I. Détnhitmfti

'W (Cg, 187).

8G. Les furutulcs qui précèdent ne dépendent nullement des valeurs particulières «pie peuvent avoir les augles de l'octaèdre ; elles expriment une relation constante entre les décroissemens qui se correspondent sur les deux noyaux , laquelle résulte uniquement des rapports de position que ces solides ont entre eux. Ces fornmlcs peuvent servir à simplifier la théone de l'oclaèdrc, en la ramenant à celle du prisme (jui lui est circonscrit syiTiélri(|uement , soit que l'on considère celui-ci comme une véritable forme primitive, ou simplement comme un noyau hypothétique. Mais il est des cas où l'on préfère d'employer sousce dernier rapport d'autres parallélépipèdes, dont la forme est le plus souvent indiquée par l'aspect général des cristaux secondaiies qui en portent l'empreinle. Par exemple, dans l'antimoine sulfuré, dont la forme primitive est représentée figure 191 , celui (ju'on adopte pour noyau liypotliétique est le prisme (|ui est circonscrit à l'octiièdre , en touchant ses arêtes latérales, comme on le voit figure 193. Dans l'arragonite, au contraire, le cuivre carlmnaté et quelques autres espèces où la position naturelle de l'octaèdre est celle qu'indique la figure 193, on choiitît pour noyau hypothétique celui que représente la figure 194, et qtii a quatre pans de communs avec l'oelaèdre. On pourrait, en suivant une marche analogue à celle du calcul précédent, et avec la même facihté, déterminer le passage immédiat de chacun de ces diliërens noyaux hyiiothétiques à rçctaèdie.

j.^fî TRAITA:

Mais pour ne ]ias trop uiulliplici' les formuW i-ulières, je me bornerai àdoonericiuu recl , mais simple et général , tie remplir 1) hut , en ramenant les divers cas qui pcuv*" senter, à ecluidc l'article qui précède. Cofondr sur le calcul suivant, dont les d'ailleurs suscepliblcs de plusieurs nW tiiiiis.

Soient aa'A", oo'O" (Kg. if)5) fl même hauteur, et dont telle i>^i l' (jue les sommets du pràme iiilri i uiilieux des nrétcs situ(-c5 an i < second prisme. 1*8 pans de l'iin , décrois.semeDS par une simple \ lougitudipaus de l'antre , et v, nous de li'aduire les lois de i\< au prisme inscrit dans celles -j fiur le prisme circonscrit.

Il y a trois cas dilTûrens !»

Hes, et que leurs côtés mesurent les mêmes nom- /bres de dimensions de molécule^ la dimension qui Tepond dans l'un à C (fig. 19$) se trouvant remplacée dans l'autre par une demi-diagonale de molécule correspondante à Ai.

a*. G**, m étant > n répond à '^""''H. En effet , m représentant le nombre de dimensions de molécule soustraites par le décroissement dans le sens de B, et n celui de dimensions soustraites dans le sens de C, on aura le nombre de dimensions analogues à D ,

soustraites dans le sens de Oo par la formule p = ^

(page aSi ). Ce nombre sera par conséquent , ;

Mais le nombre qui répond à la dimension Aa ,

double de C , est -. La formule précédente fera donc

connaître le nombre proportionnel relatif à F. Ce

nombre est . Ainsi le sisne du décroissement

8ur le prisme circonscrit est

(mn mn \

plus simplement ** "" '^ H.

Supposons enfin que l'on ait à traduire le signe jn étant > n.

\*) le signe tecbnique correspondant, iimensions de molécule soustraites

s48 TnAITÉ

dans le sens de Oo, ou de D, sera encore — ^^; et comme la dimension H est ^ale à G, on aura déjà zB=p j et x= v . Maintenant si l*on si^pose

que le plan parallèle à la &ce secondaire , en restant fixe pa^ les points où il coupe les arêtes D et F, devienne parallèle à H, il sera situé comme une iàce qui naîtrait sur H. Dans ce mouvement, les nombres de parties proportionnelles répondant à D et F n'auront pas varié , et leur rapport sera domié par le cakul' du cas précédent. Donc y= — — — • Le sign^ cherché sera donc.

A^D**" F^-'^H»-/ Ed résumé,

B,fig. 195, équivaut àA^ G", m>n "•-"H,

OCB-C-C), m > n. . . a(d~ + " F"^^ H»")

Gela posé, revenons aux cas des diiférenles sub^ stances citées plus haut. Dans celui de l'antimoine sulfuré, dont le noyau hypothétique est représenté £g. 19a , on passera d'abord de ce noyau au prisme circonscrit, à l'aide des fbnuiilus ijue nous venons r prisme sera évidemment Je

PTALLOGRAPHIE.

