CHAPITRE VU. — SYSTÈME SÉNAIRE OU HEXAGONAL

plan des xy (001) avec le plan des zaf (210), les caractéristiques de cet axe seront donc 120. L'axe des i/ déterminé par .l'intersection du plan (001) avec le plan des zy* (f20) aura pour caractéristiques 2Ï0 ; enfin Taxe destt' déterminé par Tintersection du plan (001) avec le plan (ÏIO) aura pour caractéristiques 1?0.

On aura donc en appelant p, g, r les coefficients d'un plan quelconque par rapport aux premiers axes horizontaux: p\ y', r', ceux du même plan par rapport aux nouveaux, et en se rappelant la relationp4-ç4-r = 0

tt^ — ^p — q^-r-p fz=zp-q,

éijualions symétriques, faciles à former, et sur lesquelles on peut aisément vérifier la relation connue /)'-+-ç'-4-r'=0. Il est clair que les équations seraient d'une forme identique,* s'il s'agissait de passer des aies binaires de deuxième espèce aux axes binaires de première. Quant au paramétre a' des nouveaux axes, il est

a étant celui des anciens.

Calcalfl des ancien des arêtes et des faees. — Si nous supposons

deux faces

P, (pqrfi) et F, (pYr'*')

Tangle des normales à ces deux faces sera donné par- la formule cos PP'= — ^

et l'angle des deux arêtes R [ghkl), R' {^hTl'), est cos RR' — ^

Fonnes'iioloédrlqaes. — Pour suivre plus commodément la dis*

100 PRKMIÈRE PARTIE. — CRlSTAlLOnRAPHIE GÉOMÉTRIQUE,

cussion, nous tracerons une projection gnomonique des pôles sur un plan parallèle au plan de symétrie (flg. 97 et 98. pi. II). Les lignes X, y, u, sont les trois axes coordonnés horizontaux du réseau primilif; X et Y sont les axes horizontaux du réseau polaire. Il importe de remarquer que, pour obtenir les trois caractéristiques liorizontalos d'un pôle quelconque, il faut prendre, sur la projection, les coordonnées numériques de ce pôle par rapport à X et à V, ce qui donnf les deuï premières caractérisliques ; la troisième s'obtient en prenant, en signe contraire, la soniiue algébrique des deux premièi'es.

Pour tracer la projection gnomonique, il faut connaître les para- Y mètres du réSeau polaire. Soit, dans

fjg gj le réseau polaire, H le paramèt^*

e l'axe ternaire et A celui des axes perpendiculaires aux axes de première espèce du réseau primitif; le formules de la page 28 donnent

l~ h %' H est la distance du point de vue au plan de projection ; A est la distance des deux pôles (0001) et (lOTl).

Le paramètre A' des axes de deu):ième espèce du réseau polaire est la dislance qui sépare sur la bissectrice de XY les pôles (0001) et (ll2l); on a:

Pour éviter toute confusion, nous conviendrons de donner, dans tout ce qui va suivre, aux diverses caractérisliques leurs signes explicites.

Un polo quelconque (pqrs) en entraîne d'abord cinq autres situés à la même distance de l'axe sénaire, et venant en superposition loi-squ'on fait tourner le cristal autour de l'axe sénaire d'un angle

égal à -X- = 60°- Traçons autour de 0 douze secteurs de 50* et hachonsles de deux en deux {fig. 97). Sipqrs se trouve dans un secteur liaclié, il

ClIAPfTr.E Vn, = SYSTÈME SÉNAIRE OU HEXAGONAL. 101

en sera de même des cinq autres. Mais les lignes qui séparent les secteurs étant les traces des plans de symétrie, le pôle (pqrs) situé dans un secteur haché en entraine un autre (qprs) situé dans un des secteurs adjacents non hachés : on aura donc encore 6 pôles situés dans les secteurs non hachés.

Nous avons fait usage de la symétrie de Taxe sénaire, et de Texislence des 6 plans de symétrie menés suivant cet axe ; il ne nous reste plus qu'à faire appel à Texistence du plan de symétrie principal pour avoir épuisé les éléments de symétrie, car un axe sénaire, un plan de symétrie perpendiculaire et 6 plans de symétrie menés suivant l'axe sénaire entraînent Texistence d'un centre et de six axes binaires. L'existence du plan de symétrie principal nous donnera 12 pôles placés au-dessous de ce plan et symétriques, par rapport à celui-ci, des 12 pôles supérieurs.

La forme la plus générale du système sénaire se compose donc de deux pyramides à douze faces ayant une base commune située dans le plan de symétrie. Celte base n'est pas un dodécagone régulier, mais les sommets de ce dodécagone pris de deux en deux forment un hexagone régulier. Cette forme est ce qu'on appelle le didoilécaèdre (fîg. 99).

Les nolations des 24 pôles de la forme sont faciles à obtenir. H suffît de s'occuper des 12

pôles situés au-dessus du plan de symétrie, cjr les 42 autres, étant opposés par le centre aux 12 premiers, ont les mêmes notations changées de signe. 11 est d'ailleurs inutile de parler de la caraclérislique verticale s, qui est la môme pour tous les pôles.

2ir

Par une rotation de ^^ulour de Taxe sènains dans le sens xy, x

\ient en coïncidence avec y y etc. : on obtiendra donc les symboles des deux pôles avec lesquels (pqr) . vient successivement en coïncidence, en effectuant les permutations tournantes des 5 lettres j>, 7, r; ces symboles seront ï^pq), [q^p)»

2ir -, -

Par une rotation de — - , a: se change en m, etc., et le pôle [pqr] vient

en coïncidence avec {qrp)^ lequel par des rotations de -^^ vient

.Fig. 99.

successivement en coïncidence avec les pôles lj)qr) et (rpq)^ dont les symboles sont obtenus par les permutations tournantes des lettres g, ?•, p. Les pôles qui se trouvent dans les secteurs hachés de la figure 98 sont donc les suivants :

ipqr) (qrp) (rqp) Cpqr) (qTp) (rjjq).

Les 5 pôles écrits l'un au-dessous de Taulre viennent en coïncidence par des rotations de ^ ; deux pôles situés sur la même ligne horizon-

taie viennent en coïncidence par des rotations de ^ .

Le pôle symétrique de {pqr), par rapport au plan zû, est situé dans un secteur non haché. Il a le même u que le premier et n en diffère que par l'arrangement des x eiy : le symbole de ce pôle est donc [qpr)- En raisonnant sur ce pôle comme sur le pôle ipqr]^ nous trouverons les symboles des 6 pôles situés dans les secteurs non hachés.

On forme ainsi le tableau suivant des caractéristiques liorizontales des 12 pôles supérieurs :

pqr qrp qpr prq rpq pqr rqp qpr qrp rpq prq rqp.

Nous conviendrons, pour désigner la forme, de choisir les caractéristiques du pôle pour lequel, p et q étant positifs, on a p<^q. C'est le pôle qui est situé dans l'angle Yû de la projection gnomonique.

Lorsque le pôle (pqrs) est situé dans le plan^û, on a p=:q; le symbole de la forme est

tous les pôles sont situés dans les plans coordonnés, et la forme simple ne se compose plus que d'une double pyramide hexagonale dont la base, qui est un hexagone régulier, est dans le plan de sy^