencontrer dans un milieu cristallin; ce seront les seuls que l'on pourra observer dans les polyèdres cristallins. Mais nous sommes obligés, avant d'aborder cette question, de démontrer, sur la symétrie des polyèdres en général et des polyèdres réticulaircs en particulier, un certain nombre de théorèmes que nous utiliserons dans la suite.

BéflnlUoD écm axe* éc mjnkétrîe et ém l«am ordre*. — De la

■Tfliétrie des polyèdres. — Une jQgure quelconque étant donnée, si,

après une rotation de — • autour d'une certaine droite L, la fijrure

revient en coïncidence avec ello-méme, nous dirons que L est un £xe de symétrie d'ordre q ou q**"*. Nous désignerons cet axe par le symbole L^. Un axe binaire, ternaire, quaternaire, quinaire, sénaire, sera un axe d'ordre 2, 5, 4, 5, 6.

Il est clair que q ne peut être qu'un nombre entier, car si c'était un

nombre fractionnaire —, l'angle dont tournerait Taxe de symétrie pour

restituer les sommets du polyèdre serait — , et, après un nombre m

de rotations semblables, la figure reviendrait dans sa position première. Un point quelconque du polyèdre aurait alors occupé successivement, dans un plan perpendiculaire à l'axe, tous les sommets d'un polygone étoile, dont les sommets contigus seraient séparés par un angle au

centre égal à — . En faisant tourner la figure de — autour de Taxe, oa

arriverait donc à restituer tous les sommets, et n serait le véritable indice de Taxe.

I lest d'ailleurs évident que q ne saurait être irrationnel, car dans ce cas le polygone étoile décrit par chaque sommet aurait un nombre infiiii de côtés» ce qui ne peut convenir qu'au cas très-particulier de la sphère. Tout polyèdrequipossède un axe d'ordre pair passant par uncenirede symétrie, possède un plan de syme'trie passant par le centre et normal à cetajce. En effet» l'axe étant d'ordre pair, les sommets du polyèdre sont restitués par une rotation de 180^ autour de l'axe I L (fig. 16). Un sommet A du polyèdre aura donc

A^. — j — .^A g^^ symétrique A' par rapport à L. Hais A et A' I ^^nJ--^ — [^ ont chacun leurs symétriques A/ et A^ par I ^-"i^^ '^ rapport à C, lesquels sont respectivement les

l^::! I 2i J symétriques de A et de A' par rapport au plan

^* 'F mené par C perpendiculairement à L.

Lorsqu'un polyèdre possède un plan et un centre de symétrie j il possède un axe d'ordre pair. La démonstration de ce théorème se ferait d'une manière tout à fait analogue à celle du précédent.

S'il existe deux ou plusieurs axes de symétrie^ ces axes et les plans de symétrie, s'il y en a, doivent tous se couper en un même point qui coin' cide avec le centre de symétrie, s'il y en a un. Car le centre de gravité des sommets du polyèdre, supposés également pesants, devra se trouver sur chacun des axes de symétrie, sur tous les plans de symétrie, et coïncider avec le centre de symétrie du polyèdre. LorsqvCun polyèdre possède q axes binaires, et q seulement, dans un

même plan, chaque axe fait avec le plus proche

un angle égal à -.

S'il en était autrement, en effet, il y aurait un axe de symétrie L^ (fig. 17), qui ne serait pas la bissectrice de l'angle LsOL, formé parles 2 axes contigus ; en faisant tourner le polyèdre Pj y^ de 180" autour de OL^ L, ne viendrait pas coïn-

cider avec Ls, et déterminerait la position d'un nouvel axe de symétrie du polyèdre qui en posséderait plus de q dans le même plan, ce qui est contraire à l'hypothèse.