, que j'ai clioisîes à dessela

■ Ibrmes sont les plus composées ,

s de position qu'ont entre elles

j fournissent des indications pour

kioation des lois de décroissement

dete est celle que représente la

fr je nomme cuivre gris identique.

ntivement un ciistnl de cette va-

, par le parallélisme qui a lieu

}sés des faces o, o, qu'elles sont

L et semblables. De plus , les qua-

limt sensiblement des rectangles; d'où

s intersections, telles que y, s, avec

lont parallèles entre elles. Enfin, le

I lieu encore d'une manière très sen-

mrds par lesquels les hexagones r, r,

nbes Oy o; k l'égard des faces P,

Eauticipeut suraut^une des autres, elles

icn sur leurs figures.

Maintenant que les riiombes 0,0, qui

B de douze, s'étendent les uns vers les

■à ce qu'ils se réunissent par leurs

ni toutes les autres faces. Il est vi-

luront point change de figure , et ains^

pit la surface d'un dodécaèdre sem-

ue j'appelle rhomboïded. Il est facile

î conséquence , à l'aîde de la mesure

il donne 130'' pour les incidences mu-

du rhomboïde dont il fait pailie, on en conclura qin les molécules int^;rantes sont aussi , dans le cas pré-sont, des tétraèdres r^uliers, qui seulement empruii--| tent de leur ressemblance avec la forme primitive , un caractère particulier, et que les molécules soustractives sont de même des rliomboïdes semblables à celui dont je viens de parler.

D'après cela, rien n'est si simple que la détermi-l nation des formes secondaires. Car il est d'abord évt'J dent que les décroissemens qui agissent , soit ( l'angle eso, soit sur les bords es, os, considérés dans le tétraèdre (flg. 197), ne sont point distingués àe^ ceux qui se rapportent aux mêmes parties , dan^sl'Iiypothèse du rliomboïde pris pour géuci-ateur — = jniisque ces parties sont la même fonction daus le^

deux solides. Mais parce que tous les onj'les du lé

traètlre, ainsi que tous ses bords, sont identiques . — il est clair que les décroissemens qui ont lieu sui^ cliacun des angles e, o , s, et sur cbacun des bord^= en , ory es, s'assimUent aux premiers , puisqu'il sufii — de changer la position du tétraèdre, en le plaçant par exemple, de nianière que sa face ors coïncidl avec la face eor de l'octaèdre, pour que ce qui a dit de l'angle eso et tics bords es, os, s'appUque l'angle o<îS, et aux bords «o, es, qui, dans le dép Rarement du létraèdre, ont été sulïstilués aux i>T-fliiiet-s. I^ ftg. fû

ant icidiH aéifl

DE CRISTALLOGRAPHIE. aSi

variélés de cuivre gris, que j'ai choisies à dessein parmi celles dont les formes sont les plus composées , paroe que les rapports de position qu'ont entre elles leurs diverses faces , fournissent des indications pour arriver à la détermination des lois de décroissement dont elles dépendent.

\ La première variété est celle que représente la

i figure 199, et que je nomme cuivre gris identique. En examinant attentivement un cristal de cette va* riété, on juge d'abord , par le parallélisme qui a lieu entre les bords opposés des faces 0,0, qu'elles sont des rhombes égaux et semblables. De plus , les quadrilatères /, /, sont sensiblement des rectangles; d'où ^^ suit que leurs intersections, telles que J^, «, avec ^^s £ices OjOj sont parallèles entre elles. Enfin, le P^i'allélisme a lieu encore d'une manière très sen- ^^Iç entre les bords par lesquels les hexagones r, r, ^^^pent les rhombes o., Oy èi l'égard des faces P, ^^Oame elles n'anticipent sur auéune des autres, elles ^ ^ïifluent en rien sur leurs figures.

doncevons maintenant que les rhombes 0,0, qui

^^*^t au nombre de douze, s'étendent les uns vers les

^^tres, jusqu'à ce qu'ils se réunissent par leurs

*^ird8, en masquant toutes les autres faces. 11 est y'\-^

•ible qu'ils n'auront point changé de figure , et ainsi,

composeront la surface d'un dodécaèdre sem-

à celui que j'appelle rJwmboïclcil. Il est facile

Bette conséquence , à l'aide de la mesure

pïi donne 1 20*^ pour les incidences mu-

a5a TRArrÉ

iuelles des faces o , o. Si nous supposons que ce dodécaèdre' passe à la forme de la variété que j'appe]]e émarginée (Théorie du dodéc. rhomboïdal , fig. i5o), les facettes qui remplaceront les bords de ce dodécaèdre, et qui répondront aux faces /, r, auront les mêmes positions que les faces /i, /i , du grenat émargîné I en sorte que la forme de la variété identique de I ^ cuivre gris ne diffère de celle de ce grenat que pr le rapport de ses dimensions , qui lui donne un as — pect assorti à celui du tétraèdre primitif; tandis qu^^ dans le grenat , le rapport correspondant porte Fem preinte du dodécaèdre , qui est le type de la forme.

11 ne s'agit plus que de déterminer les lois de dé croissement qui , en agissant sur différentes parti du tétraèdre , donnent les faces o , r et /. .

!*• Pour les facettes o , o. Si parmi ces facettes nous choisissons comme exemple les trois qui appar — tiennent à la partie de la formé située vers le point }^ ^^7? il est visible qu'elles naissent d'un décroissement su Mi^M^^"^ les angles supérieurs des faces P, P' du tétraèdre pri-^M-^^*" niitif, considérées comme celles d'un sommet d-t»® rhomboïde. Désignons par^, /7,les demi-diagonale^^ *^ de ce rhomboïde, et par n le nombre de diagoualcE:^ es soustraites en vertu du décroissement. Nous po vous applicpier ici la formule

mu \ au II (A-f- 1^ ' '''~' i/oj/— i^j

ixmjis

DE CRISTALLOGRAPHIE. fl53

d'un rhomboïde (t. I, pag. 3ii). Or, le rapport mu l au est celui de la perpendiculaire sur l'axe dans le rhomboïde secondaire y auquel se rapporte le décroissement, et la partie de cet axe qu'elle intercepte. Soient g' et p^ les demi-diagonales de ce second rhomboïde , nous aurons g*p' Il v/a : f , comme dans le dodécaèdre rliomboïdal. Donc la proportion précédente devient

ou

ci'où l'on tire /z = i , et ainsi le décroissement a lieu par deux rangées.

a*. Pour les facettes r, r. Elles naissQnt d'un décrroissement inverse sur l'angle A (fig. 198). De plus , ^les i*emplacent les bords supérieurs Ju rhomboïde auquel appartiennent les faces o, o (Gg. 199), et dans

lequel ^ •pf *•• V/a : I. Or, si nous appliquons au cas présent la formule relative à l'espèce de décrois- SQnent dont il s'agit , et qui donne

«K:att::(/i + i)\/|7: l=iîî« (t. I, p. 317),

^sapport uy • au sera celui de la perpendiculaire e aa tiers de cet axe, dans le rhomboïde

«r conséquent celui de V^ • * • Doue Qii-

â64 TRAITÉ

âant ^ î=s 1 y et a = ^2/^j comme dans le rhomboïde

dont le tétraèdre représente le sommet supérieur,

nous aurons

et

VSci lln + i :(i^2n)\/2y

d'oik l'on tire ii=:|. Or, la quantité n exprimant le nombre de diagonales soustraites en largeur, qui est la moitié du nombre de rangées soustraites , l'expo* sant du signe rehtif au décroissement sera f . Si l'on substitue à ce décroissement son équivalent , sous la forme d'un décroissement intermédiaire, le signe de« tiendra (AB'B').

3*. Pour les &ces /, /. Elles ont , comme je l'ai dit , les mêmes positions , relativement aux rhombes o, o\ que les faces r, r , à l'égard des rhombes o^o; d'où il suit que si les unes et les autres se prolongeaient jusqu'à s'entrecouper , et de manière que la symétrie iftt rétablie dans le solide qui en résulterait , celui-ci serait semblable au solide trapézoïdal dérivé du dodécaèdre rhomboîdal ; et les deux fiices / , f , en se réunissant , feraiei t entre elles le même angle que les triangles j^«o,j^oX- (fig. 1 46, Théorie du dodécaèdre rhomboîdal). Or, d'après les données que nous avons indiquées au même endroit, le sinus de

la moitié de cet angle est au cosinus comme V^i i : i. Remarquons maintenant que les faces /, T (fig- 199)

DE CRISTALLOGRAPHIE. a55

naissent d'uu décroisscment sur les bords supérieur» du rhomboïde, dont le tétraèdre représentele sommet correspondant; ce qui permet d'appliquer, au casi présent , la formule relative à l'espèce de décroisscment dont il s'agit (t. I, p. agS), et d'après laquelle

fripri: v^ii :i::v^(/jH-i)'4+(2;rî— i)*8:a,

ou

ii: I :: (n^+2/i + i)4+(4/î"— 4^)8 inii

d'où l'on tire

3n'— 2/1=21, et

Cette équation , résolue à la manière de celles du se^ cond degré , donne /} = 3.

Le signe complet de la variété qui vient de nous occuper sera donc

PBBA'A'A^Aï.

PW » o • r

On trouve , dans le Tyrol , des cristauiL de la même variété, dont la forme que représente la fi-* gure 200 ne diffère de celle du dodécaèdre rhomboïdal émarginé qui a été décrite plus haut (p. igS), que par l'addition des facettes P , P , qui sont parallèles à celles du noyau. La symétrie relative à l'ensemble a prévalu sur celle qui ne se rapporte qu'à l'identité des parties sur lesquelles naissent des décroissemcns similaires, ce qui n'a pas empêché que la

flSS TRAITÉ

fonne n'ait conservé sur les quatre faces ajoutées à celles qui lui sont communes avec le dodécaèdre émarginé, l'empreinte du tétraèdre primitif.

Le cuivre gris est susceptible d'oSrir difiërentes formes, qui sont comme des sous- dirisions de la précédente, et dont chacune résulte de la combinaison des laces primitives avec des facettes produites par l'une ou l'autre des lois de décroissement dont la variété identique ofire l'assemblage. Je me bornerai à indiquer celle que représente la fig. aoi , dont le signe est PBB , et qui porte le nom de cuivre

gris encadré. Nous avons vu que les faces /, r(fig. 19g) de la variété identique, analogues à celles qui remplacent les bords du dodécaèdre rliomboïdal dans I.-1 variété émai^inée de celui-ci , sont produites par deux lois dîlïércntes de décroissement. Cette distinction s'annonce dans la forme dont il s'agit ici , où les Ëices/, l, se montrent séparén)ent(fig.30i),au lieu de s'associer les faces r , r. Lorsque le décroissement a atteint sa limite, ce qui est rare^ la forme devient celle d'un dodécaèdre à triangles isocèles (fig. 302) , dans lequel la partie qui enveloppe le noyau est composée de quatre pyramides, dont chacune s'applique par sa base sur une des faces de ce noyau. lie

89. La seconde des vaiiélês <|uc i'ai annoncées, , cl que roprésuulo lu JigUK3o)) yntU: le iium ilc

DE CRISTALLOGRAPHIE. aS;

cuivre gris bijere, et a pour signe

PBBBBA'A'A'A'.

Elle diiïère de l'identique par l'absence des faces r, r (fig. 199), et par l'adtlilion des faces y, e. Il existe une variéié (^ïcyai nommée cuivre gris épointé , dont la surface n'est composée que des faces P , e (fig. ao4); et si l'on suppose que ces dernières se meuvent paraUèlement à elles-mêmes, en s'approchant du centre , jusqu'au terme où les angles s , 2', se toucheraient , la forme sera celle de l'octaèdre régulier. Mais ordinairement les faces e différent des faces P , en ce qu'elles sont beaucoup plus petites , et quoiqu'on puisse en obtenir de semblables en divisant le tétraèdre primitif, par des plans qui interceptent ses angles solides, parallèlement aux quatre triangles qui le terminent , on doit encore les dbtinguei- de ces dernières , en les considérant comme résidlant d'ua décroissement, ainsi que l'exige ta nature du système lie cristallisation.

Reste les Pacesy dont le signe est 13. Or, si noua continuons d'assimiler le tétraèdre au sommet supérieur d'an rhomboïde , le solide qui résultera de l'effet complet du décroissemcut B sera l'équiaxe de ce rhomboïde. Donc , si nous désignons ytar g, p , les demî-diagonalos de ee iiicmc rliomboïdc, et par j^', //, '7

^ ce rh ^H demi

s58 TRAITÉ I

celles de sou équiaxe , nous auroûs

ot

g^=3j=a, p'=Vff' + i>' = V^=2=«'^ c'est-à-dire que le solide secondaire est nn cube.

Il existe une fonne que représente la figure ao5, ^ «jue j'ai nommée cuivre gris, qui résulte de laco^c^^ binaison des Taces de ce cube et de celles du télraè^E ^ primitir. On voit (fîg. ao6) la projection de ce coW —C) tracée d'après l'iiypotlièse où le dçcroissement aur^^>t atteint sa limite.

Il résulte de tout ce qui précède, queles&cescz:^» dodécaèdre émai^iné peuvent servir de donnt^^ses pour déterminer leurs analogues , situées sur ^W« formes qui dérivent du tétraèdre régulier. En ajo ■^O" tant celles qui convertissent ce tétraèdre en octaè^B=Ji^ régulier, et celles qui donnent le cube, et qui se n^**' trouvent les unes et les autres sur des formes on. -^"g*" naires du dodécaèdre, on a un exemple remarqua^Kblc de la corrélation qui existe entre les formes quej^B" désignées sous le nom de limites. 3e reviendrai jJ ""' celte corrélation lorsque je traiterai des application^'" de la Cristallograpliie à la délermination des espcc=^^ minérales.

De la structure du dutUcaèdre hi-pyramidaî dt^'"' quelques espèces de Jiiini^raux.

QQ. Ijt^àÛ^éÊÈàÈagfÉAj^t tel que YoïTee Ion!, semble, «"

DE CRISTALLOGRAPHre. aSg-l

prrânier abord, y faire la fonction de fonne primitive, soit à raison de son aspect symétrique, soit en ce qu'il est divisible par des plaos parallèles â toutes ses faces. Mais l'adoption du rhomboïde comme noyau de ce dodécaèdre , qui n'est plus alors qu'une forme . secondaire, quoiqu'elle ne soit pas démontrée, a da i moins l'avantage d'oflrir à la théorie, pour arriver à J son but, un moyen simple et indépendant des diCB* cuUés qui naissent du mécanisme compliqué de la structure. Au reste, le vide qui resterait encore ici k remphr dans nos connaissances, si dans la suite de ] nouvelles recherches devaient amener une manière J de voir plus heureuse, est d'autant moins sensible, | que la forme du dodécaèdre dont il s'agit n'appartient J qu'à un petit nombre d'espèces minérales, et que le ' quarz , qui est remarquable par son importance, est en même temps celle dont les formes s'accommodent le mieux de l'hj-potlièse à laquelle j'ai été conduit par les obsenalions que je vais exposer.

Soit ss' { fig. ao7 ) un dodécaèdre du genre dont i s'îigit. Parmi les six faces de l'une des pyramides,) clioisissons-en trois qui alternent enire elles et avec' celles de l'autre pyramide, telles que asb , csd, esf, d'une pari , et bs'c , es'd, as'f, de l'aulre. Concevons que ces six faces se prolongent jusqu'à circonscrire exactement un espace. Il est clair que le solide quî'J en résultera sera un rhomboïde (llg. 208) , d'où l'on? ■voit que le dodécaèdre peut être considéré comme uifl rhomboïde dont on aurait retranché six létrr?èdrcsj'

a^a TRAITÉ

peut les rlioniboïtles extrêmes , ou ceux dont se composËDt les bords des lames décroissantes , tournés vers les arêtes gs , hs'. La position de ces lames est une suite de ce que le décroissement qui produit, par exemple, la face parallèle à bsc , est censé avoir lieu par deux rangées en hauteur sur l'angle hnk (fig. ao8)du rliondjoïde générateur, en sorte qu'elle se rejette du côté opposé, en prenant la direction ga (fig.aio).

Dans l'assortiment que représente cette figure , la quantité dont chaque lame est dépassée par la précédente est mesurée par uue diagonale ohiique a'jr de^ molécule rhomboïdale, et l'épaisseur de chaque lame renferme quatre arêtes de molécule n'A*, kr',px\ x'p, en sorte que les dimensions du décroissement sont doubles des véritables, dont l'une est mesurée par uue demi - diagonale oblique, et l'autre par deux arêtes situées dans le sens de la hauteur. Mais il faut se rappeler que dans les décroissemens sur les angles, les arêtes analogues à celles dont je viens de parler alternent d'une lame à l'autre par leurs positions respectives. C'est ime stiite de ce que les angles saillans que la souslraclion des molécules fait naître , sur le bord de chaque lame correspondent aux a rentrans de la lanie qui précède et de c Si donc l'on imagine que l«s r terminales altemeatj qaeUaa.K un raoïiViTLffïïl

DE CD.ISTAJ.LOGRAPHIE.

caèdre, par le prolongement de six de ses Kictsi prise» en aUernant vers chaque sommet, et d'un sommet à l'autre.

Dans celte hypothèse, les dodécaèdres laisseront entre eux des interstices produits par la suppression des tétraèdres qui compléteraient les molécules soustractivcs. Déplus, il est aisé de concevoir que chaque dodécaèdre adhère à ceux qui l'entourent par six de ses faces , qui coïncident avec celles de ta molécule soustractive , en sorte que deux Êices conliguës , prises sur deux dodécaèdres voisins, sont disposées comme les triangles asb, a'a'b' (lig, 209) , dont le premier représente une des faces de la pyramide supéiieure de l'un des dodécaèdres , et l'autre une des faces delà pyramide inférieure dans le dodécaèdre adjacent; d'où l'on voit que les centres de gravité de ces deux triangles se confondent en un point commun c. Venons à la manière dont les joints naturels sont assortis dans le dodécaèdre. Srat «^s'A(fig, s 10) une coupe de ce solide prise à l'aide d'un plan (jui passerait par les sommets £, s' (fîg. 307 et ao8}, et par les milieux des arêtes 6c, fe. Les petits rhombcs qui sous-divisent cette coupe représenteront les sections principales d'autantde molécules rliondjoïdalcs sous- (ractives, et les lignes n/, A/re, r*, etc., seront les ^^^Uaoes d'auUnt de plans parallèles à bac (11g. 208} , ^^^Btttt|^||faancheraieut des tétraèdres, dans le passage ^^^^^^F^ ^du rhondioide à celle du dodécuèdre. Oit ^^^^^^1 u(li<]ucr ici cctLx. de ces plans qui cou-

a64 TRAITÉ

il est &cUe de voir que leurs positîoDs se rapportenC à quatre plans presque infiniment voisins y parallèles entre eux et à la ligne sgy dont l'un passe par les sections xzy o/!^j a/'J\ un second par les sections rt^ i^t^ i^'i\ un troisième par km , h^m\ k'nJ'^ et le dernier par alj olï^ a'Y^ Il en résulte que les &cettes dont il s'agit sont tellement disposées^ que leur retour av niveau n'a lieu que de quatre en quatre molécules , parmi celles qui sont situées dans le sens de la haur teur. Or l'intervention des &cettes qui répondent aux sections ^^^ c^, etc., ne change rien aux alignemens sur quatre plans difierens dont je viens de parler ; eUe ne fidt autre chose qu'accélérer le retour au nîr veau, qui a lien alors de deux en deux molécules^ ainsi qu'on le concevra ^ en fidsant attention que xz est sur le prolongement de vr^ ^n sur celui de rf , etc* Reste à examiner les positions respectives des facettes qui répondent , dans les difierens dodécaèdres , aux triangles «^y, ^^ sdJ^ etc. (fig. 207). Pour concevoir l'assortiment des joints naturels auxquels elles répondent 9 supposons que tous les petits dodécaèdres qui sont censés contenus dans celui que représente la fig. 207 9 se meuvent sur les prolongemens de leurs axes , jusqu'à ce que tous les hexagones qui forment les bases communes de leurs deux pyramides se trouvent sur un même plan. Supposons de plus , pour un instant , que dans ce cas la disposition des hexagones dont il s'agit soit semblable à celle que l'on voit figure 212. Il est évident que des plans dirigés sui*-

DE CRISTALLOGHAPffiE. aS5

vaut les 6 rayons ca , ck, cg, etc. , de l'un quelconque el des hexagones , et qui passeraient eu même temps par l'axe du dodécaèdre auquel appartient cet hexagone j subdiviseraient.le dodécaèdre en six tétraèdres, et par conséquent seraient dans le sens de ses joints naturels. II est clair encore que les mêmes plans étant prolongés, tantôt passeraient entre deux dodécaèdres voisins , et tantôt se confondraient avec les plans qui sous-diviseraient d'autres dodécaèdresj c'est ce que l'on concevra i'acilement à la seule inspection des lignes bs , an, situées sur les prolongemens des rayons ch^ca; d'où il suit que, dans l'hypotlièse présente , tous les joints naturels situés dans l'intérieur du dodécaèdre total seraient sur des plans continus, comme dans les cristaux ordinaires.

Pour ramener maintenant les choses à leui" véritable état , considérons l'assortiment représenté figure ai3, dans lequel les petits quadrîlalères S'eiz Veir, etc., sont les coupes priiinpales d'autant de rhondjoïdes,etS'a)x^,«nr/, etc., celles des dodécaèdres qui résultent des sections laites dans les rhomboïdes. C'est une suite de ce que S'x tombe au quart de la diagonale ei , et ainsi, des autres lignes ig , r/, 71, etc.

Maintenant, si nous menons^, /rt,ou,etc., chae de CCS lignes aéra le petit diamètre de l'hexagone e la base commime du dodécaèdre analogue; rcj qu'elle aura la même position que el

s66 TRAITE

(fig. 3 1 3}, menée par le centre, perpendîcalairement

sur deux côtés opposés dr, ah, de l'hexagone.

Donc, ta l'on suppose que tous les heiagones qui répondent aux li^^nes gx^ In, ou, etc. (fîg. 3i3), se relèvent jusqu'à coïncider sur un même plan , ces hexagones ne se trouveront pas entièrement dégagés, comme on le voit figure 31a; mais chacun anticipera sur ceux qui l'entourent, puisque les lignes gx, In^ ou, etc., anticipent elles-mêmes les unes sur les autres; et telle sera cette espèce d'enjambement, que si l'on considère deux hexagones voisins (fig. 3i4)» 1'^trémité ^ du diamètre xa/, tombera au tiers du dia^ mètre zx', etc.

Bemarquons que dans le mouvement des hexagones pour aller se pbcer sur un même plan, que nous supposerons passer paryt (Sg. 3i3), perpendiculairement à l'axe SS', le diamètre gx se relève de manière qu'il coïncide avec tm , quand son mouvement est achevé. Remarquons de plus , que la dislance entre les diamètres km et ty est égale à l'un quelconque d'entre eux , puisqu'elle est mesurée par leur prolongement entre les hgnesUïjBG, dont les distances sont les mêmes qu'entre les lignes eR , UX , d'une part , et BG , KH , de l'autre.

Donc s'il n'existait que les dodécaèdres analogues aux diamètres, tels que gx et km, qui sont plaeés immédiatement l'un au-(K'>>iis ili- raulie, ou analof^ues aux diamèticii, tels que A/», ^y, dont la di-

DE CRISTALLOGRAPHIE. ùSy

sur des plans continus : cela est évident pour les dia-» mètres gx et km ; et quant aux diamètres km et tyy il est &cUe de juger que leur position respective est la même que celle des diamètres el^ dV Tfig. 2 1 2), et par conséquent cette position ne peut altérer la conti* nuité des alignemens.

Mais entre les hexagones analogues à km et iy (fig. 21 3), se trouveront ceux qui appartiennent à 7}/ et 01^ ) et qui interromperont la communication des joints; d'où l'on voit que nous pouvons comi** dérer trois ordres de dodécaèdres , dans chacun desquels les hexagones auront leurs axes sur ime même ligne, comme ceux qui appartiennent aux diamètres gx et km , ou seront distans entre eux d'une quantité égale à un petit diamètre, comme ceux qui sont indiqués par km et ty. Ainsi, les dodécaèdres d'un même ordre pourront être sousndivisés par des plans continus ; mais ces mêmes plans tomberont à faux sur les dodécaèdres des deux autres ordres j en sorte que tous les joints correspondans se rapporteront à trois plans qui seron t parallèles entre eux , et approcheront beaucoup d'une exacte coïncidence , à cause de la petitesse des dodécaèdres.

Les retours au niveau ayant Ueu uniformément, et après des intermittences égales , à l'égard des plans qui correspondent aux six triangles situés , comme 9hs\ scs% sds'j etc. (fig. 207), dans chaque petit dodécaèdre, les joints qui ont heu dans le sens de ces plans seront tous identiques , en sorte que dans les

a(;R TRAITÉ

(lip. 2i2),iricnt;epar le centre, ji sur deux côlés opposés rfr, ah

Uom;, si l'on suppose que toi.

ri'pondciiL aux lignes gx. In, relèvent, jusqu'à coïncider sui îi(.'\;ignnes ne se trouveront p;t couuiie on le voit figure a i ^ :

sur ceux qui IVnloureut, pii OH, elc, aniicipent elles-Di> tics; et telle sera cette espt l'on consitièrc deux liexagi' liéniilé ar' <X\\ diamètre xx iiu'lrcEr', etc.

H L'inarquons que dans

DE CRISTALLOGRAPHIE, position d'un prisme liexacilre régulier entre les deux pyramides. Les pans de ces prismes résultent ici , comme dans la chaux carbonatée , d'un décroissement par deux rangées sur les auglea inférieurs du uoyau rhomboïdal. Dans une partie des cristaux qui appartiennent au plomb phospbaté , le même rhomboïde subit un décroissement par une rangée sur ses angles supérieurs , d'où naît une face perpendiculaire à l'axe, et l'on observe, parmi les mêmes cristaux^ le prisme hexaèdre sans aucunes facettes addition- . nelles.

11 est très rare de rencontrer le rhomboïde primitif donné immédiatement par la cristallisation. Le quarz est jusqu'ici la seule espèce qui en oQVe des exemples.

Le cas qui est de beaucoup le plus ordinaire est celui où les cristaux présentent des faces analogues à celles du dodécaèdre, comme si la cristallisation avait ici une tendance parLicuHcre vers un i-ésnltat qui assimile l'aspect des formes secondaires à celui des petits dodécaèdres dont les cristaux sout l'assem- ■ blage. J'ai déjà remarqué ailleurs , que ce cas où des faces produites en vertu d'un déoroissement par deux rangées en hauteur sur les bords init-rieurs d'un ' rhomboïde , s'identifient par leurs positions avec . celles de ce rhomboïde , est la limite à laquelle aboutissent une infinité d'autres cas, dans lesquels deux lois simultanées de décroissement peuvent faire naitrc des rhomboïdes secondaires parraiteiucnt sem-

4os tournées

da côlé

lois ii'attel-

ra des dodé-

droites réunies

tocrètaux de plomb

qm se termine

la Tariété à laquelle

la figure 21 5, les

pKrtm prisme produit

i*. na&pëe plus haut. La

aasrt rénille d'un décrois-

-^a Wprar sur l'angle infe-

^- 216), et la face /

par Due simple rangée

faetiaii détenniuc cette

iA>Êe,en formant nvec

: ^â. aesnre l'inclinaison

^i^miloot je viens de

daqœ sommet ,

fts. aôa qnll est iàcite

' ïtftEB dont les faces des

P^^aê « que je viens

«««.Cette dernière

leiioRi d'isogone, parce que l'incitlencede n sur /-est de i5o'', comme celle de n sur (,ce fpii n'est qu'une égalité de rencontre, puisque la dernière decestàces provient d'un décroissement difTérent de celui qui donne la face r.

Quoi(|ue le rliomboïde soit le générateur d'où dérivent les lois de la structure, le dodécaèdre est le type dont les formes secondaires portent presque toujours l'empreinte. Lorsque les faces qui le modifient sont produites par des décroissemens ordinaires, il suflît de faire attention à la manière dont elles sont situées sur le dodécaèdre , pour rapporter les décroissemens aux parties du rhomboïde sur lesquelles ils prennent naissance. Ainsi il est évident, à la seule inspection du triangle ((flg. arS), dont la base > est parallèle à la diagonale horizontale de la face P (fig. 216) du rhomboïde primitif, que ce triangle résulte d'un décroissement sur Tangle inférieure, dont la ùiarcbe fst ascendante , et que la face r' (fig. 2i5), résulte d'un autre décroissement qui est inverse sur le même angle.

Mais lorsque les décroissemens rapportés au rhomboïde sont intermédiaires, il est nécessaire d'emjdoyer une construction pour apercevoir ce rapport. Supposons , par exemple , une facette additionnelle

i remplace l'angle a {iig. 207), de manière que les

9 des lames décroissantes appiifpiées sur la Eice

ait parallèles à sb. Si par le point h (Gg. 3 1 7),

une ligne ho , qui soit de même parallèle à

97a TKAITË

ëbf elle aéra dirigée dans le sens des bords dont U s'agit. Or, rextrémité o de cette ligne est située au milieu du c6té »g, d'où Ton conclura que le décrois- ■Bnent est intermédiaire sur l'angle latéral g du rhomboïde, et que telle est sa mesare, que pour une arête de molécule soustraite sur le bord «^, il y en a deux qui sont soustraites sur le bord gh. Je me borne k une seule indication , et je me crois d'autant plus dispensé d'entrer ici dans de plus longs détails, que l'objet principal de ce Traité est l'exposé de ce qu'il y a de général dans les résultats de la cristallisation , et que le quarz est la seule des espèces minérales qui, jusqu'à présent , ait offert des modifications du genre de celles dont je viens de parler.